{"id":316,"date":"2023-07-10T00:32:54","date_gmt":"2023-07-10T00:32:54","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/"},"modified":"2023-07-10T00:32:54","modified_gmt":"2023-07-10T00:32:54","slug":"relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/","title":{"rendered":"Relatieve posities van een lijn en een vlak"},"content":{"rendered":"<p>Op deze pagina vindt u de relatieve posities van een lijn en een vlak. We leggen je uit hoe de relatieve positie tussen een lijn en een vlak wordt berekend (2 methoden) en bovendien kun je stap voor stap voorbeelden en oefeningen zien die zijn opgelost. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuales-son-las-posiciones-relativas-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Wat zijn de relatieve posities tussen een lijn en een vlak?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Voordat we naar alle mogelijke relatieve posities tussen een lijn en een vlak kijken, moeten we uiteraard weten <a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/definitie-van-lijnkarakteristieken-typen-voorbeelden-rechte-lijn\/\">wat lijnen zijn<\/a> en <a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/vlakke-geometrie\/\">wat een vlak is<\/a> . Dus als u deze twee concepten nog steeds niet helemaal duidelijk heeft, raden wij u aan eerst een kijkje te nemen op de gelinkte pagina&#8217;s waar het in detail wordt uitgelegd.<\/p>\n<p> In de analytische meetkunde zijn er dus slechts drie relatieve posities in de ruimte tussen een lijn en een vlak:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Lijn in het vlak<\/strong> : wanneer de lijn in het vlak ligt, betekent dit dat ze een oneindig aantal punten gemeen hebben.<\/li>\n<li> <strong>Parallelle lijn en vlak<\/strong> : Een lijn en een vlak zijn evenwijdig als ze geen gemeenschappelijk punt hebben.<\/li>\n<li> <strong>Snijlijn en vlak<\/strong> : Een lijn en een vlak snijden elkaar wanneer de lijn het vlak op een punt snijdt. Ze hebben dus maar \u00e9\u00e9n ding gemeen. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-4014\" width=\"651\" height=\"400\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Aan de andere kant, wanneer de lijn zich in het vlak bevindt of wanneer ze evenwijdig aan elkaar zijn, zal de hoek die ze vormen 0\u00b0 zijn. Aan de andere kant, wanneer de lijn en het vlak elkaar snijden, kan de hoek tussen de twee geometrische elementen vari\u00ebren van 0\u00b0 (niet inbegrepen) tot 90\u00b0 (inclusief). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-calcular-la-posicion-relativa-de-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Hoe bereken je de relatieve positie van een lijn en een vlak?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Er zijn hoofdzakelijk twee methoden om de relatieve positie tussen een lijn en een vlak in de ruimte te vinden: <strong>door middel van bereiken<\/strong> of <strong>door vectoren<\/strong> .<\/p>\n<p> Wanneer de lijn wordt uitgedrukt als een impliciete (of algemene) vergelijking, is het gemakkelijker om de rangschikkingsmethode te gebruiken. Aan de andere kant, als de lijn wordt gegeven met een ander type vergelijking, bijvoorbeeld als deze de vorm heeft van een vector-, parametrische of continue vergelijking, is het sneller om de vectormethode te gebruiken.<\/p>\n<p> Als u niet meer weet hoe de vergelijkingen van de lijn eruit zien, laten we een pagina achter waarop u <a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/lijnvergelijkingen-alle-formules-voorbeelden-opgeloste-oefeningen\/\">alle vergelijkingen van de lijn<\/a> kunt raadplegen. Hier vind je alle vergelijkingen van de lijn, een formule om snel de vergelijking te vinden van een lijn die door twee punten gaat, voorbeelden en oefeningen die stap voor stap worden opgelost.<\/p>\n<p> Daarom is het praktischer om afhankelijk van het probleem de ene of de andere methode te gebruiken. Om deze reden raden we u aan te weten hoe u beide procedures moet uitvoeren. Hieronder vindt u de uitleg van beide methoden met voorbeelden. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-ecuacion-implicita-o-general\"><\/span> Wanneer de lijn de vorm heeft van een impliciete (of algemene) vergelijking<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> E\u00e9n manier om de relatieve positie tussen een lijn en een vlak te bepalen, is door de rangorde van twee matrices te berekenen.