{"id":64,"date":"2023-09-17T11:08:12","date_gmt":"2023-09-17T11:08:12","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/"},"modified":"2023-09-17T11:08:12","modified_gmt":"2023-09-17T11:08:12","slug":"onbepaalde-limieten","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/","title":{"rendered":"Soorten onbepaalde grenzen (onbepaalde grenzen)"},"content":{"rendered":"<p>In dit artikel leggen we uit wat onbepaaldheid is. Je ontdekt wat alle soorten onbepaaldheid zijn en hoe je deze kunt oplossen. Bovendien kun je stap voor stap opgeloste oefeningen zien over de functiegrenzen van alle onbepaaldheden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-las-indeterminaciones\"><\/span> Wat zijn onbepaaldheden?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Onbepaalde vormen, ook wel onbepaalde vormen genoemd, zijn wiskundige uitdrukkingen die voorkomen bij de berekening van de grenzen van functies waarvan het resultaat niet is gedefinieerd.<\/strong> Om de onbepaaldheid van de limieten op te lossen, is het dus noodzakelijk een voorbereidende procedure toe te passen die afhangt van het type functie.<\/p>\n<p> Dat wil zeggen, wanneer we onbepaaldheid krijgen, betekent dit niet dat de limiet niet bestaat of dat deze niet kan worden opgelost, maar eerder dat we wijzigingen in de functie zullen moeten aanbrengen om de oplossing van de limiet te vinden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-indeterminaciones\"><\/span> Soorten onbepaaldheid<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Onbepaalde vormen, of onbepaalde vormen, worden ingedeeld in de volgende typen:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Onbepaaldheid oneindig min oneindig<\/strong> (\u221e-\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Aantal onbepaaldheid tussen nul<\/strong> (k\/\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Nul onbepaaldheid tussen nul<\/strong> (0\/0)<\/li>\n<li> <strong>Oneindige onbepaaldheid tussen oneindig<\/strong> (\u221e\/\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Onbepaaldheid 1 verhoogd tot oneindig<\/strong> (1 <sup>\u221e<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong>Nul onbepaaldheid verhoogd naar nul<\/strong> (0 <sup>0<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong style=\"font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif; font-size: 1rem;\">Nul onbepaaldheid voor oneindig<\/strong> <span style=\"font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif; font-size: 1rem; font-weight: inherit;\">(0\u00b7\u221e)<\/span><\/li>\n<li> <strong>Nul onbepaaldheid verhoogd tot oneindig<\/strong> (0 <sup>\u221e<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong>Oneindige onbepaaldheid op nul gebracht<\/strong> (\u221e <sup>0<\/sup> )<\/li>\n<\/ul>\n<p> We zullen dan zien hoe we alle soorten onbepaaldheid kunnen oplossen. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-menos-infinito\"><\/span> Oneindige minus oneindige onbepaaldheid<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> De <strong>onbepaalde vorm oneindig min oneindig<\/strong> is niet gelijk aan nul, omdat we twee zeer grote getallen aftrekken, maar we weten niet welke groter is. Het resultaat van het verschil in oneindigheden hangt daarom af van de orde van elke oneindigheid.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03349653243a9ad62377c721fea0e797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\infty-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Het oplossen van dit soort onbepaaldheid is niet eenvoudig, omdat afhankelijk van het type functie de ene of de andere procedure moet worden toegepast. Daarom raden wij u aan de volledige uitleg in de volgende link te bekijken:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaaldheid-oneindig-min-oneindig-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/\">hoe je de onbepaaldheid oneindig min oneindig oplost<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-numero-entre-cero\"><\/span> Aantal onbepaaldheid tussen nul<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> De <strong>onbepaaldheid van een constante gedeeld door nul<\/strong> wordt verkregen wanneer de noemer van een rationale functie wordt geannuleerd.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d550f72be2a531eb89d5cf200f54dc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{k}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Het resultaat van dit type onbepaalde vorm zal altijd oneindiger, minder oneindig zijn, anders zal de limiet van de functie niet bestaan. Laten we eens kijken hoe deze onbepaaldheid wordt berekend door als voorbeeld een limiet op te lossen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f20a823489187682e3becf93cbd93c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0}\\cfrac{-4}{x^2}=\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{0}=\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We hebben de onbepaaldheid verkregen van een getal gedeeld door nul, <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">dus we moeten de laterale grenzen van de functie berekenen:<\/u><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84821ecfa11641959a1463c3f2dd00e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-}\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{(-0,001)^2}=\\cfrac{-4}{+0}=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"289\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-904f4d1bb401493cdb76cbb9ce607f0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{0,001^2}=\\cfrac{-4}{+0}=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"261\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/laterale-grenzen\/\">wat zijn laterale grenzen?