{"id":108,"date":"2023-09-17T07:20:31","date_gmt":"2023-09-17T07:20:31","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/"},"modified":"2023-09-17T07:20:31","modified_gmt":"2023-09-17T07:20:31","slug":"binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/","title":{"rendered":"Newton&#39;s binominale (binominale stelling)"},"content":{"rendered":"<p>Op deze pagina vindt u de uitleg van wat de binomiale (of binominale stelling) van Newton is en wat de formule ervan is. Je kunt ook zien hoe dit vereenvoudigd kan worden met de Tartaglia (of Pascal) driehoek. Daarnaast vind je stap-voor-stap opgeloste oefeningen voor de binomiaal van Newton en al zijn eigenschappen. Ten slotte zullen we de curiosa achter de oorsprong van deze zeer specifieke stelling uitleggen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-binomio-de-Newton\"><\/span> Wat is de binomiaal van Newton? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In de wiskunde is <strong>de binomiale stelling van Newton<\/strong> , ook bekend als <strong>de binomiale stelling<\/strong> , een formule waarmee je eenvoudig de macht van een binominale waarde kunt berekenen. Met andere woorden, de binomiale waarde van Newton bestaat uit een formule waarmee algebra\u00efsche uitdrukkingen van de vorm (a+b) kunnen worden <sup>opgelost<\/sup> .<\/p>\n<p> Het is duidelijk dat deze stelling is vernoemd naar de natuurkundige, wiskundige en filosoof Sir Isaac Newton. Er bestaat echter enige controverse in dit opzicht, aangezien er teksten uit het Midden-Oosten zijn gevonden waarin deze stelling al in gebruik was. Hieronder zullen we de oorsprong van deze wiskundige formule diepgaand bespreken. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula-del-binomio-de-Newton\"><\/span>De binomiale formule van Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zoals we hebben gezien bij de definitie van de binominale term van Newton, wordt deze stelling gebruikt om de machten van binominale getallen op te lossen. Maar\u2026 hoe wordt de binominale toepassing van Newton toegepast? Of, met andere woorden, wat is de binomiale formule van Newton? <\/p>\n<div style=\"background-color:#ffebee;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> De <strong>wiskundige formule voor de binomiaal van Newton<\/strong> is als volgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8087bb711e716aca4a2c535eaeb8b0bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left( a+b\\right)^n = &amp; \\sum_{k=0}^{n}\\begin{pmatrix} n\\\\ k\\end{pmatrix}a^{n-k}b^k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -22px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Of gelijkwaardig:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19bab1dcab88a71b5b3bed39bf09cc73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( a+b\\right)^n =\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)a^n b^0 + \\begin{pmatrix} n \\\\ 1 \\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \\begin{pmatrix} n \\\\ 2 \\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \\dots + \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} a^0 b^{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> De formule is een beetje ingewikkeld om het concept van de binomiaal van Newton te begrijpen, daarom hebben we hieronder de machten van binomialen van de laagste graad gepresenteerd, zodat je het beter kunt begrijpen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-binomiale-ou-theoreme-de-newton.jpg\" alt=\"formule voor de binominale stelling van Newton\" class=\"wp-image-2126\" width=\"578\" height=\"578\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Zoals je kunt zien, nemen bij het uitbreiden van een binomiaal <strong>de exponenten van de eerste term (a) af,<\/strong> terwijl <strong>de exponenten van de tweede term (b) toenemen<\/strong> , net zoals het lagere element van combinatorische getallen toeneemt.<\/p>\n<p> Om de binomiale stelling te gebruiken, moet je daarom weten hoe je een combinatorisch getal moet oplossen, dat wil zeggen de algebra\u00efsche uitdrukking van het type<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59b5fcabfa89714b1a55cbd237e405ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> . Laten we dus, voordat we naar voorbeelden kijken van hoe je een binomiale Newton-berekening kunt berekenen, eerst de combinatorische getallen bekijken.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Numero-combinatorio\"><\/span> combinatorisch getal<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Om een <strong>combinatorisch getal<\/strong> (of binomiale co\u00ebffici\u00ebnt) te bepalen, moet u de volgende formule toepassen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b0b6e9d4f65b3670d26dabb0141b15fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ k \\end{pmatrix} = \\cfrac{n!}{k!(n-k)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Goud<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da0ef996f36e1b32a0f26f6e896e1771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n!\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> En<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef344500b3e227ba2eebac8f79f8229a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k!