{"id":88,"date":"2023-09-17T10:56:06","date_gmt":"2023-09-17T10:56:06","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/"},"modified":"2023-09-17T10:56:06","modified_gmt":"2023-09-17T10:56:06","slug":"functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/","title":{"rendered":"Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)"},"content":{"rendered":"<p>Hier leert u wat concaafheid en convexiteit van een functie zijn en hoe u kunt bepalen of een functie concaaf of convex is. Daarnaast kun je oefenen met stapsgewijze oefeningen op de kromming van een functie. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-concavidad-y-la-convexidad-de-una-funcion\"><\/span> Wat is de concaviteit en convexiteit van een functie?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Concaviteit en convexiteit van een functie verwijzen naar de kromming van de grafiek van een functie.<\/strong> Een <strong>concave functie<\/strong> is een functie waarvan de grafiek de vorm heeft van een berg, en een <strong>convexe functie<\/strong> is een functie waarvan de grafiek de vorm heeft van een vallei.<\/p>\n<p> In de vorige paragraaf zijn concave en convexe functies informeel gedefinieerd voor het gemak van begrip, maar de wiskundige definitie van concave functie en convexe functie is als volgt:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Concave functie:<\/strong> wanneer het segment dat twee willekeurige punten van de functie verbindt, zich onder de curve bevindt.<\/li>\n<li> <strong>Convexe functie:<\/strong> wanneer het segment dat twee willekeurige punten van de functie verbindt, zich boven de curve bevindt. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-9\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-concave.webp\" alt=\"concave functie\" class=\"wp-image-2556\" width=\"292\" height=\"300\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-convexe.webp\" alt=\"convexe functie\" class=\"wp-image-2557\" width=\"288\" height=\"300\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Uiteindelijk ligt het verschil tussen een concave functie en een convexe functie in de vorm van de functie en daarom kun je concaviteit van convexiteit onderscheiden in de grafiek van de functie.<\/p>\n<p> Een functie hoeft echter niet noodzakelijkerwijs concaaf of convex te zijn over het gehele domein, maar kan ook concaaf zijn over het ene interval en convex over een ander interval.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> <strong>Opmerking:<\/strong> de wiskundige gemeenschap is het er nog steeds niet helemaal mee eens en daarom zeggen sommige professoren het tegenovergestelde: ze noemen een functie concaaf en heeft de vorm van een<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5ebc563dbe58138d1de6b7fe99e8d31_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\cup}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , en een convexe functie die de vorm heeft van<strong> <\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dccbfcebef91876585ebd365457c3d24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\cap}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p>. Het belangrijkste is in ieder geval om te weten wat de functie is, wat de naam ook is. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-estudiar-la-curvatura-de-una-funcion\"><\/span> Hoe de kromming van een functie te bestuderen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Het bestuderen van de kromming van een functie omvat het vinden van de concaafheid en convexiteit van de functie, dat wil zeggen het kennen van de intervallen waarin de functie concaaf is en de intervallen waarin de functie convex is.<\/p>\n<p> Om de kromming van een functie te bestuderen, moeten dus de volgende stappen worden uitgevoerd: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFF3E0; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 10px; border-radius:30px;\">\n<ol style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Zoek de <strong>punten die niet tot het domein van de functie behoren<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Bereken de eerste afgeleide en <strong>tweede afgeleide van de functie.<\/strong><\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Vind de <strong>wortels van de tweede afgeleide<\/strong> , dat wil zeggen, bereken de punten die de tweede afgeleide opheffen door op te lossen\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Maak <strong>intervallen<\/strong> met de wortels van de afgeleide en de punten die niet tot het domein van de functie behoren.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Bereken de waarde van de tweede afgeleide op een punt in elk interval.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Het teken van de tweede afgeleide<\/strong> bepaalt dus de concaafheid of convexiteit van de functie in dit interval:<\/span>\n<ul style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold; margin-top:8px; margin-left:8%\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Als de tweede afgeleide van de functie positief is, is de functie <strong>convex<\/strong> op dit interval.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Als de tweede afgeleide van de functie negatief is, is de functie op dit interval <strong>concaaf<\/strong> .<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-hallar-la-curvatura-de-una-funcion\"><\/span> Voorbeeld van hoe u de kromming van een functie kunt vinden<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Vervolgens zullen we stap voor stap een voorbeeld oplossen, zodat u kunt zien hoe de concaafheid en convexiteitsintervallen van een functie worden berekend.<\/p>\n<ul>\n<li> Bestudeer de concaafheid en convexiteit van de volgende functie:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d76dfe92202a4fa44057a7f4576c97a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^3-3x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Het eerste dat u moet doen, is het domein van de definitie van de functie berekenen. In dit geval hebben we een polynomiale functie, dus het domein van de functie bestaat uit re\u00eble getallen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f565027fd5d2a4381e3a23d183c9f76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nadat we het domein van de functie hebben berekend, moeten we onderzoeken op welke punten de tweede afgeleide van de functie verdwijnt.<\/p>\n<p> We berekenen daarom de eerste afgeleide van de functie:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e356b083f137690f09e2af3c62b8b07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^3-3x \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= 3x^2-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We vinden dan de tweede afgeleide van de functie:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-016a210c39feb9d6df8caddacdbac681_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=3x^2-3 \\ \\longrightarrow \\ f''(x)= 6x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En nu stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de vergelijking op: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7878c5d5f08c25729d37b94ea643bdf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-108341259f39e597d1e8c926a80dbae6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{0}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8203ced39e0cdafefa708857c7ec2264_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Zodra we het domein van de functie en hebben berekend<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , vertegenwoordigen we alle kritieke punten op de lijn. In dit geval hebben we geen enkel kritisch punt gevonden in de berekening van het definitiedomein van de functie, maar hebben we een punt verkregen dat de tweede afgeleide van de functie annuleert: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-0.