<\/p>\n<p> Als de lijn wordt gedefinieerd door zijn impliciete (of algemene) vergelijkingen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90fc7032d2804ef53ac3136f01ee9d86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\\\[2ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En het plan wordt ook uitgedrukt in de vorm van een algemene vergelijking:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bdc521630479fe27eb3873cd5b21b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We zullen A de matrix noemen die is samengesteld uit de co\u00ebffici\u00ebnten A, B en C van de vergelijkingen van het vlak en de lijn:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e697e27706489cb97d773b722c84ad37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"158\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En de matrix A&#8217; zal de uitgebreide matrix zijn met alle co\u00ebffici\u00ebnten van de twee vergelijkingen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c87c6559e077c5bedb08d62e386f0bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A' =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1&amp;D_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2&amp;D_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3&amp;D_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"201\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Vervolgens wordt de relatieve positie tussen de lijn en het vlak bepaald door de waarde van de omvang van de twee voorgaande matrices volgens de volgende tabel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-entre-une-ligne-et-un-plan-par-intervalles.webp\" alt=\"bestudeer de relatieve positie tussen een lijn en een vlak in de ruimte in afstanden\" class=\"wp-image-4019\" width=\"623\" height=\"194\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Dat de relatieve posities afhangen van de rangorde van deze twee matrices kan worden aangetoond uit de Rouche-Frobenius toerem (een stelling die wordt gebruikt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen). Op deze pagina gaan we de demonstratie echter niet doen omdat het niet nodig is om het te weten en het ook niet veel oplevert.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Voorbeeld van hoe u de relatieve positie van een lijn en een vlak kunt vinden op basis van bereiken<\/h4>\n<p> Zodat je precies kunt zien hoe dit moet, lossen we als voorbeeld een oefening op:<\/p>\n<ul>\n<li> Bestudeer de relatieve positie tussen de volgende lijn en het volgende vlak:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-794d91d1740ca80c422936e5e06abefd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}2x+y+z+3=0 \\\\[2ex] 4x-y+5z+2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14576ddb5ea954ab6ac03ddfa4719d21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+2y-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De lijn wordt gedefinieerd door twee elkaar snijdende vlakken, dat wil zeggen dat deze wordt uitgedrukt als een impliciete vergelijking. Daarom zullen we de rangschikkingsmethode gebruiken om de relatieve positie tussen de lijn en het vlak te bestuderen.<\/p>\n<p> Het eerste wat je moet doen is de matrix A en de uitgebreide matrix A&#8217; construeren met de co\u00ebffici\u00ebnten van de vergelijkingen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-819af000774ddbc89e11df809bcb2a28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{pmatrix} \\qquad \\qquad A' =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0&amp;-6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"394\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En nu moeten we de rangorde van elke matrix berekenen. We vinden eerst de omvang van de matrix A aan de hand van determinanten: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5db59e1c8bbf94b95483870d47cea1b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-997e4d9c9bd1522795a581d0fb62cfdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"115\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-169fab3e064b8bb744ef9cc546bfe201_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1\\end{vmatrix} =-6 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef18656c1a261aa20598fc8f6a587323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>De determinant van matrix A is nul, maar bevat een 2\u00d72-submatrix waarvan de determinant verschilt van nul, dus het is een matrix van rang 2.<\/p>\n<p> Aan de andere kant is het ook noodzakelijk om de rangorde van de matrix A&#8217; te berekenen. En het bereik van de uitgebreide matrix A&#8217; zal altijd minstens hetzelfde zijn als dat van matrix A, dus we hoeven alleen maar te controleren of deze van rang 3 of 2 is: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8e886877bcaa4124dd444188a5cc66a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae375c2cd910e2e52f242facef2aecec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;-6\\end{vmatrix} =62 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"170\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f38f92bcbb2288e43932ccd835e99d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aan de andere kant heeft de uitgebreide matrix A&#8217; wel een 3\u00d73-subdeterminant die verschilt van 0, en is daarom van rang 3.<\/p>\n<p> Dus omdat matrix A van rang 2 is en matrix A&#8217; van rang 3 is, <strong>zijn de lijn en het vlak evenwijdig<\/strong> . <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-otro-tipo-de-ecuacion\"><\/span> Wanneer de lijn de vorm heeft van een ander type vergelijking<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wanneer de lijn wordt uitgedrukt door een andere dan de impliciete vergelijking, of het nu een vector-, parametrische of continue vergelijking is, verdient het de voorkeur om de methode te gebruiken die we hieronder uitleggen.