\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Dit zijn <strong>faculteitsgetallen<\/strong> . Laten we ook onthouden dat een faculteitsgetal wordt berekend door alle positieve gehele getallen van 1 te vermenigvuldigen met dat getal:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09df3296b34c0da43f17d367af376ce5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots (n-1) \\cdot n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als voorbeeld zullen we een combinatorisch nummer vinden, zodat u kunt zien hoe het werkt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-619109bf5a34808b1f72ef6799a75482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 4\\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{4!}{3!(4-3)!}=\\cfrac{4!}{3!\\cdot 1!}= \\cfrac{1 \\cdot 2\\cdot 3 \\cdot 4}{(1 \\cdot 2\\cdot 3) \\cdot 1} = \\cfrac{24}{6} = 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"385\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Combinatorische getallen kunnen ook worden bepaald via de rekenmachine met de toets <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-840c7e15e97f9fa0c5615b063966e20e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\boxed{nCr}.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Binominale voorbeelden van Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nu we weten wat de binominale stelling is, gaan we kijken hoe we de binomiale formule van Newton kunnen toepassen met behulp van twee numerieke voorbeelden.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> voorbeeld 1<\/h3>\n<ul>\n<li> Pas de binomiaal van Newton toe om de macht van de volgende binomiaal te berekenen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-765733b5fff1862758f20d820c234683_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+3)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aangezien deze binomiale kwadratuur kwadratisch is, kan deze uiteraard ook worden opgelost met de formules voor opmerkelijke identiteiten ( <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/identiteiten-producten-opmerkelijke-gelijkheden-opgeloste-oefeningen\/\">hoe opmerkelijke identiteiten op te lossen<\/a><\/span><\/strong> ), maar we zullen deze berekenen met de binominale stelling als voorbeeld.<\/p>\n<p> Allereerst moeten we de binominale formule van Newton toepassen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19bab1dcab88a71b5b3bed39bf09cc73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( a+b\\right)^n =\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)a^n b^0 + \\begin{pmatrix} n \\\\ 1 \\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \\begin{pmatrix} n \\\\ 2 \\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \\dots + \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} a^0 b^{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In dit geval n=2, dus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e75e12f24582b099635b2287594fbd00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)x^2 \\cdot 3^0 + \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix} x^1\\cdot3^1 + \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 2 \\end{pmatrix} x^{0}\\cdot3^{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kijk goed, in het begin verhogen we de eerste term (x) tot het maximaal mogelijke, wat in dit geval 2 is. Aan de andere kant verhogen we de tweede term (3) tot het minimaal mogelijke, wat altijd 0 is. naarmate we naar rechts gaan, moeten we <strong>de eerste term verhogen naar een lager getal dan voorheen<\/strong> en <strong>de tweede term naar een hoger getal dan voorheen.<\/strong><\/p>\n<p> Laten we nu de combinatorische getallen berekenen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-541c34c91eb3c95f11be4b0e19a9a882_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =1\\cdot x^2\\cdot 3^0 + 2\\cdot x^1\\cdot 3^1 + 1\\cdot x^{0}\\cdot 3^{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"334\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We lossen de machten op:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba9ed22a3248d243b7298f36be657c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =1\\cdot x^2\\cdot 1 + 2\\cdot x\\cdot 3 + 1\\cdot 1\\cdot 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"295\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En ten slotte berekenen we de vermenigvuldigingen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d43c304356e20edd6c9b63e0703a279f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( x+3\\right)^2 =x^2 + 6x + 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Voorbeeld 2<\/h3>\n<p> Nu gaan we een iets moeilijker probleem oplossen.<\/p>\n<ul>\n<li> Pas de binomiale formule van Newton toe om de macht van de volgende binomiale formule te vinden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5466a47ebcb4446937988adabd0c64f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x+1)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> De formule voor de binominale stelling is:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19bab1dcab88a71b5b3bed39bf09cc73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( a+b\\right)^n =\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)a^n b^0 + \\begin{pmatrix} n \\\\ 1 \\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \\begin{pmatrix} n \\\\ 2 \\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \\dots + \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} a^0 b^{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In dit geval n=3, dus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e55cd40782bdb46907860c3e04c49fbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)(2x)^3 \\cdot 1^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (2x)^{2}\\cdot 