{"id":82,"date":"2023-09-17T10:59:38","date_gmt":"2023-09-17T10:59:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/"},"modified":"2023-09-17T10:59:38","modified_gmt":"2023-09-17T10:59:38","slug":"differentieerbaarheid-van-een-functie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/","title":{"rendered":"Differentieerbaarheid van een functie"},"content":{"rendered":"<p>In dit artikel leer je hoe je de differentieerbaarheid van een functie kunt bestuderen, dat wil zeggen of een functie differentieerbaar is of niet. Daarnaast zullen we de relatie zien tussen differentiatie en continu\u00efteit van een functie. En ten slotte zullen we de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie bestuderen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivabilidad-y-continuidad-de-una-funcion\"><\/span> Differentieerbaarheid en continu\u00efteit van een functie<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>De continu\u00efteit en differentieerbaarheid<\/strong> van een functie op een punt zijn als volgt gerelateerd:<\/p>\n<ul>\n<li> Als een functie op een bepaald punt differentieerbaar is, is de functie op dat punt continu.<\/li>\n<li> Als een functie op een bepaald punt niet continu is, is deze op dat punt ook niet differentieerbaar.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Het omgekeerde van deze stelling is echter onjuist: het feit dat een functie op een bepaald punt continu is, betekent niet dat deze op dat punt altijd differentieerbaar is.<\/p>\n<p> Je kunt ook zien of een functie op een bepaald punt wel of niet differentieerbaar is vanuit de grafische weergave:<\/p>\n<ul>\n<li> Als het een <strong>glad punt is,<\/strong> is de functie op dit punt differentieerbaar.<\/li>\n<li> Als het een <strong>hoekpunt is,<\/strong> is de functie continu maar op dit punt niet differentieerbaar. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-15\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pour-representer-une-fonction-quadratique-incomplete.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-140\" width=\"250\" height=\"279\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Afvlakkingspunt<\/strong><\/span> op x=0:<br \/> continue en differentieerbare functie in dit stadium. <\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-representer-graphiquement-une-fonction-avec-valeur-absolue.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-230\" width=\"286\" height=\"305\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Hoekpunt<\/strong><\/span> op x=2:<br \/> functie continu maar niet differentieerbaar in dit stadium. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivabilidad-de-una-funcion-a-trozos\"><\/span> Differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zodra we de relatie tussen continu\u00efteit en differentieerbaarheid van een functie kennen, zullen we zien hoe we de differentieerbaarheid van een stuksgewijs gedefinieerde functie kunnen bestuderen.<\/p>\n<p> Je kunt zien of een stuksgewijze functie op een bepaald punt differentieerbaar is door de <strong>laterale afgeleiden<\/strong> op dat punt te berekenen: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFF3E0; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 20px; border-radius:20px;\">\n<ul style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Als de laterale afgeleiden op een punt niet gelijk zijn, is de functie op dat punt niet differentieerbaar:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97c60c64dc01a7e0a9084313d15b0886_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x_o^-) \\neq f'(x_o^+) \\ \\longrightarrow\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Het is niet aftrekbaar binnen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67ab403a6241009b92035b251f86c88e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_o\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Als de laterale afgeleiden op een punt samenvallen, is de functie op dat punt differentieerbaar:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f9477828318b9e6392465762f831642_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \\ \\longrightarrow\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Ja, het is differentieerbaar in <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67ab403a6241009b92035b251f86c88e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_o\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> <strong>Opmerking:<\/strong> Om een functie op een bepaald punt differentieerbaar te maken, moet de functie op dat punt continu zijn. Voordat we de laterale afgeleiden berekenen, moeten we er daarom voor zorgen dat de functie op dat punt continu is. Als u niet weet hoe continu\u00efteit op een bepaald punt wordt bestudeerd, kunt u zien hoe dit wordt gedaan in de volgende link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/continue-functie-continuiteit-van-een-functie\/\">continu\u00efteit van een functie in een punt<\/a><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p> Laten we nu een voorbeeld bekijken van hoe je de afgeleide kunt berekenen van een functie die stuksgewijs op een punt is gedefinieerd:<\/p>\n<ul>\n<li> Bestudeer de continu\u00efteit en differentieerbaarheid van de volgende functie, stuksgewijs gedefinieerd op het punt x=2:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a98eee72521c68fd394eb6209a7d0a59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=  \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 3x^2-6x &amp; \\text{si} &amp;  x<2 \\\\[2ex] 6\\ln (x-1) &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 2 