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2426\" width=\"201\" height=\"77\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> En nu evalueren we het teken van de tweede afgeleide in elk interval, om te weten of de functie concaaf of convex is. We nemen daarom in elk interval een punt (nooit de kritische punten) en kijken welk teken de tweede afgeleide op dit punt heeft: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86d5e98dcde33659284eaafb55050852_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=6x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab7d8a0d32ae8b29c211f51359c61a4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(-1) = 6\\cdot (-1)=-6 \\  \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"236\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-084869779374d781df1af76f0aa784ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(1) = 6\\cdot 1=+6 \\  \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-0-concave-convexe.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2561\" width=\"201\" height=\"134\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ten slotte leiden we de concaafheid en convexiteitsintervallen van de functie af. Als de tweede afgeleide positief is, betekent dit dat de functie convex is.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , en als de tweede afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie concaaf is<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . De concaafheid en convexiteitsintervallen van de functie zijn dus:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Convex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91ffae1f3397d9d66e3159e131554abb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Concaaf<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong> <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bec51dbadb80b73308bcb5a625cd152f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-concavidad-y-convexidad-de-una-funcion\"><\/span> Opgeloste oefeningen over de concaviteit en convexiteit van een functie<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Oefening 1<\/h3>\n<p> Bereken de concaafheid en convexiteitsintervallen van de volgende polynoomfunctie: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cd1ae6bdb4d8dbd44ef2561f6e022fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = x^3-3x^2-2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De functie in de oefening is een polynoom, dus het domein van de functie bestaat uit re\u00eble getallen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f565027fd5d2a4381e3a23d183c9f76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nadat we het domein van de functie hebben bepaald, differenti\u00ebren we deze:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a14436352ca08e03441a24b9e881093_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^3-3x^2-2x \\ \\longrightarrow \\  f'(x)= 3x^2-6x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"375\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We vinden dan de tweede afgeleide van de functie:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ec8542448a8f4aa326a2d70f5f5efb4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= 3x^2-6x-2 \\ \\longrightarrow \\ f''(x)= 6x-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"327\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En nu stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de vergelijking op: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f618f4961c18c45be60fc496ad4896e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c644c35f109a535e50e1bda440f12db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6x-6= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b7a2a9a8deaab9c4eb4761838f99407_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6x= 6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddd3a5381ed7b33d4e9dfbc270c1da3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{6}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3330a01aa4d7d81947b71297d8623d3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zodra we het domein van de functie hebben berekend en opgelost<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> vertegenwoordigen we alle singuliere punten op de getallenlijn: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-1.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2564\" width=\"213\" height=\"83\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En laten we nu een punt nemen dat bij elk interval hoort en kijken welk teken op dit punt de tweede afgeleide heeft:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e4f2f534e4134661dfda2b6b8125ee3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(0)= 6\\cdot 0-6 = -6 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59d344f0c0b93695edf55652112bf6e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(2)= 6\\cdot 2-6 = 12-6=+6 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"297\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-1-concave-convexe.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2565\" width=\"224\" height=\"150\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wanneer de tweede afgeleide groter is dan nul, betekent dit dat de functie convex is.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , maar als de tweede afgeleide negatief is, impliceert dit dat de functie concaaf is<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Daarom zijn de concaafheids- en convexiteitsintervallen:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Convex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87d6843b66a0ebea6c769017a30a8d75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(1,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Concaaf<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong> <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36b85798b30f125fea3702a0671c77ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,1)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 2<\/h3>\n<p> Bestudeer de kromming van de volgende rationale functie: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ac9ccc5e8540cca38f599ed36507792_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{x^3}{x^2-4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Eerst moeten we het domein van de functie berekenen. Omdat dit een rationale functie is, stellen we de noemer gelijk aan nul om te zien welke getallen niet tot het domein van de functie behoren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a34dfe78d673534873a2013c16e1b353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-4= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c269e23a1070b3e5556abece040af75a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4c32359b264b28ac80f2606c09d5a2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt{x^2}=\\sqrt{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c06a55e3acdd1e283973786926b27716_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\pm 