{"id":289,"date":"2023-07-10T14:01:40","date_gmt":"2023-07-10T14:01:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/impliciete-algemene-of-cartesiaanse-vergelijking-van-het-vlak\/"},"modified":"2023-07-10T14:01:40","modified_gmt":"2023-07-10T14:01:40","slug":"impliciete-algemene-of-cartesiaanse-vergelijking-van-het-vlak","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/impliciete-algemene-of-cartesiaanse-vergelijking-van-het-vlak\/","title":{"rendered":"Impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van het vlak"},"content":{"rendered":"

Uitleg over hoe de impliciete vlakvergelijking (formule), ook wel de algemene of cartesiaanse vergelijking genoemd, wordt berekend. Bovendien zult u ontdekken hoe u de vergelijking van het vlak kunt vinden op basis van zijn normaalvector. En bovendien kun je stap voor stap voorbeelden en oefeningen zien die opgelost zijn. <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

<\/span> Wat is de impliciete of algemene vergelijking van het plan? <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

In de analytische meetkunde is de impliciete vergelijking van een vlak<\/strong> , ook wel de algemene<\/strong> of cartesiaanse<\/strong> vergelijking van het vlak genoemd, een vergelijking waarmee elk vlak wiskundig kan worden uitgedrukt. Om de impliciete of algemene vergelijking van een vlak te vinden, hebben we een punt en twee lineair onafhankelijke vectoren nodig die bij dat vlak horen. <\/p>\n

<\/span> Formule van de impliciete of algemene vergelijking van het plan <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n

Beschouw een punt en twee richtingsvectoren van een vlak:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

De impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van een vlak wordt verkregen door de volgende determinant op te lossen en het resultaat gelijk te stellen aan 0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

De impliciete of algemene vergelijking van het resulterende plan<\/strong> zal dus als volgt zijn:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+Cz+D=0\"<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Het is belangrijk dat de twee vectoren in de formule lineair onafhankelijk van elkaar zijn, dat wil zeggen dat ze verschillende richtingen moeten hebben. En om aan deze voorwaarde te voldoen is het voldoende dat de twee vectoren niet evenwijdig zijn. <\/p>\n

\n
\"impliciete<\/figure>\n<\/div>\n

Hoewel het niet nodig is om de reden voor deze formule te weten, kunt u hieronder de demonstratie ervan zien.<\/p>\n

Vertrekkend van de parametervergelijkingen van een plan, gaan we verder met de impliciete (of algemene) vergelijking van het plan:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Eerst geven we de onafhankelijke term van elke parametervergelijking door naar de andere kant van de vergelijking:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Of gelijkwaardig:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wil het bovenstaande stelsel vergelijkingen een haalbare oplossing hebben, dan moet de rangorde van de volgende matrix gelijk zijn aan 2 (stelling van Rouche-Frobenius):<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\begin{pmatrix}\\text{u}_x<\/p>\n<\/p>\n

Dus als het bereik van de vorige matrix twee moet zijn, moet de 3×3-determinant noodzakelijkerwijs gelijk zijn aan nul:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\begin{vmatrix}\\text{u}_x<\/p>\n<\/p>\n

En door deze determinant op te lossen, verkrijgen we de algemene, impliciete of cartesiaanse vergelijking van een vlak:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+Cz+D=0\"<\/p>\n<\/p>\n

We hebben dus zojuist de impliciete (of algemene) vergelijking en de parametrische vergelijkingen van het vlak gezien, maar er zijn nog meer manieren om een vlak analytisch uit te drukken, zoals de vectorvergelijking en de canonieke vergelijking. U kunt de formule en uitleg van alle vergelijkingen in het plan<\/a> bekijken via deze link. <\/p>\n

<\/span> Voorbeeld van hoe u de impliciete of algemene vergelijking van het vlak kunt vinden <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Laten we eens kijken hoe we de impliciete (of algemene of cartesiaanse) vergelijking van een vlak kunnen bepalen aan de hand van een voorbeeld:<\/p>\n