Definição de matriz e tipos de matriz

Neste artigo explicamos o que são matrizes e como é determinada a dimensão de uma matriz. Além disso, você verá matrizes de amostra. E, por fim, você descobrirá quais são os tipos de matrizes mais importantes.

O que é uma matriz?

uma matriz de comando

$m \times n$

é um conjunto de números dispostos em

$m$

linhas e

$n$

Colunas:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

exemplos de matrizes

Aqui estão vários exemplos de matrizes diferentes:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Dimensões de uma mesa

A dimensão de uma matriz é

$\bm{m \times n}$

. Ouro

$m$

corresponde ao número de linhas da matriz, e

$n$

ao número de colunas.

Exemplos:

matriz de dimensão

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

matriz de dimensão

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Tipos de matrizes

Abaixo explicamos as características dos tipos de matrizes mais importantes.

matriz de linha

É esta matriz que possui apenas uma linha:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

matriz de coluna

É esta matriz que possui apenas uma coluna:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

matriz transposta

A matriz de transposição ou transposição é a matriz obtida pela transformação de linhas em colunas . E é representado colocando um “t” no canto superior direito da matriz

$\left(A^t \right) .$

Exemplos:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada é uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas.

$(m=n ) .$

Por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3 seria:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

A diagonal principal de uma matriz quadrada consiste nos elementos que vão do canto superior esquerdo ao canto inferior direito:

A diagonal secundária de uma matriz quadrada corresponde aos elementos que vão do canto inferior esquerdo ao canto superior direito:

Recomendamos que você veja todas as propriedades das matrizes quadradas , pois são provavelmente o tipo de matriz mais utilizado e, portanto, são muito importantes para a álgebra linear.

matriz triangular

Uma matriz triangular é uma matriz na qual todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são 0.

As matrizes triangulares são divididas em dois tipos: matrizes triangulares superiores , cujos elementos abaixo da diagonal principal são zero, e matrizes triangulares inferiores , cujos elementos acima da diagonal principal são zero. Para entender completamente as diferenças entre elas, você pode conferir outros exemplos de matrizes triangulares .

Matriz triangular superior:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Matriz triangular inferior:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

matriz diagonal

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada na qual todos os elementos que não estão na diagonal principal são zeros. Você pode ver as propriedades e outros exemplos de matrizes diagonais neste link.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Embora essas matrizes pareçam muito simples porque contêm muitos 0s, elas são na verdade muito importantes para a matemática. Na verdade, existe todo um procedimento para diagonalizar uma matriz, portanto matrizes diagonalizáveis são de grande importância.

matriz escalar

Uma matriz escalar é uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais. Se desejar, você pode ver outros exemplos de matrizes escalares aqui.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Matriz ou unidade de identidade

A matriz identidade é uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Como qualquer matriz diagonal, parece um tipo de matriz muito simples. Mas não se deixe enganar pela sua aparência, é uma matriz muito utilizada devido às suas propriedades, por exemplo é utilizada para inverter uma matriz. Recomendamos que você revise as propriedades da matriz identidade para compreender sua utilidade.

matriz nula

Uma matriz zero é uma matriz em que todos os seus elementos são 0:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Como você pode ver, essa matriz não é nada complexa. Mas mesmo que não pareça, tem suas utilidades. Você pode ver seus aplicativos na página de propriedades da matriz nula .

matriz simétrica

Uma matriz simétrica é uma matriz cuja diagonal principal é um eixo de simetria.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Devido às propriedades das matrizes simétricas , o resultado da transposição de uma matriz simétrica é a própria matriz.

matriz antisimétrica

Uma matriz antissimétrica é uma matriz em que a diagonal principal é preenchida com zeros e, além disso, é um eixo de antissimetria.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

No link a seguir você pode ver todas as propriedades e mais exemplos de matrizes antissimétricas .

Agora que você viu os tipos de tabelas, provavelmente está se perguntando… qual o sentido disso tudo? Pois bem, uma das principais aplicações são as operações matriciais, a mais importante delas é a multiplicação, que você também pode ver como é feita na página da matriz de multiplicação .