Tipos de descontinuidades

setembro 17, 2023

Aqui você descobrirá quais tipos de descontinuidades existem. Além disso, você poderá ver exemplos de todos os tipos de descontinuidades e poderá praticar com exercícios resolvidos sobre tipos de descontinuidades de funções.

Quais são todos os tipos de descontinuidades?

Existem três tipos de descontinuidades, a saber:

Descontinuidade evitável : Os limites laterais de uma função num ponto não coincidem com o valor da função.
Descontinuidade inevitável do salto finito : Os limites laterais de uma função em um ponto são diferentes.
Descontinuidade inevitável do salto infinito : um dos limites laterais da função dá infinito ou não existe.

Para finalizar a compreensão dos conceitos, explicaremos mais detalhadamente cada tipo de descontinuidade e veremos exemplos de funções com os três tipos de descontinuidades.

Descontinuidade evitável

A descontinuidade evitável é um tipo de descontinuidade que tem uma função em um ponto se a fronteira existir naquele ponto, mas não coincidir com o valor da função ou a imagem da função não existir.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

Os limites laterais desta função são iguais entre si, mas são diferentes do valor da função nesse ponto. A função apresenta, portanto, uma descontinuidade evitável.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

descontinuidade evitável de uma função sem imagem

A função no exemplo anterior tem uma descontinuidade evitável porque os limites laterais em x=a têm o mesmo valor, mas a imagem da função neste ponto não existe.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ Veja: limites laterais de uma função

Descontinuidade inevitável do salto finito

A inevitável descontinuidade de salto finito é um tipo de descontinuidade que apresenta uma função em um ponto quando os limites laterais da função naquele ponto não são iguais.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Por exemplo, os limites laterais da próxima função definida por partes no ponto de mudança de definição são diferentes, portanto a função tem uma inevitável descontinuidade de salto finito nesse ponto.

descontinuidade inevitável do salto finito

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Este tipo de descontinuidade geralmente aparece em funções definidas por partes (ou por partes).

➤ Veja: continuidade de uma função por partes

Salto infinito Descontinuidade inevitável

A inevitável descontinuidade do salto infinito é um tipo de descontinuidade que às vezes tem uma função se um dos limites laterais naquele ponto for infinito ou não existir.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

O limite esquerdo da função a seguir fornece um número real, mas o limite direito fornece infinito. A função apresenta, portanto, uma inevitável descontinuidade de salto infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Abaixo você pode ver uma função gráfica cujos dois limites laterais dão infinito e, portanto, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Este tipo de descontinuidade geralmente ocorre em funções racionais (ou fracionárias) .

Exercícios resolvidos sobre tipos de descontinuidades

Exercício 1

Determine o tipo de descontinuidade da seguinte função por partes no ponto x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Veja a solução

O domínio do primeiro elemento da função,

$-2x+1$

, como o da segunda peça,

$4x-5$

, são todos números reais porque são funções polinomiais.

Portanto, o único ponto em que a função pode ser descontínua é o ponto de parada da função por partes. Iremos, portanto, calcular os limites laterais nesta fase:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Os dois limites laterais em x=3 dão resultados diferentes. Portanto, o ponto x=3 é uma inevitável descontinuidade de salto finito.

Exercício 2

Descubra que tipo de descontinuidade a seguinte função racional apresenta em pontos que não pertencem ao seu domínio:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Veja a solução

Logicamente, para resolver este exercício, primeiro você deve encontrar o domínio da função. Então, como esta é uma função racional, igualamos o denominador a 0 e resolvemos a equação resultante:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

A função será portanto contínua em todos os pontos exceto x=-2, então vamos ver que tipo de descontinuidade é o ponto x=-2. Para fazer isso, calculamos o limite da função no ponto:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Mas obtemos indeterminação zero entre zero, então fatoramos os polinômios do numerador e do denominador e simplificamos:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Agora resolvemos o limite:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Consequentemente, o limite da função no ponto x=-2 existe e dá -4. Agora vamos verificar se existe

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

No cálculo da imagem de uma função, a indeterminação 0/0 não pode ser simplificada e não tem solução. ENTÃO

$f(-2)$

não existe.

Concluindo, o limite da função em x=-2 existe, mas

$f(-2)$

Não. Portanto, x=-2 é uma descontinuidade evitável.

Exercício 3

Analise a continuidade da seguinte função racional:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Veja a solução

Para ver se é uma função contínua, devemos primeiro calcular o seu domínio. Portanto, igualamos o denominador da função racional a zero para ver quais pontos não pertencem ao domínio:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

A função será, portanto, contínua em todos os pontos, exceto x=5. Então, vamos ver que tipo de descontinuidade x=5 é calculando o limite neste ponto:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

Encontramo-nos com a indeterminação de um número dividido por 0. Calculamos, portanto, os limites laterais da função em x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

O limite esquerdo da função em x=5 dá menos infinito e o limite direito dá mais infinito. Portanto, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x = 5, uma vez que pelo menos um limite lateral neste ponto tende ao infinito.

Exercício 4

Determine todas as descontinuidades da função por partes mostrada no gráfico a seguir:

exercício resolveu as descontinuidades de funções

Veja a solução

Para desenhar a função você deve levantar o lápis em x=-2, em x=1 e em x=4. A função é, portanto, descontínua nestes três pontos.

Em x=-2, o limite do lado esquerdo é +∞ e o limite do lado direito é 3. Assim, como um dos limites laterais é infinito, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

O limite da função em x=1 é 0 e, por outro lado, o valor da função em x=1 é igual a 2. A função apresenta portanto uma descontinuidade evitável em x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

Em x = 4, o limite do lado esquerdo é -3 e o limite do lado direito é 1. Portanto, como os dois limites laterais são diferentes e nenhum deles dá infinito, a função inevitavelmente tem uma descontinuidade de salto finita em x =4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Exercício 5

Encontre todas as assíntotas e descontinuidades da função representada no gráfico a seguir:

exercício resolvido sobre os tipos de descontinuidades de uma função

Veja a solução

Assíntotas

A função está muito próxima da linha vertical x=3, mas nunca a toca. Além disso, o limite lateral esquerdo em x=3 é +∞ e o limite lateral direito é -∞. Portanto, x=3 é uma assíntota vertical.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

E a mesma coisa acontece com a reta horizontal y=-1, a função chega muito perto de y=-1 mas nunca a cruza. Além disso, o limite da função quando x se aproxima de +∞ e -∞ é -1. Portanto, y=-1 é uma assíntota horizontal.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

Descontinuidades

Em x=6 a função é interrompida porque existe um ponto aberto. O limite quando x se aproxima de 6 é -1,4 mas f(6)=1. A função, portanto, tem uma descontinuidade evitável em x=6 porque o valor do limite não coincide com o valor da função:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

Em x=-3 os limites laterais não coincidem e nenhum dá o infinito. A função, portanto, tem uma inevitável descontinuidade de salto finito em x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

E finalmente, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x = 3, uma vez que pelo menos um limite lateral neste ponto resulta no infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Quais são todos os tipos de descontinuidades?

Descontinuidade evitável

Descontinuidade inevitável do salto finito

Salto infinito Descontinuidade inevitável

Exercícios resolvidos sobre tipos de descontinuidades

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

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