1^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} (2x)^{1}\\cdot 1^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} (2x)^{0}\\cdot 1^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"589\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We berekenen de combinatorische getallen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7ff5e4d9ee6990d854f22059f7db0d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =1\\cdot (2x)^3 \\cdot 1^0 + 3\\cdot (2x)^{2}\\cdot 1^1 + 3 \\cdot (2x)^{1}\\cdot 1^{2} + 1\\cdot (2x)^{0}\\cdot 1^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"524\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nu gaan we de machten oplossen, hiervoor is het belangrijk dat je de volgende twee eigenschappen onthoudt:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> \u2022 Wanneer een monomial wordt verhoogd naar een exponent, worden de co\u00ebffici\u00ebnt en de variabele verhoogd naar dezelfde exponent \u2192<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3426c618ed82b8baf60f97603a2e17f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x)^3=2^3\\cdot x^3 =8\\cdot x^3 =8x^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u2022 Elke term die op 0 wordt gebracht, levert 1 \u2192 op<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdfedc209dec05e7c24c7b35478e795b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x)^0=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We vinden daarom de krachten via deze 2 eigenschappen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97b81539ae095cd73e1054b74e5fe5c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =1\\cdot 2^3x^3 \\cdot 1 + 3\\cdot 2^2x^{2}\\cdot 1 + 3 \\cdot 2^1x^{1}\\cdot 1 + 1\\cdot 1\\cdot 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"443\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-825eca438cd77124fb64e987aef09e39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =1\\cdot 8x^3 \\cdot 1 + 3\\cdot 4x^{2}\\cdot 1 + 3 \\cdot 2x\\cdot 1 + 1\\cdot 1\\cdot 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"412\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En ten slotte vermenigvuldigen we de termen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d666ed4bb3a25b85121e7b8be0e7295e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left( 2x+1\\right)^3 =8x^3 + 12x^{2}+6x + 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"El-binomio-de-Newton-y-el-triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> De binominale driehoek van Newton en de driehoek van Tartaglia (of Pascal).<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zoals je in de bovenstaande voorbeelden hebt gezien, is het berekenen van combinatorische getallen een beetje vervelend. Daarom gaan we je een truc leren, zodat je geen combinatorische getallen hoeft op te lossen, omdat je direct kunt achterhalen hoeveel ze waard zijn met behulp van de Tartaglia-driehoek, ook wel de driehoek van Pascal genoemd.<\/p>\n<p> Voor het geval je niet weet wat het is: <strong>de Tartaglia-driehoek<\/strong> , ook wel <strong>de driehoek van Pascal<\/strong> genoemd, is een wiskundige weergave van getallen gerangschikt in een driehoekige vorm.<\/p>\n<p> Om de Tartaglia- of Pascal-driehoek te construeren, moeten we beginnen bij de top van de driehoek, die altijd een 1 is, en vervolgens worden de nummers van de onderstaande lijnen bepaald. Elk getal in de volgende regels is gelijk aan de som van de twee getallen er direct boven, behalve de uiteinden van de regels die altijd 1 zijn. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-construire-le-triangle-tartaglia-de-pascal.jpg\" alt=\"Newton paar 1 middelbare school online\" class=\"wp-image-1936\" width=\"220\" height=\"288\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Elk van deze getallen in de Tartaglia-driehoek komt dus overeen met het resultaat van een combinatorisch getal, kijk naar de volgende afbeelding: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tirangulo-de-tartaglia-pascal-nombres-combinatoires.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1969\" width=\"538\" height=\"204\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Bijvoorbeeld de binomiale co\u00ebffici\u00ebnt<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9c97b98e22e9867a562555c1a3db2d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> is gelijk aan 3, omdat er in de Tartaglia-driehoek een 3 op zijn plaats staat.<\/p>\n<p> We kunnen daarom de driehoek van Tartaglia (of Pascal) gebruiken om de binomiaal van Newton veel sneller op te lossen, omdat het ons de berekeningen van combinatorische getallen bespaart.<\/p>\n<p> Als we bijvoorbeeld de volgende potenti\u00ebring van een binomiaal willen uitvoeren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebc694e191c443617943252538d68669_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+5)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Door de binominale regel van Newton toe te passen, verkrijgen we de volgende algebra\u00efsche uitdrukking:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c519ee24ca58f3139893d7350189527f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \\right)x^3 \\cdot 5^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} x^{2}\\cdot 5^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} x^{1}\\cdot 5^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} x^{0}\\cdot 5^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"490\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Welnu, in plaats van de