{"id":351,"date":"2023-07-06T13:14:29","date_gmt":"2023-07-06T13:14:29","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/"},"modified":"2023-07-06T13:14:29","modified_gmt":"2023-07-06T13:14:29","slug":"bovenste-onderste-driehoekige-matrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/","title":{"rendered":"Bovenste en onderste driehoekige matrix"},"content":{"rendered":"<p>Op deze pagina zie je wat een driehoekige matrix is en de verschillende soorten driehoekige matrices, samen met voorbeelden. Daarnaast vind je hoe je de determinant van een driehoekige matrix berekent en wat de eigenschappen zijn van deze zeer interessante matrix. Ten slotte leggen we ook uit wat een Hessenberg-matrix is, aangezien het een matrix is die verband houdt met driehoekige matrices.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Wat is een driehoekige matrix?<\/h2>\n<p> Definitie van driehoekige matrix:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Een <strong>driehoekige matrix<\/strong> is een vierkante matrix waarin alle elementen boven of onder de hoofddiagonaal nul (0) zijn.<\/p>\n<p> Driehoekige matrices worden veel gebruikt bij lineaire algebra-berekeningen, omdat het omkeren van een driehoekige matrix, het berekenen van de determinant ervan of zelfs het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen met dit soort matrices veel eenvoudiger is dan met matrices die op alle posities andere elementen dan 0 hebben. .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> bovenste driehoekige matrix<\/h2>\n<p> Een <strong>bovenste driehoekige matrix<\/strong> is een vierkante matrix waarvan de elementen onder de hoofddiagonaal nul (0) zijn.<\/p>\n<p> Voorbeeld van een bovenste driehoekige matrix: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-superieure.webp\" alt=\"voorbeeld van een bovenste driehoekige matrix\" class=\"wp-image-1648\" width=\"130\" height=\"114\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> onderste driehoekige matrix<\/h2>\n<p> Een <strong>onderste driehoekige matrix<\/strong> is een vierkante matrix die een nul (0) heeft in elk element dat zich boven de hoofddiagonaal bevindt.<\/p>\n<p> Voorbeeld van een onderste driehoekige matrix: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-inferieure.webp\" alt=\"voorbeeld van een onderste driehoekige matrix\" class=\"wp-image-1649\" width=\"143\" height=\"113\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Soms worden deze matrices ook wel aangeduid met de letter U, voor de bovenste driehoekige matrix, en met de letter L, voor de onderste driehoekige matrix. Hoewel deze nomenclatuur voornamelijk in het Engels wordt gebruikt, staat de U in feite voor <em>de bovenste driehoekige matrix<\/em> en de L voor <em>de onderste driehoekige matrix<\/em> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Voorbeelden van driehoekige matrices<\/h2>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">2 \u00d7 2 dimensionale driehoekige matrix<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-superieure-22152-1.webp\" alt=\"Voorbeeld van een bovenste driehoekige matrix van 2x2\" class=\"wp-image-1658\" width=\"75\" height=\"72\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Driehoekige matrix van orde 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-inferieur-32153-1.webp\" alt=\"Voorbeeld van een 3x3 onderste driehoekige matrix\" class=\"wp-image-1659\" width=\"131\" height=\"117\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">driehoekige matrix van maat 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-superieure-42154-1.webp\" alt=\"Voorbeeld van een bovenste driehoekige matrix van 4x4\" class=\"wp-image-1660\" width=\"197\" height=\"144\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Determinant van een driehoekige matrix<\/h2>\n<p> De <strong>determinant van een driehoekige matrix<\/strong> , zowel boven- als onderdriehoek, is het product van de elementen op de hoofddiagonaal.<\/p>\n<p> Kijk eens naar de volgende oefening, waarin is opgelost hoe het voldoende is om de vermenigvuldiging van de elementen van de hoofddiagonaal van de driehoekige matrix te berekenen om de determinant ervan te vinden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7503e88c4eaabd74347a4f79461a3ebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2 &amp; 5 &amp; -6 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 4 &amp; 9 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 3 \\end{vmatrix} = 2 \\cdot 4 \\cdot 3 = \\bm{24}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"200\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Deze stelling is gemakkelijk te demonstreren: bereken eenvoudigweg de determinant van een driehoekige matrix met blokken (of cofactoren). Deze <strong>demonstratie<\/strong> wordt hieronder gedetailleerd beschreven met behulp van een generieke driehoekige matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91281c322af35f07cfbfd6fe61fc3c58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\begin{vmatrix} a &amp; b &amp; c \\\\[1.1ex] 0 &amp; d &amp; e \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; f \\end{vmatrix}&amp;  = a \\cdot \\begin{vmatrix} d &amp; e \\\\[1.1ex] 0 &amp; f \\end{vmatrix} - b \\cdot \\begin{vmatrix} 0 &amp;  e \\\\[1.1ex] 0 &amp;  f \\end{vmatrix} + c \\cdot \\begin{vmatrix} 0 &amp; d \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 \\end{vmatrix} \\\\[2ex] &amp; =a \\cdot (d\\cdot f) - b \\cdot 0 + c \\cdot 0 \\\\[2ex] &amp; = a \\cdot d \\cdot f \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"170\" width=\"341\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aan de andere kant weten we dat een matrix inverteerbaar is als de determinant ervan verschilt van 0. Dus als geen enkel element op de hoofddiagonaal 0 is, zal de driehoekige matrix ook inverteerbaar zijn en bijgevolg een regelmatige matrix zijn. Matrix.