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"249\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De functies van de twee delen zijn continu in hun respectieve intervallen, maar het is noodzakelijk om te zien of de functie continu is op het kritieke punt x = 2. Om dit te doen, lossen we de laterale grenzen van de functie op op het punt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad5bcb0055431aa87a67068c04d2ce2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 2^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 2^-} \\bigl(3x^2-6x\\bigr) = 3\\cdot2^2-6\\cdot2=12-12=\\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"449\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31e1ba2ea2c5fd9fa86e5cefed0e5535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 2^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 2^+} 6\\ln (x-1) = 6\\ln (2-1)=6 \\ln 1=6 \\cdot 0= \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"474\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De laterale grenzen op het kritieke punt gaven ons hetzelfde resultaat, dus <strong>de functie is continu op het punt x=2.<\/strong><\/p>\n<p> Zodra we weten dat de functie continu is op x=2, zullen we de differentieerbaarheid van de functie op dat punt bestuderen. Om dit te doen, <strong>berekenen we de laterale afgeleiden<\/strong> van de functie die in stukken is gedefinieerd:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3709995609d0f69f382ff651e397c00a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 6x-6 &amp; \\text{si} &amp;  x<2 \\\\[2ex] \\cfrac{6}{x-1} &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 2 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"222\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We evalueren nu elke laterale afgeleide op het kritieke punt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca27189960575c1151402d040bfa76f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2^-)=6\\cdot2-6=12-6 = \\bm{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-058310a16d7d545ea56e99517845842b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2^+)=\\cfrac{6}{2-1} = \\cfrac{6}{1} = \\bm{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De twee laterale afgeleiden gaven ons hetzelfde resultaat, dus de functie is differentieerbaar op x=2 en de waarde van de afgeleide is 6:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aadf046f27916c46f0a302d6e0c34113_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \\ \\longrightarrow \\ \\bm{f'(2) = 6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aan de andere kant, als de laterale afgeleiden ons een ander resultaat hadden opgeleverd, zou dit betekenen dat de functie niet differentieerbaar is op x=2. Met andere woorden: de afgeleide zou op dit moment niet bestaan.<\/p>\n<p> Bedenk ten slotte dat deze procedure ook geldig is voor het bestuderen van de differentieerbaarheid van een absolute-waardefunctie, aangezien absolute-waardefuncties ook stuksgewijs kunnen worden gedefinieerd. Je kunt hier zien hoe je een absolute-waardefunctie naar chunks converteert:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/functies-met-absolute-waarde\/\">hoe u een functie met een absolute waarde stuksgewijs definieert<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivabilidad-de-una-funcion\"><\/span> Opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een functie<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Oefening 1<\/h3>\n<p> Bestudeer de continu\u00efteit en differentieerbaarheid van de volgende stuksgewijze functie: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3656065bb8de98bd07da153f26fd326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 &amp; \\text{si} &amp;  x<1 \\\\[2ex] -x^2+3x &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"265\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De functies van de twee delen zijn continu, maar we moeten kijken of de functie continu is op het kritieke punt x=1. Om dit te doen lossen we de laterale grenzen van de functie op op het punt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf8ad0b4baa312a5ae1bb073e5c8ff8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^-} \\bigl(x^3-4x^2 + 5\\bigr)=1^3-4\\cdot 1^2 + 5=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"413\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f25bd83439fbb5cbd148b8be88f8770b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^+} \\bigl( -x^2+3x \\bigr)=-1^2+3\\cdot 1=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De twee laterale grenzen op het kritieke punt geven hetzelfde resultaat, dus de functie is continu op x=1.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zodra we weten dat de functie op het kritieke punt continu is, zullen we onderzoeken of deze op hetzelfde punt differentieerbaar is. We berekenen daarom de laterale afgeleiden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42451fa799527167fe9a2e2259248870_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 3x^2-8x  &amp; \\text{si} &amp;  x<1 \\\\[2ex] -2x+3 &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En we evalueren de twee laterale afgeleiden op x=1; <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9afcac5ff2f762d2b471725d4e755fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-)=3\\cdot1^2-8\\cdot 1=3-8=-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd2d9e21e09ecc434cafbf5fb0b5afaa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^+)=-2\\cdot 1+3=-2+3 =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De laterale afgeleiden vallen niet samen op het punt x=1, dus de functie is op dit punt niet differentieerbaar. