{"id":119,"date":"2023-09-16T13:00:39","date_gmt":"2023-09-16T13:00:39","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/analytische-geometrieformules-in-de-ruimte\/"},"modified":"2023-09-16T13:00:39","modified_gmt":"2023-09-16T13:00:39","slug":"analytische-geometrieformules-in-de-ruimte","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/analytische-geometrieformules-in-de-ruimte\/","title":{"rendered":"Analytische geometrie in de ruimte (formules)"},"content":{"rendered":"

Op deze pagina vind je de uitleg van alles over analytische meetkunde in de ruimte (en de formules): de vergelijkingen van de lijn en het vlak, de relatieve posities tussen vlakken en lijnen, hoe afstanden en hoeken berekend worden in de ruimte,\u2026 <\/p>\n

<\/span> Wat is geometrie in de ruimte?<\/span><\/h2>\n

Ruimtegeometrie<\/strong> is de tak van de geometrie die verantwoordelijk is voor het bestuderen van driedimensionale (3D) geometrische figuren, dat wil zeggen figuren die een plaats in de ruimte innemen. Zoals de kegel, de kubus, de piramide, de bol, de cilinder, de prisma’s, de veelvlakken, enz.<\/p>\n

Op deze pagina zullen we ons echter concentreren op analytische geometrie in de ruimte<\/strong> , het deel van de ruimtegeometrie dat zich richt op de analyse van punten, lijnen, vlakken, de afstanden tussen twee geometrische figuren, de hoek die ze vormen, de snijpunten tussen verschillende geometrie\u00ebn figuren. elementen, enz. <\/p>\n

<\/span> Vergelijkingen van de lijn in de ruimte<\/span><\/h2>\n

Bedenk dat de wiskundige definitie van een lijn een reeks opeenvolgende punten is die in dezelfde richting worden weergegeven, zonder krommen of hoeken.<\/p>\n

Om elke lijn in een driedimensionale ruimte wiskundig uit te drukken (in R3) gebruiken we dus de vergelijkingen van de lijn, en om ze te vinden hebben we alleen een punt nodig dat bij de lijn hoort en de richtingsvector van die lijn. <\/p>\n

\n
\"vergelijkingen<\/figure>\n<\/div>\n

Met alleen deze twee geometrische elementen kun je absoluut alle verschillende vergelijkingen van de lijn vinden, die als volgt zijn:<\/p>\n

De vergelijkingen van de lijn zijn de vectorvergelijking<\/strong> , de parametervergelijkingen<\/strong> , de continue vergelijking<\/strong> en de impliciete (of algemene) vergelijking<\/strong> .<\/p>\n

Hieronder vindt u een uitleg van de verschillende soorten vergelijkingen van de lijn. <\/p>\n

<\/span> Vectorvergelijking van lijn in de ruimte<\/span><\/h3>\n

Ja<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}\"<\/p>\n

is de richtingsvector van de lijn en<\/p>\n

\"P\"<\/p>\n

een punt dat hoort bij rechts:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}=<\/p>\n<\/p>\n

De formule voor de vectorvergelijking van de lijn<\/strong> is: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Parametrische vergelijkingen van de lijn in de ruimte<\/span><\/h3>\n

We kunnen de formule voor de parametrische vergelijking<\/strong> van een lijn verkrijgen uit de vectorvergelijking door component aan component gelijk te stellen: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Continue vergelijking van de lijn in de ruimte<\/span><\/h3>\n

De formule voor de continue vergelijking van de lijn<\/strong> is:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Dit type vergelijking van de lijn kan ook worden verkregen uit parametrische vergelijkingen, je kunt de demonstratie op onze pagina van de continue vergelijking<\/a> zien, daarnaast kun je ook voorbeelden zien en oefenen met opgeloste oefeningen van vergelijkingen aan de rechterkant. <\/p>\n

<\/span> Algemene (of impliciete) vergelijkingen van de lijn in de ruimte<\/span><\/h3>\n

Door tenslotte de fracties van de continue vergelijking van de lijn twee bij twee te vermenigvuldigen, verkrijgen we de algemene (of impliciete) vergelijkingen van de lijn<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Dit type vergelijking van de lijn wordt ook wel een cartesiaanse vergelijking genoemd.<\/p>\n

We hebben zojuist de vier meest relevante vergelijkingen van de lijn gezien (vector, parametrisch, continu en algemeen), maar er is nog een enigszins bijzondere vergelijking en daarom kost het een hele pagina om deze uit te leggen. Dit is de canonieke vergelijking<\/a> . In deze link kun je de hele uitleg ervan zien, waarom deze zo speciaal is en wat hem anders maakt dan alle anderen. <\/p>\n

<\/span> Vlakvergelijkingen in de ruimte<\/span><\/h2>\n

In de analytische meetkunde is de vergelijking van een vlak<\/strong> een vergelijking waarmee elk vlak analytisch kan worden uitgedrukt. Om de vergelijking van een vlak te vinden heb je dus alleen een punt en twee lineair onafhankelijke vectoren nodig die bij dat vlak horen. <\/p>\n

\n
\"xy-vlakvergelijking<\/figure>\n<\/div>\n

Alle soorten vergelijkingen van het vlak zijn dus: de vectorvergelijking<\/strong> , de parametrische vergelijkingen<\/strong> , de impliciete (of algemene) vergelijking<\/strong> en de canonieke (of segmentale) vergelijking<\/strong> van het vlak.<\/p>\n

Vervolgens zullen we de uitleg en formule van alle vergelijkingen van het plan zien. <\/p>\n

<\/span> Vectorvergelijking van het vlak<\/span><\/h3>\n

Gegeven een punt en twee richtingsvectoren van een vlak:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

De formule voor de vectorvergelijking van een vlak<\/strong> is:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Of gelijkwaardig:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Goud<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

En<\/p>\n

\"\\mu\"<\/p>\n

Het zijn twee scalairen, dat wil zeggen twee re\u00eble getallen. <\/p>\n

<\/span> Parametrische vergelijkingen van het vlak<\/span><\/h3>\n

Aan de andere kant is de formule voor de parametervergelijking van het vlak<\/strong> : <\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Impliciete of algemene vergelijking van het vlak<\/span><\/h3>\n

De impliciete vergelijking van een plan, ook wel de algemene vergelijking genoemd, wordt verkregen door de volgende determinant op te lossen en het resultaat op 0 te zetten:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

De impliciete of algemene vergelijking van het resulterende plan<\/strong> zal dus de volgende vorm hebben:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Dit type vlakvergelijking wordt ook wel een cartesiaanse vlakvergelijking genoemd. <\/p>\n

<\/span> Canonieke of segmentale vergelijking van het vlak<\/span><\/h3>\n

De formule voor de canonieke of segmentale vergelijking van een vlak<\/strong> is als volgt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Goud:<\/p>\n