Equação vetorial do plano

Nesta página você encontrará a equação vetorial plana (fórmula) e exemplos de cálculo. Além disso, você poderá praticar exercícios e problemas resolvidos da equação vetorial do plano.

Qual é a equação vetorial de um plano?

Na geometria analítica, a equação vetorial de um plano é uma equação que permite que qualquer plano seja expresso matematicamente. Para encontrar a equação vetorial de um plano, precisamos apenas de um ponto e de dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse plano.

Fórmula da equação vetorial do plano

Considere um ponto e dois vetores de direção de um plano:

\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}

A fórmula para a equação vetorial de um plano é:

(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}

(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)

Ouro

\lambda

E

\mu

são dois escalares, ou seja, dois números reais.

Portanto, isto significa que qualquer ponto num plano pode ser expresso como uma combinação linear de 1 ponto e 2 vetores.

equação vetorial do plano xy on-line

Além disso, uma condição necessária para que a equação anterior corresponda a um plano é que os dois vetores do plano tenham independência linear, ou seja, os dois vetores não podem ser paralelos entre si. outro.

Por outro lado, tenha em mente que além da equação vetorial, existem outras formas de expressar analiticamente um plano, como a equação paramétrica do plano e a equação implícita do plano . Você pode verificar o que é cada tipo de equação nos links.

Exemplo de como encontrar a equação vetorial de um plano

Depois de vermos a explicação do conceito de equação vetorial do plano, vamos ver como ela é calculada através de um exemplo:

  • Encontre a equação vetorial do plano que passa pelo ponto

    P(2,0,4)

    e contém os vetores

    \vv{\text{u}}=(1,3,-2)

    E

    \vv{\text{v}}=(5,0,1).

Para determinar a equação vetorial do plano, basta aplicar sua fórmula:

(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}

E agora substituímos o ponto e cada vetor na equação:

\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}

Como você pode ver no exemplo, encontrar a equação vetorial de um plano é relativamente fácil. Porém, os problemas podem ficar um pouco complicados, então abaixo você tem vários exercícios resolvidos de diferentes dificuldades para você praticar.

Problemas resolvidos de equações vetoriais planas

Exercício 1

Determine a equação vetorial do plano que contém o vetor

\vv{\text{u}}=(0,-2,3)

e passa pelos dois pontos a seguir:

A(1,3,-1)

E

B(2,-1,5).

Exercício 2

Encontre a equação vetorial do plano que contém os três pontos a seguir:

A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)

Exercício 3

Calcule 4 pontos no espaço que pertencem ao plano definido pela seguinte equação vetorial:

(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)

Exercício 4

Encontre a equação vetorial do plano que contém a reta

r

e é paralelo à direita

s.

sendo as linhas:

\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}

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