<\/p>\n<p> Dus als de lijn wordt gegeven in de vorm van een vectorvergelijking, parametervergelijkingen of een continue vergelijking, betekent dit dat we een punt kennen dat bij de lijn hoort, en ook de richtingsvector ervan.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5a0fe0918b9eb196b470ffde6dffb81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r \\\\[2ex] P\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"60\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aan de andere kant weten we ook wat de normaalvector (of loodrechte) vector op het vlak is:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-123a18c0a20e53d6401b932e47192df0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} \\perp \\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Vervolgens kan uit de 2 vectoren en het punt van de lijn de relatieve positie tussen de lijn en het vlak als volgt worden berekend:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff6f00; font-weight: bold;list-style-type:disc\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Als het scalaire product tussen de richtingsvector van de lijn en de vector loodrecht op het vlak verschillend is van nul, betekent dit dat de lijn secans is ten opzichte van het vlak.<\/span>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29625866e04f656f7067ec4fe6139bd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} \\neq 0 \\ \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano secantes}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Maar als het scalaire product tussen de richtingsvector van de lijn en de vector loodrecht op het vlak gelijk is aan nul, zijn er twee mogelijkheden: de lijn bevindt zich in het vlak of ze zijn evenwijdig. En om te weten welk geval het is, moeten we de co\u00f6rdinaten van een punt op de lijn vervangen door de vergelijking van het vlak.<\/span>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Als het punt voldoet aan de vergelijking van het vlak, bevindt de lijn zich in het vlak.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67bea80768d5723b1a1a79404b6dad60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex]P \\in \\pi   \\end{array} \\right\\}  \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black}\\ \\text{recta contenida en el plano}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"448\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Aan de andere kant, als het punt niet voldoet aan de vergelijking van het vlak, zijn de lijn en het vlak evenwijdig.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eccf7b373d59c89e835ae6c64e3d980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex] P \\ \\cancel{\\in} \\ \\pi \\end{array} \\right\\} \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano paralelos}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"415\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Voorbeeld van het bepalen van de relatieve positie van een lijn en een vlak met behulp van vectoren<\/h4>\n<p> Nadat we de theorie van deze methode hebben gezien, laten we nu een oefening stap voor stap oplossen:<\/p>\n<ul>\n<li> Zoek de relatieve positie tussen de volgende lijn en het volgende vlak:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7df9c39f91ee48f9c11804e81a7cb57a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}x=2-3t \\\\[1.7ex] y=-1+2t \\\\[1.7ex] z=-2t\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d98be29c4b72b8126b336e9fb89ddf78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+y-2z-3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ten eerste wordt de lijn gedefinieerd als parametervergelijkingen, dus de richtingsvector en het punt waar de lijn doorheen gaat zijn:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c38a901be64fc1a358200bc95c6cafc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r =(-3,2,-2) \\\\[2ex] P(2,-1,0) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"168\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En aan de andere kant is de vector loodrecht op het vlak:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d1147a5141ab6b378f2cc901e565685_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} =(2,1,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zodra we de richtingsvector van de lijn en de vector loodrecht op het vlak kennen, moeten we het scalaire product tussen de twee berekenen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cffc4ca748ea137ce81d1cb185c28b1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} &amp; = (-3,2,-2) \\cdot (2,1,-2) \\\\[2ex] &amp; = -3 \\cdot 2+2 \\cdot 1 -2\\cdot (-2) \\\\[2ex] &amp;= -6 +2 +4 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"140\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Het resultaat van het puntproduct is nul, dus de lijn kan alleen in het vlak liggen of evenwijdig daaraan zijn. Om erachter te komen welk geval het is, vervangen we de cartesische co\u00f6rdinaten van het punt op de lijn in de vergelijking van het vlak: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90c28414930db38453e927e36128fccd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+y-2z-3=0 \\ \\xrightarrow{P(2,-1,0)} \\ 2\\cdot 2 -1 -2 \\cdot 0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65009666a542c5d85d27cde1024f9c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4- 1 -0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"133\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb23fb46aaefcb8f5b4dfd612098620b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Door het punt van de lijn in de vergelijking van het vlak te vervangen, verkrijgen we een gelijkheid, daarom respecteert het punt de vergelijking van het vlak en bijgevolg <strong>bevindt de lijn zich in het vlak<\/strong> .