combinatorische getallen \u00e9\u00e9n voor \u00e9\u00e9n te berekenen, kunnen we eenvoudig elk combinatorisch getal vervangen door de overeenkomstige co\u00ebffici\u00ebnt van de Tartaglia-driehoek. In dit geval wordt de binominale waarde verhoogd naar de 3e en komt daarom overeen met het derde niveau van de driehoek: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Tartaglia of de driehoek van Pascal en de binomiaal van Newton\" class=\"wp-image-2041\" width=\"319\" height=\"218\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-137ba158b5fc348259d802391c34dfad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =\\color{red} \\bm{1} \\color{black} \\cdot x^3 \\cdot 5^0 + \\color{red} \\bm{3} \\color{black}  \\cdot x^{2}\\cdot 5^1 + \\color{red} \\bm{3} \\color{black} \\cdot x^{1}\\cdot 5^{2} +\\color{red} \\bm{1} \\color{black} \\cdot x^{0}\\cdot 5^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"582\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En nu hoeven we alleen nog maar de resterende bewerkingen uit te voeren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-baa8da36add688734cd5c35e495e6326_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =1 \\cdot x^3 \\cdot 1 + 3\\cdot  x^{2}\\cdot 5 + 3 \\cdot x\\cdot 25 +1\\cdot 1\\cdot 125\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"404\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc2cf49b9bd743a6f47bde4ca0646b39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+5\\right)^3 =x^3+ 15x^2 + 75x +125\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zoals je kunt zien, wordt de driehoek van Tartaglia (of Pascal) gebruikt om de binomiaal van Newton op een eenvoudiger en snellere manier te berekenen, zoals we hebben laten zien. Daarom raden wij aan om het te gebruiken.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Om alles wat we tot nu toe hebben gezien samen te vatten, laten we een afbeelding achter die laat zien hoe de uitdrukkingen van de binomialen van Newton met de getallen van de Tartaglia (of Pascal) driehoek eruit zien: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/binome-de-newton-et-triangle-de-pascal-ou-de-tartaglia-2.jpg\" alt=\"De binomiaal van Newton en de driehoek van Pascal of Tartaglia\" class=\"wp-image-2151\" width=\"535\" height=\"379\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Binomio-de-Newton-negativo-potencia-de-una-resta\"><\/span> Negatieve Newton binomiaal: kracht van aftrekken<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Tot nu toe zijn alle voorbeelden van de binominale waarde van Newton die we hebben opgelost toevoegingen geweest. Aan de andere kant, als een van de twee termen van de binominale term een negatief teken heeft, blijft de procedure vergelijkbaar, maar verandert er een beetje.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Wanneer een van de termen van de binominale waarde negatief is, dat wil zeggen dat het een aftrekking is van het type (ab) <sup>n<\/sup> , moeten de tekenen van de uitbreiding van de binomiale waarde van Newton elkaar afwisselen in de vorm + \u2013 + \u2013 + \u2013 + \u2013 \u2026<\/p>\n<p> Hieronder hebben we de machten van de negatieve binomials van de eerste 5 graden ontwikkeld met de binomiale stelling en met de co\u00ebffici\u00ebnten van de Tartaglia-driehoek al op hun plaats, zodat je direct de binomiale uitdrukking kunt vinden die je nodig hebt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/puissance-binomiale-newton-negative-dune-soustraction-2.jpg\" alt=\"negatieve binomiale Newton-macht van een aftrekking 2\" class=\"wp-image-2147\" width=\"525\" height=\"387\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Eigenschappen van de binomiaal van Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> De binominale uitdrukkingen van Newton hebben de volgende kenmerken:<\/p>\n<ul>\n<li> Het ontbinden van de binomiale waarde van Newton resulteert altijd in \u00e9\u00e9n term meer dan de graad van de binominale waarde. Of met andere woorden, voor het paar\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7cb070eb92ff2ce3199cbbf72ab6122_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ze worden be\u00efnvloed<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d72f4e3699652cfc70b8880515893d7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> voorwaarden.<\/li>\n<li> De krachten van het element\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Beginnen met<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> en ze nemen af totdat ze in het laatste kwartaal 0 bereikten.<\/li>\n<li> De krachten van het element\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ze gaan de andere kant op: ze beginnen bij 0 en nemen toe tot ze het bereiken<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in de laatste termijn.<\/li>\n<li> Voor elk element van de binominale waarde van Newton is de som van de exponenten van\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> En<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> is gelijk aan<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ecab3f5df4767e23a2660ceb88ceabd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li> De co\u00ebffici\u00ebnt van de eerste term van de binomiale uitdrukking van Newton is altijd 1 (positief) en de tweede co\u00ebffici\u00ebnt is equivalent aan de exponent van de binomiale (positief of negatief). <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Calcular-el-termino-k-esimo-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Bereken de k-de term van de binomiaal van Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Hoewel dit ongebruikelijk is, kunnen we soms problemen tegenkomen waarbij ons, in plaats van de binomiale expansie van Newton uit te voeren, wordt gevraagd de k-de term van de binomiale expansie van Newton te bepalen, dat wil zeggen de term die de positie k inneemt.