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschappen van de driehoekige matrix<\/h2>\n<p> Laten we nu eens kijken wat de eigenschappen van driehoekige matrices zijn:<\/p>\n<ul>\n<li> Het <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>product van twee bovenste driehoekige matrices<\/strong><\/span> is gelijk aan \u00e9\u00e9n bovenste driehoekige matrix. En omgekeerd: door twee lagere driehoekige matrices te vermenigvuldigen, ontstaat er nog een lagere driehoekige matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfd46e0ab8070d1c4c544d384fcf0f84_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 3 &amp; 1 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 5 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 6 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 3 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 9 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}18&amp;9&amp;44\\\\[1.1ex] 0&amp;-3&amp;13\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;45\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"343\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> De <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>transponering van een bovenste driehoekige matrix<\/strong><\/span> is een onderste driehoekige matrix, en omgekeerd: de transponering van een onderste driehoekige matrix is een bovenste driehoekige matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca1b4a07e3136aa75d1a8026e5e7c1ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 6 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 9 &amp; 4 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 8 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 7 \\end{pmatrix}\\right.^{\\bm{t}} =  \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 9 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 4 &amp; -2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 1 &amp; 8 &amp; 7 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"279\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Een <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>driehoekige matrix is omkeerbaar<\/strong><\/span> als alle elementen op de hoofddiagonaal niet nul zijn, dat wil zeggen als ze verschillend zijn van nul. In zo\u2019n geval is de inverse van een bovenste (onderste) driehoekige matrix ook een bovenste (onderste) driehoekige matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adafaa535a161d29c9bcb8a31a572dc2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] -3&amp;2&amp;0\\\\[1.1ex] 2&amp;4&amp;3\\end{pmatrix} \\right.^{-1} =\\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] \\frac{3}{2}&amp;\\frac{1}{2}&amp;0\\\\[1.1ex] -\\frac{8}{3}&amp;-\\frac{2}{3}&amp;\\frac{1}{3}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"261\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bovendien zal de hoofddiagonaal van de omgekeerde matrix altijd de inverse van de elementen van de hoofddiagonaal van de oorspronkelijke driehoekige matrix bevatten.<\/p>\n<ul>\n<li> Elke diagonale matrix is zowel een bovenste driehoekige matrix als een onderste driehoekige matrix, bijvoorbeeld:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-497726e030cc2af2c07b16fdf3544024_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 3 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 8 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; -2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"94\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Een <a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/scalaire-matrix\/\">scalaire matrix<\/a> is dus ook een bovenste en onderste driehoekige matrix. Bijvoorbeeld de identiteitsmatrix:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e4e9931fb7ae104414006cee93978a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"80\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Het is duidelijk dat de <a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/nulmatrix-nul\/\">nulmatrix<\/a> ook een bovenste en onderste driehoeksmatrix is, omdat de elementen boven en onder de hoofddiagonaal 0 zijn:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edb061dcbc869eba51ece12af43f796f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"80\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> De <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>eigenwaarden (of eigenwaarden) van een driehoekige matrix<\/strong><\/span> zijn de elementen van de hoofddiagonaal.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-272d0e156e1f27c20348b171c984e390_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 5 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 6 &amp; -2 \\end{pmatrix} \\longrightarrow \\ \\lambda = -2 \\ ; \\ \\lambda = 3 \\ ; \\ \\lambda = 5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"325\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Een <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>bovenste of onderste driehoekige matrix is altijd in staat om te diagonaliseren<\/strong><\/span> op basis van eigenvectoren (of eigenvectoren).<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Elke matrix kan worden ontbonden in het product van een onderste driehoekige matrix en een bovenste driehoekige matrix<\/strong><\/span> . Dat wil zeggen dat elke matrix kan worden omgezet in een driehoekige matrixvermenigvuldiging. Bovendien, als de matrix inverteerbaar is, is deze transformatie uniek. Om een matrix te ontbinden in factoren wordt vaak de LU-ontledingsmethode gebruikt. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Triangulariseer een matrix<\/h2>\n<p> Er zijn verschillende stellingen over matrices die kunnen worden driehoekig gemaakt door de basis te veranderen. Hier zullen we echter zien hoe we een matrix kunnen trianguleren door <strong>elementaire transformaties op de lijnen<\/strong> toe te passen, zoals bij de Gauss-methode.<\/p>\n<p> Bijvoorbeeld:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f66a4f370b37168439de204c1b0b401c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 2 &amp; -3 &amp; 5 \\\\[1.1ex]1 &amp; -1 &amp; 6 \\end{pmatrix} \\begin{array}{c} \\\\[1.1ex] \\xrightarrow{f_2 -2f_1}\\\\[1.1ex] \\xrightarrow{f_3 -f_1} \\end{array}  \\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -7 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -3 &amp; 2 \\end{pmatrix}\\begin{array}{c} \\\\[1.1ex]\\\\[1.1ex] \\xrightarrow{7f_3 -3f_2} \\end{array}  \\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -7 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 23 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"496\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En op deze manier hebben we de oorspronkelijke matrix al driehoekig gemaakt.<\/p>\n<p> Bedenk dat de elementaire transformaties die tussen lijnen in de Gauss-methode zijn toegestaan, de volgende zijn:<\/p>\n<ul>\n<li> Vervang een lijn door de lineaire combinatie van andere lijnen.<\/li>\n<li> Vermenigvuldig of deel alle termen in een rij met een ander getal dan 0.<\/li>\n<li> Orderregels bewerken.