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Op deze pagina vindt u de relatieve posities van een lijn en een vlak. We leggen je uit hoe de relatieve positie tussen een lijn en een vlak wordt berekend (2 methoden) en bovendien kun je stap voor stap voorbeelden en oefeningen zien die zijn opgelost. Wat zijn de relatieve posities tussen een lijn en &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Relatieve posities van een lijn en een vlak<\/span> Lees meer &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[47],"tags":[],"class_list":["post-316","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-punten-lijnen-en-vlakken"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Relatieve posities van een lijn en een vlak - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Relatieve posities van een lijn en een vlak - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Op deze pagina vindt u de relatieve posities van een lijn en een vlak. We leggen je uit hoe de relatieve positie tussen een lijn en een vlak wordt berekend (2 methoden) en bovendien kun je stap voor stap voorbeelden en oefeningen zien die zijn opgelost. Wat zijn de relatieve posities tussen een lijn en &hellip; Relatieve posities van een lijn en een vlak Lees meer &raquo;\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-10T00:32:54+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschreven door\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"7 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/\",\"name\":\"Relatieve posities van een lijn en een vlak - Mathority\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-10T00:32:54+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-10T00:32:54+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\"},\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Relatieve posities van een lijn en een vlak\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\",\"name\":\"\",\"description\":\"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\",\"name\":\"Redactioneel Team\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Redactioneel Team\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/nl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Relatieve posities van een lijn en een vlak - Mathority","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Relatieve posities van een lijn en een vlak - Mathority","og_description":"Op deze pagina vindt u de relatieve posities van een lijn en een vlak. We leggen je uit hoe de relatieve positie tussen een lijn en een vlak wordt berekend (2 methoden) en bovendien kun je stap voor stap voorbeelden en oefeningen zien die zijn opgelost. Wat zijn de relatieve posities tussen een lijn en &hellip; Relatieve posities van een lijn en een vlak Lees meer &raquo;","og_url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/","article_published_time":"2023-07-10T00:32:54+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp"}],"author":"Redactioneel Team","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschreven door":"Redactioneel Team","Geschatte leestijd":"7 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/","name":"Relatieve posities van een lijn en een vlak - Mathority","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website"},"datePublished":"2023-07-10T00:32:54+00:00","dateModified":"2023-07-10T00:32:54+00:00","author":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64"},"breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/relatieve-posities-van-een-lijn-en-een-vlak\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Relatieve posities van een lijn en een vlak"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/","name":"","description":"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"nl-NL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64","name":"Redactioneel Team","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Redactioneel Team"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/nl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/316","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=316"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/316\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=316"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=316"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=316"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}