De maxima van een functie zijn de grootste waarden van de functie en de minima van een functie zijn de kleinste waarden van de functie.<\/strong> De maxima en minima van een functie zijn relatieve uitersten<\/strong> wanneer ze alleen de grootste of kleinste waarden in hun omgeving vertegenwoordigen, maar het zijn absolute uitersten<\/strong> wanneer ze de grootste of kleinste waarden van de gehele functie vertegenwoordigen. <\/p>\n Je kunt ook relatieve uitersten identificeren door de groei en afname van de functie<\/strong> te bestuderen:<\/p>\n Uit de eerste en tweede afgeleide van een functie kunnen we weten of een functie op een bepaald punt een relatief extremum heeft en of dat punt een relatief maximum of een relatief minimum is: <\/p>\n Nadat we de definities van het maximum en minimum van een functie hebben gezien, zullen we stap voor stap een voorbeeld oplossen, zodat u kunt zien hoe het maximum en minimum van een functie worden berekend.<\/p>\n De relatieve uitersten van de functie zijn de punten die voldoen<\/p>\n<\/p>\n . Daarom berekenen we eerst de afgeleide van de functie:<\/p>\n<\/p>\n En nu stellen we de afgeleide van de functie gelijk aan nul en lossen we de resulterende kwadratische vergelijking op: <\/p>\n<\/p>\n Daarom zijn de relatieve uitersten van de functie x=+1 en x=-1.<\/p>\n Zodra we de relatieve uitersten van de functie kennen, kunnen we weten of ze een maximum of een minimum zijn met het teken van de tweede afgeleide. We berekenen daarom de tweede afgeleide van de functie:<\/p>\n<\/p>\n En nu evalueren we in de tweede afgeleide de relatieve extremen die we eerder hebben gevonden, om te weten of ze een relatief maximum of minimum zijn:<\/p>\n<\/p>\n Relatief minimaal<\/p>\n<\/p>\n Maximaal relatief<\/p>\n De tweede afgeleide bij x=1 is positief, dus x=1 is een relatief minimum<\/strong> . Aan de andere kant is de tweede afgeleide bij x=-1 negatief, dus x=-1 is een relatief maximum<\/strong> .<\/p>\n Ten slotte vervangen we de gevonden punten in de oorspronkelijke functie om de Y-co\u00f6rdinaat van de relatieve uitersten te vinden:<\/p>\n<\/p>\n Concluderend zijn de relatieve uitersten van de functie:<\/p>\n Minimaal tot punt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Maximaal op punt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Laten we nu eens kijken hoe een ander type oefening wordt opgelost. In dit geval zullen we uitleggen hoe je het maximum en het minimum kunt vinden op basis van de monotoniciteit van een functie.<\/p>\n Het eerste dat u moet doen, is het domein van de definitie van de functie berekenen. Omdat het een rationale functie is, moeten we de noemer gelijk stellen aan 0 om te zien welke getallen niet tot het domein van de functie behoren: <\/p>\n<\/p>\n Nadat we het domein van de definitie van de functie hebben berekend, moeten we bestuderen welke punten de eerste afgeleide opheffen. We leiden daarom de functie af: <\/p>\n<\/p>\n En nu stellen we de afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de vergelijking op:<\/p>\n<\/p>\n De voorwaarde<\/p>\n<\/p>\n Dit houdt in dat we de hele linkerkant delen, zodat we deze met de hele rechterkant kunnen vermenigvuldigen:<\/p>\n<\/p>\n We extraheren de gemeenschappelijke factor om de kwadratische vergelijking op te lossen:<\/p>\n<\/p>\n Om de vermenigvuldiging gelijk te maken aan 0, moet een van de twee elementen van de vermenigvuldiging nul zijn. We stellen daarom elke factor gelijk aan 0 en verkrijgen de twee oplossingen van de vergelijking:<\/p>\n<\/p>\n Zodra we het domein van de functie en hebben berekend<\/p>\n<\/p>\n , vertegenwoordigen we alle kritieke punten op de lijn: <\/p>\n En we evalueren het teken van de afgeleide in elk interval, om te weten of de functie toeneemt of afneemt. Om dit te doen, nemen we een punt in elk interval (nooit de kritieke punten) en kijken we welk teken de afgeleide op dat punt heeft: <\/p>\n<\/p>\n Als de afgeleide positief is, betekent dit dat de functie toeneemt, maar als de afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie afneemt. Daarom zijn de groei- en afname-intervallen:<\/p>\n Groei:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Afname:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Bovendien gaat de functie bij x=0 van stijgend naar dalend, dus x=0 is een relatief maximum<\/strong> van de functie .<\/strong> En bij x=2 gaat de functie van afnemend naar toenemend, dus x=2 is een relatief minimum<\/strong> van de functie.<\/p>\n En ten slotte vervangen we de punten gevonden in de originele functie om de Y-co\u00f6rdinaat van de uiteinden te vinden:<\/p>\n<\/p>\n Kortom, de relatieve uitersten van de functie zijn:<\/p>\n Maximaal op punt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Minimaal tot punt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Bereken de relatieve extrema van de volgende polynoomfunctie en bepaal of het maxima of minima zijn: <\/p>\n<\/p>\n De relatieve uitersten van de functie zijn de punten waarop de eerste afgeleide van de functie gelijk is aan nul. We berekenen daarom de afgeleide van de functie:<\/p>\n<\/p>\n En nu lossen we de vergelijking op <\/p>\n<\/p>\n We hebben een kwadratische vergelijking, dus passen we de algemene formule toe om deze op te lossen:<\/p>\n<\/p>\n Daarom zijn de relatieve uitersten van de functie de punten x=3 en x=-1.