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dit betekent dat wanneer x -2 of +2 is, de noemer 0 zal zijn. En daarom zal de functie niet bestaan. Het domein van de functie bestaat dus uit alle getallen behalve x=-2 en x=+2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e666f828709575f965b5120fbdda085e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{-2, +2 \\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ten tweede berekenen we de eerste afgeleide van de functie: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1397d0e8e73bd7b1d851411dee28daed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^3}{x^2-4}  \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= \\cfrac{3x^2 \\cdot (x^2-4) - x^3 \\cdot 2x }{\\left(x^2-4\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"396\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-495f08a881718b2734ef1db17b5f39ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= \\cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\\left(x^2-4\\right)^2} = \\cfrac{x^4-12x^2}{\\left(x^2-4\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"298\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En dan lossen we de tweede afgeleide op: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50df15bb48cacf8f031b640994661e47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right)^2 - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 2\\left(x^2-4\\right)\\cdot 2x }{ \\left(\\left(x^2-4\\right)^2 \\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"483\" style=\"vertical-align: -33px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b05b5f09c2adbfead593df2cdf2ad29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right)^2 - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 4x\\left(x^2-4\\right) }{\\left(x^2-4\\right)^4 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"461\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle termen worden vermenigvuldigd met<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e0f0d9a63183e28c50a5cedcddeddd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x^2-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . We kunnen de breuk daarom vereenvoudigen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92e1aa280d06bf8b58045845d5e21f37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right)^{\\cancel{2}} - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 4x\\cancel{\\left(x^2-4\\right)} }{\\left(x^2-4\\right)^{\\cancelto{3}{4}} }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"458\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a912eff3359969b6ffbef96a3f16932d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right) - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 4x}{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"386\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bc35bdd2b70bbac52fa0f24bbefa261_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \\left(4x^5-48x^3\\right) }{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"381\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-045971f71cc11ced77ea0df9f2c514fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"365\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3144a0aa00ee8ec427752f05f0fac40c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{8x^3+96x  }{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"145\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Laten we nu de wortels van de tweede afgeleide van de functie berekenen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f618f4961c18c45be60fc496ad4896e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8ed519add27a4d51c75b49179e632ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{8x^3+96x  }{\\left(x^2-4\\right)^3 }=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De voorwaarde<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8590a90fab5aef55d7b45cd89e01943_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x^2-4\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<p> Dit houdt in dat we de hele linkerkant delen, zodat we deze met de hele rechterkant kunnen vermenigvuldigen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5c0d1e44accc3b68a67598f5c4d834c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"8x^3+96x =0\\cdot \\left(x^2-4\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c52a7448e4acc67488ef5747cc3bed9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"8x^3+96x =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We halen de gemeenschappelijke factor eruit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f2884a1c9b8dabf6ea5323f2ac71b2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(8x^2+96)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Om de vermenigvuldiging gelijk te maken aan 0, moet een van de twee elementen van de vermenigvuldiging nul zijn. Daarom stellen we elke factor gelijk aan 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31adba554b44aa92fd7227506440ccaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x\\cdot(8x^2+96) =0 \\longrightarrow \\begin{cases} \\bm{x =0} \\\\[2ex] 8x^2+96=0 \\ \\longrightarrow \\ x^2=\\cfrac{-96}{8}} = -12 \\ \\longrightarrow \\ x= \\sqrt{-12} \\ \\color{red}\\bm{\\times} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"635\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-635e2ffa452a5a66a4bcacb0e111c5ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\sqrt{-12}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> Er is geen oplossing omdat er geen negatieve wortel is van een re\u00ebel getal.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We geven nu op de lijn alle verkregen kritische punten weer, dat wil zeggen de punten die niet tot het domein behoren (x=-2 en x=+2) en die welke de tweede afgeleide opheffen (x=0): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-2-0-2.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2399\" width=\"385\" height=\"75\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En we evalueren het teken van de tweede afgeleide in elk interval, om te weten of de functie concaaf of convex is. We nemen dus een punt in elk interval en kijken welk teken op dat punt de tweede afgeleide heeft: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b5618d1ab96a078d50507f45155595b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(-3)=\\cfrac{8(-3)^3+96(-3)  }{\\left((-3)^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{-504}{125}=-4,03 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"408\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2e868f1f815d4155a187c55b004cc13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(-1)=\\cfrac{8(-1)^3+96(-1)  }{\\left((-1)^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{-104}{-27}=3,85 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3814746f7f9e8aa3920e3f84cd0ff0eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(1)=\\cfrac{8\\cdot1^3+96\\cdot 1  }{\\left(1^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{104}{-27}=-3,85 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"348\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54d98824f72954de12bc065471a610e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(3)=\\cfrac{8\\cdot 3^3+96\\cdot 3  }{\\left(3^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{504}{125}=4,03 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-2-0-2-courbure.