{"id":115,"date":"2023-09-16T13:04:23","date_gmt":"2023-09-16T13:04:23","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/lineaire-combinatie-van-vectoren-voorbeelden-opgeloste-oefeningen\/"},"modified":"2023-09-16T13:04:23","modified_gmt":"2023-09-16T13:04:23","slug":"lineaire-combinatie-van-vectoren-voorbeelden-opgeloste-oefeningen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/lineaire-combinatie-van-vectoren-voorbeelden-opgeloste-oefeningen\/","title":{"rendered":"Lineaire combinatie van vectoren"},"content":{"rendered":"

Op deze pagina vindt u de uitleg van wat een lineaire combinatie tussen vectoren betekent. Daarnaast krijg je een voorbeeld te zien van hoe een vector wordt uitgedrukt als een lineaire combinatie en daarnaast kun je oefenen met oefeningen en stap voor stap opgeloste problemen. <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

<\/span> Wat is een lineaire combinatie van vectoren?<\/span><\/h2>\n

De definitie van lineaire combinatie is als volgt: <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n

Een lineaire combinatie<\/strong> van een set vectoren is de vector die wordt verkregen door alle vectoren in de set op te tellen, vermenigvuldigd met scalaire getallen (re\u00eble getallen).<\/p>\n

Met andere woorden, gegeven een reeks vectoren<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

een lineaire combinatie hiervan zou zijn:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}=a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

Waar de co\u00ebffici\u00ebnten<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

Dit zijn echte cijfers.<\/p>\n<\/div>\n

Daarom betekent een vector die een lineaire combinatie is van andere vectoren dat de eerste kan worden uitgedrukt in termen van de tweede.<\/p>\n

Dit concept kan beter worden begrepen door een vector in het vlak weer te geven, wat een lineaire combinatie is van twee vectoren: <\/p>\n

\n
\"lineaire<\/figure>\n<\/div>\n

Zoals je kunt zien in de grafische weergave hierboven, is de vector<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}\"<\/p>\n

kan worden verkregen uit vectoren<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}\"<\/p>\n

En<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}\"<\/p>\n

vectorbewerkingen uitvoeren. Daarom de vector<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}\"<\/p>\n

is een lineaire combinatie van de andere twee vectoren.<\/p>\n

Benadrukt moet worden dat deze lineaire combinatie uniek<\/strong> is, of met andere woorden, er is slechts \u00e9\u00e9n haalbare lineaire combinatie voor elke vector. Omdat we, volgens het vorige voorbeeld, vermenigvuldigden<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}\"<\/p>\n

voor 6 in plaats van 4 zouden we een andere vector verkrijgen. <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

Bovendien is een van de eigenschappen van de lineaire combinatie in het vlak (in R2) dat elke vector kan worden voorgesteld als een lineaire combinatie van twee andere vectoren als ze verschillende richtingen hebben, dat wil zeggen als ze niet evenwijdig zijn.<\/p>\n

Soms kunnen we ook met het oog vaststellen dat twee vectoren een lineaire combinatie zijn. Om dit te doen, is het voldoende dat de componenten proportioneel<\/strong> zijn. De co\u00f6rdinaten van de volgende twee vectoren zijn bijvoorbeeld proportioneel en daarom zijn de vectoren een lineaire combinatie:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{3}{1}<\/p>\n<\/p>\n

Tenslotte, of het nu in een tweedimensionale (in R2) of driedimensionale (in R3) vectorruimte is, als er een lineaire combinatie is binnen een reeks vectoren, impliceert dit dat ze lineair van elkaar afhankelijk<\/strong> zijn. Aan de andere kant, als er geen lineaire combinatie mogelijk is tussen de vectoren, betekent dit dat ze lineair onafhankelijk<\/strong> zijn.<\/p>\n

Als dit laatste concept u niet helemaal duidelijk is, raden we u aan onze uitleg van lineair afhankelijke en onafhankelijke vectoren<\/a> te bekijken. Hier vindt u wat het betekent voor vectoren om lineair afhankelijk of onafhankelijk te zijn, voorbeelden van elk type en de verschillen daartussen. . Dit concept wordt veel gebruikt en wordt zelfs veel gevraagd op examens, dus het is belangrijk dat je het goed begrijpt. <\/p>\n

<\/span> Hoe je een vector uitdrukt als een lineaire combinatie van andere vectoren <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Vervolgens zullen we zien hoe we een typisch probleem kunnen oplossen waarbij ons wordt gevraagd de lineaire combinatie van een vector te vinden.<\/p>\n