<\/p>\n Zodra we de relatieve uitersten van de functie kennen, kunnen we weten of ze een maximum of een minimum zijn met het teken van de tweede afgeleide. We differenti\u00ebren daarom de functie opnieuw:<\/p>\n<\/p>\n En nu evalueren we de punten die we eerder hebben berekend in de tweede afgeleide: <\/p>\n<\/p>\n De tweede afgeleide bij x=3 is positief, dus x=3 is een minimum<\/strong> . En de tweede afgeleide bij x=-1 is negatief, dus x=-1 is een maximum<\/strong> .<\/p>\n En ten slotte vervangen we de punten gevonden in de originele functie om de Y-co\u00f6rdinaat van de uiteinden te vinden: <\/p>\n<\/p>\n Kortom, de relatieve uitersten van de functie zijn:<\/p>\n Minimaal ten opzichte van het punt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Maximaal ten opzichte van het punt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Bereken de relatieve extrema van de volgende exponenti\u00eble functie en bepaal of dit maxima of minima zijn: <\/p>\n<\/p>\n Ten eerste moeten we de functie differenti\u00ebren. Om dit te doen, passen we de formule toe voor de afgeleide van een product: <\/p>\n<\/p>\n En nu lossen we de vergelijking op <\/p>\n<\/p>\n Een getal dat naar een ander wordt verhoogd, kan nooit resulteren in 0. Daarom<\/p>\n<\/p>\n heeft geen oplossing en het enige relatieve uiterste is dat wel<\/p>\n .<\/p>\n Nu berekenen we de tweede afgeleide van de functie om te weten dat het relatieve uiterste een maximum of een minimum is:<\/p>\n<\/p>\n En nu evalueren we in de tweede afgeleide het uiterste dat we eerder hebben gevonden, om te zien of het een maximum of een minimum is:<\/p>\n<\/p>\n Omdat de tweede afgeleide bij x=0 positief is, is x=0 een relatief of lokaal minimum<\/strong> .<\/p>\n Ten slotte vervangen we het punt gevonden in de originele functie om de andere eindco\u00f6rdinaat te vinden:<\/p>\n<\/p>\n Het enige relatieve uiterste van de functie is daarom:<\/p>\n Minimaal tot punt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Bestudeer monotoniciteit en vind de relatieve uitersten van de volgende rationale functie: <\/p>\n<\/p>\n Eerst bepalen we het domein van de functie. Om dit te doen, stellen we de noemer van de breuk gelijk aan nul en lossen we de resulterende kwadratische vergelijking op:<\/p>\n<\/p>\n De uitdrukking<\/p>\n<\/p>\n Het zal nooit 0 zijn, aangezien het resultaat van x 2<\/sup> altijd een positief getal of 0 zal zijn. Daarom zal het optellen van 1 nooit 0 opleveren. Het domein van de functie bestaat daarom alleen uit re\u00eble getallen:<\/p>\n<\/p>\n Vervolgens onderzoeken we welke punten aan elkaar voldoen<\/p>\n<\/p>\n We differenti\u00ebren de functie met behulp van de quoti\u00ebntregel: <\/p>\n<\/p>\n We stellen de afgeleide gelijk aan 0 en lossen de vergelijking op: <\/p>\n<\/p>\n We hebben een kwadratische vergelijking, dus gebruiken we de algemene formule om deze op te lossen:<\/p>\n<\/p>\n Zodra we het domein van de functie en hebben berekend<\/p>\n<\/p>\n vertegenwoordigen we alle singuliere punten op de getallenlijn: <\/p>\n En nu evalueren we het teken van de afgeleide in elk interval, om erachter te komen of de functie stijgend of dalend is. We nemen daarom in elk interval een punt (nooit de singuliere punten) en kijken welk teken de afgeleide op dit punt heeft: <\/p>\n<\/p>\n Als de afgeleide positief is, betekent dit dat de functie in dat interval toeneemt, maar als de afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie afneemt. Daarom zijn de groei- en afname-intervallen:<\/p>\n Groei:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Afname:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n De functie verandert van afnemend naar toenemend bij x=-0,41, dus x=-0,41 is een lokaal minimum<\/strong> van de functie. En de functie gaat van stijgend naar dalend bij x=2,41, dus x=2,41 is een lokaal maximum<\/strong> van de functie.<\/p>\n Ten slotte vervangen we de gevonden uitersten in de oorspronkelijke functie om de Y-co\u00f6rdinaten van de punten te vinden: <\/p>\n<\/p>\n De relatieve uitersten van de functie zijn daarom:<\/p>\n Minimaal tot punt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Maximaal op punt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n We weten dat de functie<\/p>\n<\/p>\n door het punt gaan<\/p>\n en heeft een relatief extreem in<\/p>\n Bepaal de waarde van de onbekenden<\/p>\n en de waarde van <\/p>\n Laat de functie een relatief extremum hebben<\/p>\n<\/p>\n dat betekent dat het volbracht is<\/p>\n Daarom berekenen we de afgeleide van de functie in<\/p>\n en we stellen het gelijk aan 0: <\/p>\n<\/p>\n En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van parameter a te vinden: <\/p>\n<\/p>\n De functie wordt dus:<\/p>\n<\/p>\n Aan de andere kant vertellen ze ons dat de functie door het punt gaat<\/p>\n<\/p>\n Dat is te zeggen,<\/p>\n Daarom kunnen we deze voorwaarde toepassen om de waarde van variabele b te vinden:<\/p>\n<\/p>\n En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van parameter b te vinden: <\/p>\n<\/p>\n De functie is dus:<\/p>\n<\/p>\n![\"maxima](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/maximums-et-minimums-d-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n