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2568\" width=\"383\" height=\"129\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Als de tweede afgeleide positief is, betekent dit dat de functie convex is.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , en als de tweede afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie concaaf is<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . De concaviteits- en convexiteitsintervallen zijn daarom:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Convex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd739761b2dc845594c0a0696a240c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-2,0)\\cup (2,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Concaaf<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong> <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e741ac026627200772655094f921f26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,-2)\\cup (0,2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 3<\/h3>\n<p> Een functie<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> heeft een relatief extreem in<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3573bf1ea4c223bb71878796b2106731_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> . En bovendien is de functie convex<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5b03f70f64c85542b93152492ab8bd8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\cup )\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> op ditzelfde punt. Bepaal of het relatieve uiterste een minimum of een maximum is.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/maxima-minima-van-een-functie-relatieve-extrema\/\">definitie van maxima en minima van een functie<\/a><\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Laat de convexe functie<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2bb599fff4b55075f6de7628a35f822_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\cup)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> In<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3573bf1ea4c223bb71878796b2106731_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> betekent dat de tweede afgeleide op dit punt positief is, dwz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e1c4b76e92a6fd3dd8c16dfb2ca8cf4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(3)>0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;19&#8243; width=&#8221;74&#8243; style=&#8221;vertical-align: -5px;&#8221;><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daarom is het relatieve uiterste van<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2176aa2efb23d1fbd644eff672465ff0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x=3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> <strong>Dit is een minimum<\/strong> , aangezien<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8cfc4aa0fa7cede2c69561e8b65a6991_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Het is positief.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier leert u wat concaafheid en convexiteit van een functie zijn en hoe u kunt bepalen of een functie concaaf of convex is. Daarnaast kun je oefenen met stapsgewijze oefeningen op de kromming van een functie. Wat is de concaviteit en convexiteit van een functie? Concaviteit en convexiteit van een functie verwijzen naar de kromming &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)<\/span> Lees meer &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[38],"tags":[],"class_list":["post-88","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivaten"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"We leggen uit hoe je de concaafheid en convexiteit (kromming) van een functie kunt bestuderen. Opgeloste oefeningen over de concaafheid en convexiteit van een functie.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"We leggen uit hoe je de concaafheid en convexiteit (kromming) van een functie kunt bestuderen. Opgeloste oefeningen over de concaafheid en convexiteit van een functie.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-09-17T10:56:06+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-concave.webp\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschreven door\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/\",\"name\":\"\u25b7 Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-09-17T10:56:06+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-17T10:56:06+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\"},\"description\":\"We leggen uit hoe je de concaafheid en convexiteit (kromming) van een functie kunt bestuderen. Opgeloste oefeningen over de concaafheid en convexiteit van een functie.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\",\"name\":\"\",\"description\":\"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\",\"name\":\"Redactioneel Team\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Redactioneel Team\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/nl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)","description":"We leggen uit hoe je de concaafheid en convexiteit (kromming) van een functie kunt bestuderen. Opgeloste oefeningen over de concaafheid en convexiteit van een functie.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)","og_description":"We leggen uit hoe je de concaafheid en convexiteit (kromming) van een functie kunt bestuderen. Opgeloste oefeningen over de concaafheid en convexiteit van een functie.","og_url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/","article_published_time":"2023-09-17T10:56:06+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-concave.webp"}],"author":"Redactioneel Team","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschreven door":"Redactioneel Team","Geschatte leestijd":"6 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/","name":"\u25b7 Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website"},"datePublished":"2023-09-17T10:56:06+00:00","dateModified":"2023-09-17T10:56:06+00:00","author":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64"},"description":"We leggen uit hoe je de concaafheid en convexiteit (kromming) van een functie kunt bestuderen. Opgeloste oefeningen over de concaafheid en convexiteit van een functie.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/functie-van-concaviteit-en-convexiteit-van-een-kromming\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Concaviteit en convexiteit van een functie (kromming)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/","name":"","description":"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"nl-NL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64","name":"Redactioneel Team","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Redactioneel Team"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/nl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/88","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=88"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/88\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=88"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=88"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=88"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}