▷ Derivada de uma constante (exemplos resolvidos)

Aqui explicamos quanto vale a derivada de uma constante (com exemplos). Também ensinamos como calcular a derivada de uma constante multiplicada por uma função, uma constante dividida por uma função e uma constante elevada como uma função. Finalmente, você pode praticar com exercícios resolvidos sobre derivadas de constantes.

Qual é a derivada de uma constante

A derivada de uma constante é sempre zero , independentemente do valor da constante.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Portanto, para encontrar a derivada de uma função constante, não há necessidade de fazer nenhum cálculo, a derivada é simplesmente zero.

A derivada de uma constante é zero porque o gráfico de uma função constante não tem inclinação.

Exemplos de derivadas de constantes

Dada a definição da derivada de uma função constante, veremos vários exemplos resolvidos para compreender totalmente o conceito:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Como você pode ver, a derivada de uma constante sempre dá 0. Não importa se o sinal da constante é positivo ou negativo, ou se o valor da constante é muito grande ou muito pequeno, sua derivada será zero.

Prova da derivada de uma constante

Depois de vermos quanto é a derivada de uma constante, demonstraremos porque esse tipo de derivada é igual a zero.

Seja f uma função constante de qualquer valor:

$f(x)=k$

A fórmula para calcular a derivada de uma função em um ponto é:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Veja: definição de derivada

Então, se resolvermos o limite da função constante:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Portanto, a derivada de uma função constante é 0 em todos os pontos. Portanto, a fórmula da derivada de uma constante é demonstrada.

Derivada de uma constante por uma função

Acabamos de analisar a derivada de uma única constante, ou seja, de uma função sem variáveis. Mas como você sabe, as funções podem ser combinadas por meio de operações. Portanto, a seguir estudaremos derivadas de constantes combinadas com outros tipos de funções, por exemplo a derivada de uma constante multiplicada por outro tipo de função.

A derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Por exemplo, a derivada da seguinte função quadrática é:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Portanto, a derivada da multiplicação desta função por uma constante equivale a multiplicar a derivada calculada no passo anterior pela constante:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Derivada de uma constante entre uma função

A derivada de uma constante entre uma função é igual ao produto da constante modificada vezes a derivada da função dividida pela função quadrada.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Por exemplo, a derivada da seguinte constante dividida por uma função linear é:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Como a derivada de 8x é 8.

Derivada de uma constante elevada em função

A derivada de uma constante elevada em função é igual ao produto do logaritmo natural da constante multiplicado pela constante elevada em função vezes a derivada da função.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Por exemplo, como a derivada do seno é cosseno, diferenciar uma constante grande em seno dá:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Exercícios resolvidos sobre derivadas de constantes

Resolva as seguintes derivadas de constantes:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Veja a solução

Até o exercício F), todas as funções são valores constantes simples, então todas as suas derivadas dão zero.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Mesmo que seja uma fração ou uma raiz, se a função não tiver variáveis, significa que é uma função constante e, portanto, sua derivada é zero.

Por outro lado, os três exercícios a seguir são funções que são operações de constantes com outras funções. Portanto, para calcular suas derivadas, precisamos aplicar as fórmulas correspondentes:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Derivado de uma constante