<\/a><\/span><\/p>\n<p> De twee laterale grenzen van de functie geven hetzelfde resultaat, dus per definitie geeft de limiet van de functie wanneer x naar 0 neigt minus oneindig:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c1b718f44360fe4322ba69ee40c9613_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-}f(x)=\\lim_{x\\to 0^+}f(x)=-\\infty \\ \\longrightarrow \\ \\lim_{x\\to 0}f(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"401\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Merk op dat als de laterale limieten verschillende waarden hadden gegeven, de limiet van de functie op dit punt niet zou bestaan. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-entre-cero\"><\/span> Nul tussen nul onbepaaldheid<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> De <strong>onbepaalde limiet nul gedeeld door nul<\/strong> is heel gebruikelijk en wordt verkregen in functies met breuken waarin de teller en de noemer elkaar opheffen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f88512bac0562399d5d8e65829073b54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dit type onbepaalde limiet wordt afhankelijk van de functie anders opgelost. Als de functie bijvoorbeeld wortels heeft, moeten verschillende stappen worden uitgevoerd. U kunt de verschillende resoluties van dit soort onbepaaldheid bekijken in de volgende link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/nul-tussen-nul-0-0-onbepaaldheid\/\">hoe je de nul-onbepaaldheid tussen nul oplost<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-entre-infinito\"><\/span> Oneindige onbepaaldheid tussen het oneindige<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Oneindige onbepaaldheid tussen oneindigheid<\/strong> komt meestal voor in de oneindige grenzen van functies met breuken. Hoewel onbepaaldheid het quoti\u00ebnt is van twee oneindigheden, hoeft het resultaat niet noodzakelijkerwijs oneindig te zijn.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5322af410095265a81aa545e533ebd1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\infty}{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dit type onbepaalde vorm wordt door vergelijking opgelost. Dat wil zeggen, de graad van de teller en de graad van de noemer worden waargenomen en, afhankelijk van welke groter is, is het limietresultaat het een of het ander. Via de volgende link kunt u alle cases bekijken:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zie:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\">opgeloste oefeningen over oneindige grenzen tussen oneindig<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-1-elevado-a-infinito\"><\/span> Onbepaaldheid 1 verhoogd tot oneindig<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wiskundig gezien zou je kunnen denken dat <strong>1 tot oneindig<\/strong> 1 oplevert, aangezien elke macht van 1 gelijk is aan 1. Deze term is echter onbepaald en daarom kan men het resultaat ervan niet zo gemakkelijk afleiden.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f68a3b617b5f1db37a9beea43e15264f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1^{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dit type onbepaaldheid wordt berekend door de volgende formule toe te passen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6bc13731241df168c3dc37d3e3b8e58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)^{g(x)}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{g(x)\\cdot [f(x)-1]}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De volgende limiet is bijvoorbeeld onbepaald omdat deze de kracht van oneindigheid geeft:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96004b3ff4fd888f2e7fbc30a14abf13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)^x=\\left(1-\\frac{1}{+\\infty}\\right)^{+\\infty}=(1-0)^{+\\infty}=1^{+\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We moeten daarom de formule gebruiken voor dit type onbepaaldheid:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e577daa5f0e768ca16bfe27a4d7a8a85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}e^{x\\cdot\\left[1-\\frac{1}{x}-1\\right]}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{x\\cdot\\left[-\\frac{1}{x}\\right]}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{-1}=\\frac{1}{e}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"37\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En zo hebben we de onbepaalde limiet, verhoogd naar het oneindige, al opgelost. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-elevado-a-cero\"><\/span> Nul onbepaaldheid naar nul gebracht<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Nul-onbepaaldheid voor de nulmacht<\/strong> verschijnt binnen de grenzen van gecompliceerde functies.