{"id":362,"date":"2023-07-06T09:59:57","date_gmt":"2023-07-06T09:59:57","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/tartaglia-of-de-driehoek-van-pascal\/"},"modified":"2023-07-06T09:59:57","modified_gmt":"2023-07-06T09:59:57","slug":"tartaglia-of-de-driehoek-van-pascal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/tartaglia-of-de-driehoek-van-pascal\/","title":{"rendered":"De driehoek van tartaglia (of pascal)."},"content":{"rendered":"

Op deze pagina leggen we uit wat de Tartaglia-driehoek, ook wel de driehoek van Pascal genoemd, is. We leren hoe we de Tartaglia (of Pascal) driehoek wiskundig kunnen construeren, evenals waarvoor deze wordt gebruikt en wat al zijn eigenschappen zijn. Ten slotte laten we zien hoe en wanneer deze zeer belangrijke driehoek tot stand is gekomen. <\/p>\n

<\/span> Wat is de driehoek van Tartaglia (of Pascal)? <\/span><\/h2>\n

De Tartaglia-driehoek<\/strong> , ook wel de driehoek van Pascal<\/strong> genoemd, is een wiskundige weergave van geordende gehele getallen in de vorm van een driehoek. De Tartaglia (of Pascal) driehoek wordt gebruikt om wiskundige berekeningen te maken.<\/p>\n

Dit is de definitie van de Tartaglia- of Pascal-driehoek, maar je begrijpt het concept zeker beter met een afbeelding van de driehoek: <\/p>\n

\n
\"driehoek<\/figure>\n<\/div>\n

De driehoek van Tartaglia wordt ook wel de driehoek van Pascal genoemd, naar de Franse filosoof en wiskundige Blaise Pascal, die deze driehoekige uitdrukking in 1654 introduceerde, hoewel deze driehoek al sinds de oudheid bekend is. Hieronder gaan we dieper in op de geschiedenis van deze specifieke driehoek. <\/p>\n

<\/span> Hoe is de driehoek van Tartaglia of Pascal opgebouwd?<\/span><\/h2>\n

Zoals je in de driehoek van Pascal (of Tartaglia) hebt gezien, zijn er veel getallen, maar dat betekent niet dat we ze uit ons hoofd moeten kennen (godzijdank). Er is een formule waarmee je eenvoudig alle getallen in de Pascal- of Tartaglia-driehoek kunt vinden, je hoeft alleen maar eenvoudige sommen op te lossen.<\/p>\n

Om de Tartaglia- of Pascal-driehoek te construeren,<\/strong> begin je bovenaan de driehoek, wat altijd een 1 is, en vervolgens worden de lijnen eronder berekend. Elk getal in de volgende regels is de som van de twee getallen er direct boven, behalve de uiteinden van de regels die altijd 1 zijn. <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Daarom kun je zoveel lijnen van de Tartaglia-driehoek berekenen als je wilt, omdat je achtereenvolgens lijnen kunt toevoegen door de getallen op te tellen. <\/p>\n

<\/span>Waar wordt de driehoek van Tartaglia of Pascal voor gebruikt?<\/span><\/h2>\n

Weten hoe je de Tartaglia-driehoek moet construeren is heel goed, maar\u2026 waar wordt deze rekenkundige driehoek voor gebruikt? Welnu, de driehoek van Tartaglia (of Pascal) heeft veel toepassingen in de wiskunde, vooral op het gebied van de algebra.<\/p>\n