<\/span> Hoe je het maximum en minimum van een functie kunt vinden<\/span><\/h2>\n
\n
![\"f'(a)=0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6dcc4b4bb7f26cf48a025c8e0dddf83_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"f''(a)<0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-211c91be3bfe6e5a91f048684198c70a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(a)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-089b7ae49fe440e3b4db19e0b17d8815_l3.png\")
0 \\quad \\bm{\\longrightarrow} \\quad x=a \\text{ es un m\\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”><\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/span> Voorbeeld 1: Hoe u het maximum en minimum van een functie berekent<\/span><\/h2>\n
\n
![\"f(x)=x^3-3x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d76dfe92202a4fa44057a7f4576c97a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36700780d306ccf4975387990b1949fb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(x)=x^3-3x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cad79f4ba702585c8bece2546419bd83_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"3x^2-3=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02ff903613a3329eb87c4943c4cb135b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"3x^2=3\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af1930d8be7faaf020a4103a17e484b8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x^2=\\cfrac{3}{3}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8367eba5249bf4e7b1e395d86bb91be_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x^2=1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-959000af33497314f9a59a9bed2a19c6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0428d6e7e3932e00d3e6a7ab1a779d2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=3x^2-3](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2a906b229d6f4d4d03f59828f327fdb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(1)=6\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb0c79376c0c8816492173e5f109809f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f''(-1)=6\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d51f54d437345293be122b03b5fff03_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(1)=1^3-3\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65771f8b9ce10ad863604fe6e6dca867_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-1)=(-1)^3-3\\cdot(-1)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04df1e45775b1318795100d7211f3b32_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(1,-2)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80e956c137aedb103a56acc0cf510e3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-1,2)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92defeed12f15814813d53b8a24be9ad_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Voorbeeld 2: Monotoniciteit en de maxima en minima van een functie bestuderen<\/span><\/h2>\n
\n
![\"f(x)=\\cfrac{x^2}{x-1}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb173dfd702785865be0051c9bcb7738_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x-1=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a57ca6c48b6f646aeb64eb7f05e4840_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3330a01aa4d7d81947b71297d8623d3b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66d11e82f81cd2425ea2e6641e374baf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)=\\cfrac{x^2}{x-1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19cfa0164864d95d9b2d51743bf7c0d1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=\\cfrac{2x^2-2x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a280e333342dbe57e5d18839a1c9c0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=\\cfrac{x^2-2x}{\\left(x-1\\right)^2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c77f1f797549bb4663fca07fcea2302_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{x^2-2x}{\\left(x-1\\right)^2}=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-faf06fb85062e758f99800d1ffa0788b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(x-1\\right)^2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc1f4cc53676f0eb98290b3478031fef_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"x^2-2x=0\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d8bb0359e60db0b26d9bfce1b349e9e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x^2-2x=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62138ee9fb8dc604ee836f1703379032_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x(x-2)=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b243129a0d8853ec8716beb6d2d5c504_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55127e675ce8f7742db17d565c2ae507_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-0-1-2.