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfc1e32d3dc765b27701a8576e765fc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Om dit type onbepaalde limiet op te lossen, moet u de volgende limit-eigenschap gebruiken:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De volgende limiet geeft bijvoorbeeld de onbepaalde vorm 0 tot de macht 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8680b80b19cae955169d2c0a8ad41f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{\\frac{1}{x}}=\\left(\\frac{1}{+\\infty}\\right)^{\\frac{1}{+\\infty}}=0^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Maar als we logaritmen op de limiet toepassen, kunnen we de waarde ervan vinden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04165b15f4b40bbe84ae5a4b214d4846_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)}}=\\\\[5ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln1-\\ln x}{x}}}=\\\\[5ex]=\\displaystyle e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{-\\ln x}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\frac{-\\infty}{+\\infty}}}=e^0=1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"239\" width=\"307\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-por-infinito\"><\/span> Nul onbepaaldheid voor oneindigheid<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Het is moeilijk om de <strong>onbepaaldheid van het product van nul en oneindig<\/strong> tegen te komen, maar dat betekent niet dat het gemakkelijk te bepalen is.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74b7fdba8e0feae988551f83341ec063_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0\\cdot \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Er bestaat niet \u00e9\u00e9n methode om dit soort onbepaaldheid op te lossen, maar deze is afhankelijk van het type functie. In dit geval moeten we de functie transformeren in oneindige onbepaaldheid gedeeld door oneindig of nul onbepaaldheid gedeeld door nul, en van daaruit de oplossingsmethoden toepassen die we hierboven voor elke onbepaaldheid hebben gezien.<\/p>\n<p> Dus als de limiet van de ene functie 0 is en de limiet van de andere functie \u221e:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac028c501a7835fdfa3bab5c769849b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)=0\\qquad\\lim_{x\\to a}g(x)=\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"243\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We kunnen dit type voor onbepaalde tijd transformeren door de volgende wijzigingen aan te brengen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df402461269ae26c30768fc0bf83f2ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)\\cdot g(x)\\begin{cases}\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\frac{f(x)}{\\displaystyle\\frac{1}{g(x)}}=\\frac{0}{0}\\\\[10ex]\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\frac{g(x)}{\\displaystyle\\frac{1}{f(x)}}=\\frac{\\infty}{\\infty}\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"174\" width=\"248\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Laten we eens kijken hoe we dit kunnen doen door als voorbeeld een onbepaalde limiet op te lossen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-929e74562ababa44a253522d4474afad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}e^{-x}\\cdot x=e^{-\\infty}\\cdot (+\\infty)=0\\cdot \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We werken met de functie om oneindige onbepaaldheid over oneindig te verkrijgen, en dan vinden we de limiet: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c29bbb439514449cd12fd8d66e327af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}e^{-x}\\cdot x=\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x}{\\displaystyle\\frac{1}{e^{-x}}}=\\\\[6ex]=\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x}{e^x}=\\frac{+\\infty}{e^{+\\infty}}=\\frac{+\\infty}{+\\infty}=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"241\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-elevado-a-infinito\"><\/span> Nul onbepaaldheid verhoogd tot oneindig<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> De <strong>onbepaaldheid nul verhoogd tot oneindig<\/strong> is een beetje moeilijk te begrijpen, omdat we een heel klein getal naar een heel groot getal verheffen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4894b918853d6dca8db65a026b1a349b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0^{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wanneer deze onbepaalde vormen worden verkregen, moet de volgende formule worden gebruikt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Laten we een voorbeeld oplossen om beter te begrijpen hoe u dit type onbepaaldheid kunt berekenen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ca354428ea8889a956a9b77b04a088f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}x^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln(x)}}=\\\\[3.5ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\frac{1}{0^+}\\cdot \\ln(0^+)}}=e^{+\\infty\\cdot (-\\infty)}\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{-\\infty}=\\frac{1}{e^{+\\infty}}=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"190\" width=\"221\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-elevado-a-cero\"><\/span> Oneindige onbepaaldheid op nul gebracht<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Normaal gesproken levert elke tot nul verheven macht 1 op, maar de <strong>onbepaaldheid van de oneindigheid tot nul<\/strong> hoeft niet noodzakelijk zo te zijn.