Equação da reta que passa por dois pontos (fórmula)

Aqui você encontrará a fórmula para encontrar rapidamente a equação da reta que passa por dois pontos. Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos de equações da reta determinada por 2 pontos.

Fórmula para a equação da reta que passa por dois pontos

Um problema típico de equação de linha é calcular a equação da linha determinada por dois pontos dados. Embora existam vários métodos para resolver este tipo de problema, aqui está uma fórmula com a qual você pode encontrar diretamente a equação da referida reta de forma rápida e fácil:

Considere dois pontos localizados em uma linha:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

A fórmula para encontrar a equação da reta a partir de seus 2 pontos é:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

A fórmula para a equação da reta dados dois de seus pontos é deduzida da equação ponto-inclinação da reta :

$y-y_1= m (x-x_1)$

Como a inclinação de uma linha pode ser calculada pela seguinte expressão:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Acontece que a fórmula da equação dadas as coordenadas de dois pontos:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Então, para determinar a equação de uma reta, basta conhecer dois pontos por onde ela passa.

Exemplo de como encontrar a equação de uma reta dados dois pontos

Depois de vermos qual é a fórmula da equação da reta dada 2 pontos acima, vamos agora ver como se resolve um exercício típico de equações da reta:

Qual é a equação da reta que passa pelos dois pontos a seguir?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

Como já conhecemos dois pontos que estão na reta, usamos a fórmula diretamente para calcular sua equação:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Agora substituímos as coordenadas dos pontos na fórmula:

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

E, finalmente, calculamos a inclinação da reta:

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

A equação da reta que passa por esses dois pontos é, portanto:

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

Como a afirmação não nos diz o contrário, não há necessidade de simplificar ainda mais a equação da reta, mesmo que ainda reste uma fração.

Problemas resolvidos da equação da reta que passa por dois pontos

Exercício 1

Encontre a equação da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

veja solução

Como já conhecemos dois pontos na reta, aplicamos diretamente a fórmula da equação da reta a 2 pontos dados:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Agora substituímos as coordenadas cartesianas dos pontos na fórmula:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

E, finalmente, calculamos a inclinação da reta:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

A equação da reta que passa por esses dois pontos é, portanto:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Exercício 2

Encontre a equação da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

veja solução

Como já conhecemos dois pontos que pertencem à reta, usamos diretamente a fórmula para a equação da reta conhecida com 2 pontos:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Agora substituímos as coordenadas dos pontos na fórmula:

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

E por fim, realizamos as operações:

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

A equação da reta que passa por esses dois pontos é, portanto:

$\bm{y= -x-2}$

Exercício 3

Sem fazer nenhum cálculo, determine um ponto que esteja na seguinte linha:

$y-2= 4(x+1)$

veja solução

Um ponto na reta pode ser deduzido da fórmula da equação da reta que passa por 2 pontos:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

A coordenada Y do ponto será o termo antes da variável

$y$

sinal alterado, e a coordenada X do ponto será o número entre parênteses negativos:

$\bm{P(-1,2)}$

Exercício 4

Encontre um terceiro ponto na linha que é definido pelos dois pontos a seguir:

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

veja solução

Devemos primeiro encontrar a equação da reta com a fórmula:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

E uma vez encontrada a equação da reta que passa pelos dois pontos, calculamos um terceiro ponto dando qualquer valor a uma das variáveis. Por exemplo, iremos

$x=0:$