<\/p>\n<p> Om dus de term te berekenen die de plaats k in de binomiaal van Newton inneemt, moeten we een formule gebruiken, die afhangt van het feit of de binominale waarde een optelling of een aftrekking is:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Als de binomiaal van Newton positief is, wordt de waarde van de k-de term berekend met de volgende formule:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-935aea7ee9ad482a391d2383ce37721b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^n \\quad \\color{red} \\bm{\\longrightarrow} \\color{black} \\quad T_k = \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1}b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Als de binomiaal van Newton negatief is, wordt de waarde van de k-de term bepaald met de volgende formule:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e47024f65b665936296385eae56276af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^n \\quad \\color{red} \\bm{\\longrightarrow} \\color{black} \\quad T_k = (-1)^{k-1} \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1} b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"454\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als voorbeeld vinden we de vierde term van de volgende binomiaal van graad 5:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c380d61c29b21a0e902b38e390bab73b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+3)^5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Omdat het een binomiaal is die uit een som bestaat, passen we de eerste formule toe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88faab054915aad2321276aca8b42244_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_k = \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1}b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> We vervangen de variabelen in de formule door hun overeenkomstige waarden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3b33ca71b5d419c83bb4c5c4b399a69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 4-1 \\end{pmatrix} x^{5-4+1}\\cdot 3^{4-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En wij doen de bewerkingen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9dbb0f95e11df6bb989c1a296d168d06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} x^{2}\\cdot 3^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d566482a87af0eea361c2d7fb816376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = 10 \\cdot x^{2}\\cdot 27\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9159bbe88a83e38918e8b26354c51db4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_4 = 270 x^{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> En op deze manier hebben we de vierde term van de binominale expansie van Newton berekend zonder alle andere termen te hoeven berekenen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-binomio-de-Newton\"><\/span> Opgeloste oefeningen voor de binomiaal van Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nu we hebben uitgelegd wat de binomiale stelling is, laten we je een aantal opgeloste stap-voor-stap oefeningen over de binominale stelling van Newton achter, zodat je kunt oefenen. Onthoud ook dat u vragen of suggesties voor ons kunt achterlaten in de reacties.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Oefening 1<\/h3>\n<p> Breid de volgende binominale macht uit met behulp van de binominale stelling: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a303d8317c1cf803d486406be48ca672_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+4)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We gebruiken eerst de binominale formule van Newton:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34471d980abe3399791b053ae6b92949_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x+4\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} x^3 \\cdot 4^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} x^{2}\\cdot 4^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} x^{1}\\cdot 4^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} x^{0}\\cdot 4^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"490\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Omdat de binominale waarde wordt verheven tot de macht 3, kijken we naar het derde niveau van de Tartaglia-driehoek om direct de combinatorische getallen te vinden: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Oefeningen over de binominale stelling van Newton stap voor stap opgelost op de middelbare school\" class=\"wp-image-2041\" width=\"281\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a4212d723eba76e9d883827da60cbfb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+4)^3 =  1\\cdot x^3 \\cdot 4^0+3 \\cdot x^2 \\cdot 4^1 + 3 \\cdot x^1 \\cdot 4^2+1 \\cdot x^0 \\cdot 4^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"425\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wij voeren de bevoegdheden uit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f263aaef5f957165f9d251d4d129038a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot x^3 \\cdot 1 + 3 \\cdot x^2 \\cdot 4+ 3 \\cdot x \\cdot 16 +1 \\cdot 1 \\cdot 64\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En