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Hessenberg-matrix<\/h2>\n<p> De definitie van de Hessenberg-matrix is als volgt:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> De <strong>Hessenberg-matrix<\/strong> is een \u201cbijna\u201d driehoekige matrix, dat wil zeggen dat al zijn elementen nul zijn, beginnend bij de eerste subdiagonaal (bovenste Hessenberg-matrix) of de eerste superdiagonaal (onderste Hessenberg-matrix).<\/p>\n<p> Ik weet zeker dat het het beste wordt begrepen met een voorbeeld van een hogere Hessenberg-matrix en een ander voorbeeld van een lagere Hessenberg-matrix: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-28\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Matrix van Boven-Hessenberg<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e76ad0fae8a28b5e5f31535683e63df5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{pmatrix} 3 &amp; 5 &amp; 1 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 8 &amp; 2 &amp; 7 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 6 &amp; 3 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 9 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Lagere Hessenberg-matrix<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9b13730483eaf930193baeb953d1d3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{pmatrix} 2 &amp; 4 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 9 &amp; 6 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 5 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 8 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 7 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"105\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Een matrix die zowel een bovenste als een onderste Hessenberg-matrix is, is een <a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/diagonale-matrix\/\">tridiagonale matrix<\/a> .<\/p>\n<p> Deze matrix is vernoemd naar Karl Hessenberg, een prominente Duitse ingenieur en wiskundige uit de 20e eeuw.<\/p>\n<p> Ten slotte heeft dit type matrix de bijzonderheid dat als het wordt vermenigvuldigd met een driehoekige matrix, het resultaat altijd een Hessenberg-matrix is.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Op deze pagina zie je wat een driehoekige matrix is en de verschillende soorten driehoekige matrices, samen met voorbeelden. Daarnaast vind je hoe je de determinant van een driehoekige matrix berekent en wat de eigenschappen zijn van deze zeer interessante matrix. Ten slotte leggen we ook uit wat een Hessenberg-matrix is, aangezien het een matrix &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Bovenste en onderste driehoekige matrix<\/span> Lees meer &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[64],"tags":[],"class_list":["post-351","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-soorten-tafels"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Bovenste en onderste driehoekige matrix - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Bovenste en onderste driehoekige matrix - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Op deze pagina zie je wat een driehoekige matrix is en de verschillende soorten driehoekige matrices, samen met voorbeelden. Daarnaast vind je hoe je de determinant van een driehoekige matrix berekent en wat de eigenschappen zijn van deze zeer interessante matrix. Ten slotte leggen we ook uit wat een Hessenberg-matrix is, aangezien het een matrix &hellip; Bovenste en onderste driehoekige matrix Lees meer &raquo;\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-06T13:14:29+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-superieure.webp\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschreven door\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/\",\"name\":\"Bovenste en onderste driehoekige matrix - Mathority\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-06T13:14:29+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-06T13:14:29+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\"},\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Bovenste en onderste driehoekige matrix\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\",\"name\":\"\",\"description\":\"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\",\"name\":\"Redactioneel Team\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Redactioneel Team\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/nl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Bovenste en onderste driehoekige matrix - Mathority","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Bovenste en onderste driehoekige matrix - Mathority","og_description":"Op deze pagina zie je wat een driehoekige matrix is en de verschillende soorten driehoekige matrices, samen met voorbeelden. Daarnaast vind je hoe je de determinant van een driehoekige matrix berekent en wat de eigenschappen zijn van deze zeer interessante matrix. Ten slotte leggen we ook uit wat een Hessenberg-matrix is, aangezien het een matrix &hellip; Bovenste en onderste driehoekige matrix Lees meer &raquo;","og_url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/","article_published_time":"2023-07-06T13:14:29+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-triangulaire-superieure.webp"}],"author":"Redactioneel Team","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschreven door":"Redactioneel Team","Geschatte leestijd":"4 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/","name":"Bovenste en onderste driehoekige matrix - Mathority","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website"},"datePublished":"2023-07-06T13:14:29+00:00","dateModified":"2023-07-06T13:14:29+00:00","author":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64"},"breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/bovenste-onderste-driehoekige-matrix\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Bovenste en onderste driehoekige matrix"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/","name":"","description":"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"nl-NL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64","name":"Redactioneel Team","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Redactioneel Team"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/nl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/351","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=351"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/351\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=351"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=351"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=351"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}