Points coplanaires (ou coplanaires)

Sur cette page vous découvrirez ce que sont les points coplanaires (ou coplanaires) et comment savoir si certains points sont coplanaires ou non. De plus, vous pourrez voir des exemples et pratiquer avec des exercices résolus de points coplanaires.

Que sont les points coplanaires ?

En géométrie analytique, la signification des points coplanaires (ou coplanaires) est la suivante :

Les points coplanaires sont les points qui appartiennent au même plan.

Par conséquent, 2 ou 3 points sont toujours coplanaires car un plan peut être formé avec aussi peu que 3 points. Par contre, lorsqu’il y a 4, 5 points ou plus, il se peut que certains des points ne soient pas contenus dans le même plan et, par conséquent, qu’ils ne soient pas coplanaires.

Par exemple, dans la représentation graphique ci-dessus, vous pouvez voir que les points A, C, D et F sont coplanaires les uns avec les autres, puisqu’ils sont contenus dans le même plan. Par contre, ces 4 points ne sont pas coplanaires avec les points B, E et G, car aucun plan ne peut être formé dans l’espace qui contient tous les points.

De cette propriété, on peut déduire que les vecteurs définis par des points coplanaires sont également des vecteurs coplanaires, c’est-à-dire qu’ils sont contenus dans le même plan.

Quand les points sont-ils coplanaires ?

Comme nous l’avons vu dans la définition des points coplanaires (ou coplanaires), deux ou trois points sont toujours coplanaires, mais plus de trois points n’ont pas à respecter la relation de coplanarité.

Ainsi, il existe principalement 2 méthodes pour déterminer si quatre points ou plus sont coplanaires :

Une façon de savoir si les points sont coplanaires est par les vecteurs qui sont déterminés par les points : si ces vecteurs sont coplanaires , alors les points sont également coplanaires.

Évidemment, pour appliquer cette méthode, vous devez savoir quand les vecteurs sont coplanaires. Mais comme il existe également plusieurs façons de déterminer si un ensemble de vecteurs est coplanaire, nous vous recommandons de consulter comment savoir si les vecteurs sont coplanaires . Vous trouverez ici toutes les procédures qui existent pour trouver quand 2, 3, 4 vecteurs ou plus sont coplanaires, ainsi que des exemples et des exercices résolus.

Une autre façon de savoir si un ensemble de points est coplanaire est de trouver l’équation du plan formé par 3 points de l’ensemble, et si les autres points satisfont cette équation, alors cela signifie que tous les points de l’ensemble sont coplanaires.

Bien que cela dépende du problème, nous vous recommandons d’utiliser la première des deux méthodes, car il est beaucoup plus simple et rapide de vérifier si les vecteurs sont coplanaires que de calculer l’équation d’un plan. Mais, évidemment, utilisez celui que vous préférez.

Problèmes résolus de points coplanaires

Exercice 1

Déterminez si les trois points suivants sont coplanaires :

$A(3,5,1)$

$B(0,-2,3)$

$C(4,-1,2)$

voir solution

Dans ce cas il n’est pas nécessaire de faire de calcul car 3 points sont toujours coplanaires , quels qu’ils soient.

Exercice 2

Déterminez si les quatre points suivants sont coplanaires :

$A(1,2,0)$

$B(-1,3,4)$

$C(1,0,-1)$

$D(2,5,-3)$

voir solution

Pour que les quatre points soient coplanaires, les vecteurs déterminés par eux doivent être coplanaires. On calcule donc ces vecteurs :

$\vv{AB} = B- A = (-1,3,4)-(1,2,0) = (-2,1,4)$

$\vv{AC} = C- A = (1,0,-1)-(1,2,0) = (0,-2,-1)$

$\vv{AD} = D- A = (2,5,-3)-(1,2,0) = (1,3,-3)$

Construisons maintenant la matrice formée par les vecteurs :

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -2&1&4 \\[1.1ex]0&-2&-1 \\[1.1ex] 1&3&-3\end{pmatrix}$

Pour que les vecteurs résultants soient coplanaires, il faut que le rang de la matrice précédente soit égal à 2. Et, pour cela, le déterminant de toute la matrice 3×3 doit être égal à zéro :

$rg(A)= \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -2&1&4 \\[1.1ex]0&-2&-1 \\[1.1ex] 1&3&-3\end{vmatrix} =-11\neq 0$

$rg(A)=3$

Cependant, le déterminant de la matrice entière est non nul, donc le rang de la matrice est 3, et par conséquent les 4 points ne sont pas coplanaires .

Exercice 3

Découvrez si les cinq points suivants sont coplanaires :

$A(3,1,1)$

$B(0,0,2)$

$C(4,-2,-1)$

$D(-1,1,3)$

$E(2,4,3)$

voir solution

Pour que les cinq points soient coplanaires, les vecteurs qui sont définis par eux doivent être coplanaires. On calcule donc ces vecteurs :

$\vv{AB} = B- A = (0,0,2)-(3,1,1) = (-3,-1,1)$

$\vv{AC} = C- A = (4,-2,-1)-(3,1,1) = (1,-3,-2)$

$\vv{AD} = D- A = (-1,1,3)-(3,1,1) = (-4,0,2)$

$\vv{AE} = E- A = (2,4,3)-(3,1,1) = (-1,3,2)$

Construisons maintenant la matrice composée des vecteurs :

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{pmatrix}$

Pour que les vecteurs résultants soient coplanaires, il faut que le rang de la matrice précédente soit égal à 2. On calcule donc le rang de la matrice des vecteurs par déterminants pour vérifier s’ils sont coplanaires :

$rg(A)= \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1 \\[1.1ex] 1&-3\end{vmatrix} =10\neq 0$

$rg(A)=2$

Le rang de la matrice est équivalent à 2, donc les vecteurs sont coplanaires et par conséquent les 5 points sont également coplanaires.

Exercice 4

Calculer la valeur du paramètre

$k$ de sorte que les 4 points suivants sont coplanaires :

$A(3,1,4)$

$B(2,1,2)$

$C(0,-1,3)$

$D(3,2,k)$

voir solution

Pour que les quatre points soient coplanaires, les vecteurs déterminés par eux doivent être coplanaires. On calcule donc ces vecteurs :

$\vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)$

$\vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)$

$\vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)$

Dont la matrice vectorielle est :

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{pmatrix}$

Pour que les vecteurs résultants soient coplanaires, le rang de la matrice doit être 2. Et, par conséquent, le déterminant de toute la matrice 3×3 doit être égal à 0 :

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle 2k-3 =0$

Enfin, on résout l’inconnu

$k:$

$2k =3$

$\bm{k =}\mathbf{\cfrac{3}{2}}$

Enfin, si cet article vous a été utile, vous êtes probablement aussi intéressé par la façon dont la distance entre deux points est calculée (formule) , puisque parfois dans les problèmes de géométrie analytique on nous demande quelle est la distance entre deux points. Sur la page liée, vous trouverez une explication très détaillée, ainsi que des exemples et des exercices résolus étape par étape.

Que sont les points coplanaires ?

Quand les points sont-ils coplanaires ?

Problèmes résolus de points coplanaires

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

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