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(-1)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171fa182722405650545d6e7fe14d5b3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(0,5)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84e1013672adc10e9447af5478f592a9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(1,5)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-110911aebecc81132e3d726e00be1fcc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(3)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b0a995a54cd7d661f6431cdc3d0d0eda_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-0-1-2-positif-negatif-positif.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\bm{(-\\infty,](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11ebeca24ba262661dd73042a326110c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,1)\\cup](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-206ab3f38b17a58b25209bf269265919_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=\\cfrac{0^2}{0-1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8bb02550f4c83abce02040f9e9ab495_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(2)=\\cfrac{2^2}{2-1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74333ede5561c728c68899d68b31ee62_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(2,4)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a59b564601b4cd9f2bc149baa80c44a7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Opgeloste oefeningen over de maxima en minima van een functie<\/span><\/h2>\n
Oefening 1<\/h3>\n
![\"f(x)=x^3-3x^2-9x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-930d724a5ca23ed9152211f24dc2340b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)=x^3-3x^2-9x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f353678aff2ff5f19c53042f35ef8a19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=0:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58dcd049349f740f082d583dfd9e364c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"3x^2-6x-9=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77ac7ac1a36d5c8591235d8400eb68cd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{aligned}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e4a1d5ede3779d54c8b9b66571a3394_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=3x^2-6x-9](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2ddaaae5740b93b84eb1db4c4e12f69_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(3)=6(3)-6=18-6](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97f883eb74286ab41179d4353161816_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(-1)=6(-1)-6=-6-6](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6efbeb4ad4b54c03aa440dcafb7dc4b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(3)=3^3-3\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b885b81db85c9d12caeed0e046f14ef_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-668346639ebe571949cd8e8939c8a4a3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(3,-27)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b572e4ffbdfe59c16e4e1a30b9ac82a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-1,5)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7aca1cad23e01f6998ce87ff4f73734_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nOefening 2<\/h3>\n
![\"f(x)=e^x(x-1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e82a7f154d9620b6fdcd2d134cbf20a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=e^x\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5508d7a8f5ef73fd09e2c8a013513229_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=xe^x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d1f83cd5953e56070c9f8dea5a03ea5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"xe^x=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9da9b4b19b1c7985bf785b693009de95_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5c0d99b3aa4115c0415e0e57f5df2a5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"e^x=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0108040ee23df4da2db681c9ffb2decc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"x=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8203ced39e0cdafefa708857c7ec2264_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f'(x)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e3186824ec757b18335f7c6b93e6068_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(0)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a333c6f36d372595070b5cf10ef06659_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=e^{0}(0-1)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b262d8c03601983b5497fc165bab677a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,-1)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-737e35e6d1698a9e89986af90d34722e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nOefening 3<\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03ea07dcfe35eeade4235b3325681c2e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x^2+1](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13670326c7cf3ae27c79e8e2ea4f438b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x^2+1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b35b5141a240a76c5fc0e3c75ab5689d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f565027fd5d2a4381e3a23d183c9f76_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=0.