<\/span> combinatorische getallen<\/span><\/h3>\n

Allereerst wordt de Tartaglia-driehoek gebruikt om direct combinatorische getallen<\/strong> te berekenen, ook wel binomiale co\u00ebffici\u00ebnten genoemd. Als u niet weet wat dit soort operaties zijn, kunt u ernaar zoeken op onze website (we hebben een zoekmachine rechtsboven) omdat we een gedetailleerd artikel hebben geschreven waarin we uitleggen hoe ze worden opgelost en u daar. vindt u ook voorbeelden en oefeningen die stap voor stap worden opgelost. Maar samengevat is de algebra\u00efsche uitdrukking voor een combinatorisch getal als volgt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Welnu, alle combinatorische getallen kunnen eenvoudig worden bepaald met de Tartaglia-driehoek, omdat de oplossing van elke binomiale co\u00ebffici\u00ebnt equivalent is aan een getal van deze driehoekige uitdrukking, zoals weergegeven in de volgende afbeelding: <\/p>\n

\n
\"combinatorische<\/figure>\n<\/div>\n

Bijvoorbeeld het combinatorische getal<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n

geeft 6 terug, omdat er in de Tartaglia-driehoek een 6 staat.<\/p>\n

Dus als je weet hoe je de driehoek van Tartaglia of Pascal moet construeren, kun je elk combinatorisch getal snel berekenen zonder de formule ervan te gebruiken.<\/p>\n

<\/span> De binomiaal van Newton<\/span><\/h3>\n

Een ander gebruik van de Tartaglia (of Pascal) driehoek is om machten van binomialen<\/a><\/span><\/strong> te kunnen berekenen (klik op deze link om erachter te komen wat een binomiaal is).<\/p>\n

Een voorbeeld van de versterking van een binomiaal zijn opmerkelijke identiteiten, zoals:<\/p>\n<\/p>\n

\"(a+b)^2\"<\/p>\n<\/p>\n

Opmerkelijke identiteiten zijn erg belangrijk voor de wiskunde, omdat ze ons in staat stellen veel berekeningen op te slaan en ingewikkelde bewerkingen direct en snel op te lossen. Daarom raden we je aan de volgende link te bekijken als je nog steeds niet weet wat Opmerkelijke Identiteiten zijn<\/span><\/strong><\/a> .<\/p>\n

Zoals je in de vorige link hebt gezien, kunnen opmerkelijke producten rechtstreeks worden opgelost met hun formules. Maar… wat gebeurt er als het paar wordt verhoogd naar de kubus of naar een hoger niveau?<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

Welnu, deze binomialen kunnen op een heel eenvoudige manier worden berekend met de Tartaglia-driehoek dankzij de binomiale stelling<\/a><\/span><\/strong> (of de binominale stelling van Newton). Eenmaal onder de knie, is de methode snel toe te passen, om het goed uit te leggen heb je een hele pagina nodig. Dus als je meer ge\u00efnteresseerd bent in het oplossen van dit soort binomialen, klik dan op de gelinkte pagina en je kunt zien hoe je dat doet.<\/p>\n

<\/span> Combinatoriek<\/span><\/h3>\n

De driehoek van Tartaglia, of de driehoek van Pascal, kan ook worden gebruikt om combinaties en kansen te bepalen.<\/p>\n

Als we ooit een probleem tegenkomen waarbij we moeten bepalen hoeveel verschillende groepen uit een groep kunnen worden gemaakt, ongeacht de volgorde, kunnen we de Tartaglia-driehoek gebruiken.<\/p>\n

Als we bijvoorbeeld 5 kaarten hebben, om te weten op hoeveel manieren we er 3 kunnen kiezen, ga dan naar de derde kolom (de eerste kolom is nul) van de vijfde rij (de eerste rij is ook rij 0) van de Tartaglia-driehoek. Het getal op deze positie (10) komt overeen met het aantal mogelijkheden dat er is om 3 kaarten te kiezen.<\/p>\n<\/p>\n

\"1<\/p>\n<\/p>\n

Dus uit 5 kaarten kunnen 10 verschillende groepen van drie kaarten worden gevormd. <\/p>\n

<\/span> Eigenschappen van de Tartaglia- of Pascal-driehoek<\/span><\/h2>\n

De Tartaglia-driehoek, ook wel de driehoek van Pascal genoemd, heeft de volgende kenmerken:<\/p>\n