tenslotte vermenigvuldigen we: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dce7abd76ef03c986508c67f59ed4065_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3  + 3x^2 \\cdot 4 + 3 x \\cdot 16 + 64\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0e5d024d22382b1b37a5123547bca3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{x^3  + 12x^2  + 48 x + 64}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 2<\/h3>\n<p> Bereken de volgende macht met de binominale formule van Newton: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a2d15ee45a0d9497294d2d4c96b59c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3x+2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Eerst passen we de binominale formule van Newton toe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11acde04483aaa747da0acd16b4912f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\left(3x+2\\right)^3 =\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} (3x)^3 \\cdot 2^0 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (3x)^{2}\\cdot 2^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} (3x)^{1}\\cdot 2^{2} + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} (3x)^{0}\\cdot 2^{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"589\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Omdat de binominale kubus is gekubeerd, kijken we naar het derde niveau van de driehoek van Pascal om direct de waarden van de combinatorische getallen te kennen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Oefeningen over de binominale stelling van Newton stap voor stap opgelost op de middelbare school\" class=\"wp-image-2041\" width=\"281\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9086d7be80cd0ba60f0733f2c3a6d042_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(3x+2\\right)^3 =  1\\cdot  (3x)^3 \\cdot 2^0+3 \\cdot (3x)^2 \\cdot 2^1+ 3 \\cdot (3x)^1 \\cdot 2^2+1 \\cdot (3x)^0 \\cdot 2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"524\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We berekenen de krachten van de monomialen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2db17751cff5427aa6a3f5da817ba4d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot  27x^3 \\cdot 1+ 3 \\cdot 9x^2 \\cdot 2+3 \\cdot 3x \\cdot 4 + 1 \\cdot 1 \\cdot 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En ten slotte doen we de vermenigvuldigingen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92736e691facfdd97f2107b4451b5d07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"27x^3  + 27x^2 \\cdot 2 +9x \\cdot 4+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-498bf09ef09e1b2585a5a01193eb94d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{27x^3  + 54x^2  +36x+8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 3<\/h3>\n<p> Vouw de volgende polynoomuitdrukking uit met behulp van de binominale formule van Newton: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad4da49317f5a667d4f0402b064911cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Eerst gebruiken we de binominale formule van Newton. Maar aangezien we een aftrekking tussen de haakjes hebben, moeten we de tekens van de co\u00ebffici\u00ebnten van elke term afwisselen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6515c9dadfa92cfcc27393786b322d8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-2)^3=\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} (2x)^3 \\cdot 2^0-\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (2x)^2 \\cdot 2^1 + \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 2 \\end{pmatrix} (2x)^1 \\cdot 2^2-\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 3 \\end{pmatrix} (2x)^0 \\cdot 2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"589\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Omdat de binominale waarde wordt verheven tot de macht drie, kijken we naar het derde niveau van de Tartaglia-driehoek om de combinatorische getallen rechtstreeks te berekenen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-et-binome-de-newton-ou-pascal.png\" alt=\"Oefeningen over de binominale stelling van Newton stap voor stap opgelost op de middelbare school\" class=\"wp-image-2041\" width=\"281\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d6210b9c330fe976b32741ba8d94682_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-2)^3=1\\cdot  (2x)^3 \\cdot 2^0-3 \\cdot (2x)^2 \\cdot 2^1 + 3 \\cdot (2x)^1 \\cdot 2^2-1 \\cdot (2x)^0 \\cdot 2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"524\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wij voeren de bevoegdheden uit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25d9bc802e8f03513de309b82066a983_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot  8x^3 \\cdot 1- 3 \\cdot 4 x^2 \\cdot 2+ 3 \\cdot 2x \\cdot 4-1 \\cdot 1 \\cdot 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En we lossen de vermenigvuldigingen op: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534981aec0ef30054d35f3dd9d9779d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"8x^3  - 12 x^2 \\cdot 2 +6x \\cdot 4 -8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be12e609798d32d7b7c84bae80e04236_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{8x^3  -24 x^2  +24x -8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 4<\/h3>\n<p> Zoek de uitgebreide uitdrukking van de volgende binomiaal van Newton met de formule: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fc4cfe6afa91b302683d9891d785376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(4x-3y)^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We