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d9516fab46f301bc09e336a12418ad4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(x)=\\cfrac{x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a21eceaf556455939314d569b69f365_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6104d51f83e54587e198db396734fec1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4890b9dfeb634c4d7a349351be73b5d4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{-x^2+2x+1}{\\left(x^2+1\\right)^2}=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-501383d3407e95ff1980351452e414f7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-x^2+2x+1=0\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-348057b71ce15780c2f47bd8053e4cd0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-x^2+2x+1=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-579207dec3599e2925ad24d2e951cb47_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{aligned}x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-836d878f15098c1fe997fbb0392b8733_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/number-line-041-241.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"f'(-1)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c9e9690a2834e9ba455ebe711bfba4d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(0)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c280aa192cd61431df6a1ade0389ed2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(3)=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b40b424c7a763aa9849f33d850a10a1d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-041-241-negatif-positif-negatif.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\bm{(-0,41](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-262e8d5f95ee4afe2dacc0037d8f334c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-\\infty](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33c3a6bfd3dbfbdd2eff5fc4b70aea5b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-0,41)=\\cfrac{-0,41](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-605a64bba8103c7ee0015a92b60273b4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(2,41)=\\cfrac{2,41](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02ff38a48dc66cf3a658619cf41803c9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-0,41](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-906261d9a75f4bc2766c65fc0ac5a363_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf7380f280bd665935068801c9c0d83d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nOefening 4<\/h3>\n
![\"f(x)=x^2+ax+b\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc79cbc1c7886fe5d95d2db47d1635f1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"(1,-2)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f97f2fdc4d62902377daa83ebbd005b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"x=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d8c9d56ee018947d8f054cd237e8c06_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"b](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73a3ea89ad967f2efadeb096bd87bdb1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee848c4f59793dbd8bd705b4e2411c8a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f'(-1)=0.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f57b701a1080acd4db5681249566b5f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41316f1389c40d8634eb0ad596956ca2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1786074f9a3b69a0c2a13a0db7a67895_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2(-1)+a=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5e35d6b05179bb3e4db43f738b6da29_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-2+a=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-729fe80252784c84b2a49624e59b2ac7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{a=2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85d78ced37b5f76e83a3c9c24a8b3eca_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)=x^2+ax+b](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbea1a44d5027753ebc196d004e5671d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"(1,-2)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-702446e4df1457eff7e83e00a8709824_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(1)=-2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-304a45b518ffaec62b95f169ad647688_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c09bb57a4a4fd3eb5d72f5d35d3c539_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"1^2+2\\cdot1+b=-2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e05b252664d0ea2da72627e779469d3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"1+2+b=-2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-626f95581121d205b149c2323e711759_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"b=-2-1-2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-625149278867f4929d813258055868e0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{b=-5}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e925fb7c5eaa30caa970c92688ede93_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)=x^2+2x+b](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2becf12662d9dc5f68cb13dd248f3e51_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n