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73b9cb3dada6f8aea03ffc1342d0f22f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-) \\neq f'(1^+) \\ \\longrightarrow \\ \\cancel{\\exists} \\ f'(1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 2<\/h3>\n<p> Analyseer de differentiatie en continu\u00efteit van de volgende functie, gedefinieerd in secties: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d118e3904c810abd15e427e9c7d0504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\sqrt{4x} &amp; \\text{si} &amp;  x\\leq 1 \\\\[2ex] 2+\\ln x &amp; \\text{si} &amp; x> 1 \\end{array} \\right.&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;65&#8243; width=&#8221;226&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De functies van de twee secties zijn continu in hun intervallen, maar het is ook noodzakelijk om te weten of de functie continu is op het kritieke punt van verandering van definitie x = 1. We defini\u00ebren daarom de laterale grenzen van de functie op dit punt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c4fb7ef0ee9b3feeb5e15654528fc71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^-} \\sqrt{4x} = \\sqrt{4\\cdot 1} = \\sqrt{4}=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e509a70bd0e356f44ccac7ba6f075f8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 1^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 1^+} \\bigl( 2+\\ln x \\bigr) = 2 + \\ln (1) = 2+0 =2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"399\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De twee laterale grenzen op het kritieke punt geven hetzelfde resultaat, dus de functie is continu op x=1.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En nu onderzoeken we of de functie op dit punt differentieerbaar is door de laterale afgeleiden te berekenen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8261f3d268b47d9171710997c8cc70bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} \\cfrac{4}{2\\sqrt{4x}}  &amp; \\text{si} &amp;  x<1 \\\\[4ex] \\cfrac{1}{x} &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"217\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We evalueren de twee laterale afgeleiden op x=1: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de4ee71a175b34be07061d47470afe0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-)=\\cfrac{4}{2\\sqrt{4\\cdot1}}=\\cfrac{4}{2\\sqrt{4}}=\\cfrac{4}{2\\cdot 2}=\\cfrac{4}{4}=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"309\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-594a8d05da432ab8962ff799d62d25a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^+)=\\cfrac{1}{1}=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De laterale afgeleiden zijn gelijk, dus de functie is differentieerbaar op x=1 en de waarde van de afgeleide is 1. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a58ba22b03193839f5070da4e2c1faf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \\ \\longrightarrow \\ \\bm{f'(1) = 1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"274\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 3<\/h3>\n<p> Bepaal of de volgende stuksgewijs functie continu en differentieerbaar is over het gehele domein:<\/p>\n<pre class=\"ql-errors\"> *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} x^2+2x+1 &amp; \\text{si} &amp; x\\leq -1 \\\\[2ex] 2x+2 &amp; \\text{ si} &amp; -1&lt;div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria- expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\"&gt;&lt;div class=\"otfm-sp__title\"&gt; &lt;strong&gt;View solution&lt;\/strong&gt;&lt;\/div&gt;&lt; \/div&gt; The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\displaystyle\nMissing { inserted.\nleading text: ...=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__\nMissing { inserted.\nleading text: ...ox-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__\nMissing { inserted.\nleading text: ...m-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__\nMissing { inserted.\nleading text: ...fm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__\nYou can't use `macro parameter character #' in math mode.\nleading text: ...=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#\nMissing { inserted.\nleading text: ...e=\"text-align:center\"&gt;&lt;div class=\"otfm-sp__\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...g&gt;&lt;\/div&gt;&lt;\/div&gt; The functions of the three parts\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...are continuous, but we still need to see\n\n<\/pre>\n<p> \\lim\\limieten_{x\\tot -1^-} f(x) = \\lim\\limieten_{x\\tot -1^-} \\bigl(x^2+2x+1\\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \\lim\\limieten_{x\\tot -1^+} f(x) = \\lim\\limieten_{x\\tot -1^+} \\bigl(2x+2\\bigr ) = 2(-1)+2=0<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fadd0ce26a497a6a6c73bfaa7ed28f4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" Les deux limites lat\u00e9rales au point x=-1 donnent le m\u00eame r\u00e9sultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant v\u00e9rifier si la fonction est continue ou non au point x=2 : \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"56\" width=\"765\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \\lim\\limieten_{x\\tot 2^-} f(x) = \\lim\\limieten_{x\\tot 2^-} \\bigl(2x+2\\bigr) = 2\\cdot 2+2=4+2= 6 \\lim\\limits_{x\\tot 2^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\tot 2^+} \\bigl( -x^2+8x\\bigr) = -2^2+8\\ cdot 2 = -4+16=12<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c93f9d5e367031de798abaf833523710_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" En