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a2ef9259a35e0e2f7a176bcdb934ad9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\infty^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"25\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Net als bij de onbepaalde waarden nul verhoogd tot nul en nul verhoogd tot oneindig, is het voor het oplossen van dit type onbepaalde limiet noodzakelijk om logaritmen toe te passen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Laten we eens kijken hoe dit soort onbepaalde limieten wordt opgelost door stap voor stap een voorbeeld te berekenen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a45090015a206189aca3884f8b2cab30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}x^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln(x)}}=\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln(x)}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\frac{\\ln(+\\infty)}{+\\infty}}}=\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\frac{+\\infty}{+\\infty}}}=e^0=1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"199\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In dit artikel leggen we uit wat onbepaaldheid is. Je ontdekt wat alle soorten onbepaaldheid zijn en hoe je deze kunt oplossen. Bovendien kun je stap voor stap opgeloste oefeningen zien over de functiegrenzen van alle onbepaaldheden. Wat zijn onbepaaldheden? Onbepaalde vormen, ook wel onbepaalde vormen genoemd, zijn wiskundige uitdrukkingen die voorkomen bij de berekening &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Soorten onbepaalde grenzen (onbepaalde grenzen)<\/span> Lees meer &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[43],"tags":[],"class_list":["post-64","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-functielimieten"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Hoe alle soorten onbepaaldheid (limieten) op te lossen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Hoe alle soorten onbepaaldheid op te lossen. \u2705Met oefeningen opgelost over de grenzen van de functies van alle onbepaaldheid. \u2705\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Hoe alle soorten onbepaaldheid (limieten) op te lossen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hoe alle soorten onbepaaldheid op te lossen. \u2705Met oefeningen opgelost over de grenzen van de functies van alle onbepaaldheid. \u2705\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-09-17T11:08:12+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03349653243a9ad62377c721fea0e797_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschreven door\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/\",\"name\":\"\u25b7 Hoe alle soorten onbepaaldheid (limieten) op te lossen\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-09-17T11:08:12+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-17T11:08:12+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\"},\"description\":\"Hoe alle soorten onbepaaldheid op te lossen. \u2705Met oefeningen opgelost over de grenzen van de functies van alle onbepaaldheid. \u2705\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Soorten onbepaalde grenzen (onbepaalde grenzen)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\",\"name\":\"\",\"description\":\"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\",\"name\":\"Redactioneel Team\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Redactioneel Team\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/nl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Hoe alle soorten onbepaaldheid (limieten) op te lossen","description":"Hoe alle soorten onbepaaldheid op te lossen. \u2705Met oefeningen opgelost over de grenzen van de functies van alle onbepaaldheid. \u2705","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Hoe alle soorten onbepaaldheid (limieten) op te lossen","og_description":"Hoe alle soorten onbepaaldheid op te lossen. \u2705Met oefeningen opgelost over de grenzen van de functies van alle onbepaaldheid. \u2705","og_url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/","article_published_time":"2023-09-17T11:08:12+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03349653243a9ad62377c721fea0e797_l3.png"}],"author":"Redactioneel Team","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschreven door":"Redactioneel Team","Geschatte leestijd":"5 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/","name":"\u25b7 Hoe alle soorten onbepaaldheid (limieten) op te lossen","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website"},"datePublished":"2023-09-17T11:08:12+00:00","dateModified":"2023-09-17T11:08:12+00:00","author":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64"},"description":"Hoe alle soorten onbepaaldheid op te lossen. \u2705Met oefeningen opgelost over de grenzen van de functies van alle onbepaaldheid. \u2705","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/onbepaalde-limieten\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Soorten onbepaalde grenzen (onbepaalde grenzen)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/","name":"","description":"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"nl-NL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64","name":"Redactioneel Team","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Redactioneel Team"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/nl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/64","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=64"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/64\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=64"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=64"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=64"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}