revanche, les limites lat\u00e9rales au point x=2 ne donnent pas le m\u00eame r\u00e9sultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu \u00e0 ce stade, il ne sera pas non plus d\u00e9rivable \u00e0 x=2. Une fois que l'on a \u00e9tudi\u00e9 la continuit\u00e9 de la fonction, on passe \u00e0 la diff\u00e9rentiabilit\u00e9. On calcule donc les d\u00e9riv\u00e9es lat\u00e9rales :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"82\" width=\"908\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 2x+2 &amp; \\text{si} &amp; x\\leq -1 \\\\[2ex] 2 &amp; \\text{si} &amp; -1<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We weten al dat de functie niet differentieerbaar is op x=2, dus we hoeven alleen maar te onderzoeken of de functie differentieerbaar is op x=-1. Om dit te doen, evalueren we de twee laterale afgeleiden op het punt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cafb8bbe438865e050973664b6915fa9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"272\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5781d213b36777be5b2611a84ca95e96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1^+)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De laterale afgeleiden vallen niet samen op het punt x=-1, dus de functie is op dat punt niet differentieerbaar. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3674d70c292d967d7074a0b4bee230e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1^-) \\neq f'(-1^+) \\ \\longrightarrow \\ \\cancel{\\exists} \\ f'(-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"267\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 4<\/h3>\n<p> Bereken de waarde van parameters a en b zodat de volgende stuksgewijze functie continu en differentieerbaar is in het hele domein: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce34d5d8a949fb3a0b904e9bf7d32f5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a &amp; \\text{si} &amp;  x< 3 \\\\[2ex](x-b)^2 &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 3 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"243\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wat de waarden van de onbekenden ook mogen zijn, de functie is op alle punten continu en differentieerbaar, behalve op x=3, waar de continu\u00efteit en differentiatie ervan moet worden gecontroleerd.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Om de functie op een punt continu te laten zijn, moeten de twee laterale grenzen op dat punt samenvallen. Daarom evalueren we de laterale grenzen op het kritieke punt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21920afd0fe6c6a35983a39034b3f9f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 3^-} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 3^-} \\bigl(2e^{x-3}+a\\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \\cdot e^0+a =2\\cdot 1 +a = 2+a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"566\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f527d4602a1bdc26d763df1064b956d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x\\to 3^+} f(x) = \\lim\\limits_{x\\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"282\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> De twee waarden verkregen uit de laterale grenzen moeten daarom gelijk zijn om de functie continu te laten zijn:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bec8303f39289b7f2cd7e6e439703c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a = (3-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We zullen nu de differentieerbaarheid op het punt x=3 analyseren. We vinden de laterale afgeleiden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d542fc9488644f0c144059ae1403d961_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 2e^{x-3}  &amp; \\text{si} &amp;  x< 3 \\\\[2ex]2(x-b) &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 3 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En we evalueren de twee laterale afgeleiden op het kritieke punt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fb3afef2352f0f5f96302b987a5de9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3^-)= 2e^{3-3} =  2e^0 = 2\\cdot 1 = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-360474b477f347569ad1e3b64b63cc79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"205\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Om de functie differentieerbaar te maken op x=3, moeten de waarden verkregen uit de laterale afgeleiden daarom gelijk zijn:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a98a45230845ad86846cd7db486af0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2=6-2b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"80\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En door deze vergelijking op te lossen kunnen we de waarde van b vinden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f53d30cae8270029d25ea28322b6986_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2b=6-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"79\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c263311ac7433ce2b417bb7ad0ef449b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2b=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dd2f0fd5e5207a815bf5789ada67541_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b=\\cfrac{4}{2} =\\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Als we ten slotte de waarde van parameter b kennen, kunnen we de waarde van parameter a berekenen door de vergelijking op te lossen die we eerder in de laterale limieten hebben verkregen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bec8303f39289b7f2cd7e6e439703c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a = (3-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6468721c373f078ad3e97a290c2d86f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a = (3-2)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1cc01602cd205cae7b9c9b8ba391760_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2+a =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce22cc1bba3ee9612a7f8cb2624d2483_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a =1-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"72\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be5f9e4b074e8b3ba5d0e96f8ae4e2cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{a =-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In dit artikel leer je hoe je de differentieerbaarheid van een functie kunt bestuderen, dat wil zeggen of een functie differentieerbaar is of niet. Daarnaast zullen we de relatie zien tussen differentiatie en continu\u00efteit van een functie. En ten slotte zullen we de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie bestuderen. Differentieerbaarheid en continu\u00efteit van een functie &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Differentieerbaarheid van een functie<\/span> Lees meer &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[38],"tags":[],"class_list":["post-82","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivaten"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Differentieerbaarheid van een functie (theorie en opgeloste oefeningen)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Hoe de differentieerbaarheid van een functie te bestuderen en te weten of een functie differentieerbaar is of niet. Met opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Differentieerbaarheid van een functie (theorie en opgeloste oefeningen)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hoe de differentieerbaarheid van een functie te bestuderen en te weten of een functie differentieerbaar is of niet. Met opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-09-17T10:59:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pour-representer-une-fonction-quadratique-incomplete.webp\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschreven door\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"7 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/\",\"name\":\"\u25b7 Differentieerbaarheid van een functie (theorie en opgeloste oefeningen)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-09-17T10:59:38+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-17T10:59:38+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\"},\"description\":\"Hoe de differentieerbaarheid van een functie te bestuderen en te weten of een functie differentieerbaar is of niet. Met opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Differentieerbaarheid van een functie\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\",\"name\":\"\",\"description\":\"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\",\"name\":\"Redactioneel Team\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Redactioneel Team\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/nl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Differentieerbaarheid van een functie (theorie en opgeloste oefeningen)","description":"Hoe de differentieerbaarheid van een functie te bestuderen en te weten of een functie differentieerbaar is of niet. Met opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Differentieerbaarheid van een functie (theorie en opgeloste oefeningen)","og_description":"Hoe de differentieerbaarheid van een functie te bestuderen en te weten of een functie differentieerbaar is of niet. Met opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie.","og_url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/","article_published_time":"2023-09-17T10:59:38+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-pour-representer-une-fonction-quadratique-incomplete.webp"}],"author":"Redactioneel Team","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschreven door":"Redactioneel Team","Geschatte leestijd":"7 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/","name":"\u25b7 Differentieerbaarheid van een functie (theorie en opgeloste oefeningen)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website"},"datePublished":"2023-09-17T10:59:38+00:00","dateModified":"2023-09-17T10:59:38+00:00","author":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64"},"description":"Hoe de differentieerbaarheid van een functie te bestuderen en te weten of een functie differentieerbaar is of niet. Met opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/differentieerbaarheid-van-een-functie\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Differentieerbaarheid van een functie"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/","name":"","description":"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"nl-NL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64","name":"Redactioneel Team","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Redactioneel Team"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/nl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/82","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=82"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/82\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=82"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=82"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=82"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}