moeten de algemene formule voor de binominale formule van Newton toepassen, maar omdat we in dit geval een aftrekking tussen haakjes hebben, moeten we de tekens van elke term afwisselen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a8620bd23846e1f98f7646cbd51dbc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}(4x-3y)^4 = &amp; \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 0 \\end{pmatrix} (4x)^4 \\cdot (3y)^0-\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 1 \\end{pmatrix} (4x)^3 \\cdot (3y)^1+\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix} \\cdot (4x)^2 \\cdot (3y)^2 - \\\\[2ex] &amp; - \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 3 \\end{pmatrix}(4x)^1 \\cdot (3y)^3+\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 4 \\end{pmatrix}  (4x)^0 \\cdot (3y)^4 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"109\" width=\"560\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Omdat de binominale waarde naar de vierde wordt verhoogd, kijken we naar niveau 4 van de Tartaglia-driehoek om direct de combinatorische getallen te vinden: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tirangulo-de-tartaglia-o-pascal-niveau-4.png\" alt=\"De binomiale piramide van Newton\" class=\"wp-image-2100\" width=\"296\" height=\"232\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-128e8baa45ddd7d74703c9dfd4a19b06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}(4x-3y)^4= &amp; \\ 1\\cdot  (4x)^4 \\cdot (3y)^0-4\\cdot  (4x)^3 \\cdot (3y)^1+6 \\cdot (4x)^2 \\cdot (3y)^2 - \\\\[2ex] &amp; - 4 \\cdot (4x)^1 \\cdot (3y)^3+1 \\cdot (4x)^0 \\cdot (3y)^4 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"504\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wij realiseren alle bevoegdheden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f41577a79066a849e23154b5f55ac638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot  256x^4 \\cdot 1-4\\cdot  64x^3 \\cdot 3y+6 \\cdot 16x^2 \\cdot 9y^2 - 4 \\cdot 4x \\cdot 27y^3+1 \\cdot 1 \\cdot 81y^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"523\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> En ten slotte lossen we de vermenigvuldigingen op: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7790f8c6efcfc885ef79fcecdf89f2af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"256x^4-256x^3 \\cdot 3y+96x^2 \\cdot 9y^2 - 16x \\cdot 27y^3+81y^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"390\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c9e770e98c445da768bb1371975d48e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{256x^4-768x^3y+864x^2y^2-432xy^3+81y^4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"334\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Oefening 5<\/h3>\n<p> Bepaal de zevende term in de uitbreiding van de volgende binomiale uitdrukking: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c76089bd0d5d4f499a0101d91669d461_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(2x-5y)^{10}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zie de oplossing<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Omdat het een negatieve binomiaal is, moeten we de volgende formule gebruiken:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f27311f76b6e99443d595efdc42e2286_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_k = (-1)^{k-1} \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} a^{n-k+1} b^{k-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> We willen de term 7 bepalen en de binominale waarde wordt verheven tot de macht 10, dus door de waarden in de formule te vervangen wordt deze:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65c821f4542af0fe95536ee191c7d430_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T_7= (-1)^{7-1} \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 7-1 \\end{pmatrix} (2x)^{10-7+1} \\cdot (5y)^{7-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"326\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Het is daarom voldoende om te werken om de term te kennen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ded0622cbba2bff0563c2f9982c05142_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} T_7 &amp; = (-1)^{6} \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 6 \\end{pmatrix} (2x)^{4} \\cdot (5y)^{6} \\\\[2ex] &amp; = 1 \\cdot 210\\cdot  16x^4 \\cdot 15625y^6 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{52500000x^4y^6} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"228\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Historia-del-Binomio-de-Newton\"><\/span> Geschiedenis van de binomiaal van Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Hoewel de oorsprong van de binominale stelling wordt toegeschreven aan de beroemde Engelse wetenschapper Isaac Newton (1642-1727), werd de eerste formulering van de stelling in werkelijkheid rond het jaar 1000 voor het eerst ontdekt door de Perzische ingenieur Al-Karij\u00ed. En er werd zelfs ontdekt dat in de 13e eeuw kenden de Chinese wiskundigen Yang Hui en Chuh Shih-Chieh al binomiale uitbreidingen van kleine graden.<\/p>\n<p> Later, in de 17e eeuw, bouwde Newton voort op de fundamenten die door eerdere wiskundigen waren gelegd om de binominale stelling uit te breiden. Met behulp van de interpolatie- en extrapolatiemethoden van wiskundige John Walls en de concepten van gegeneraliseerde exponenten kon hij een polynoomuitdrukking omzetten in een oneindige reeks.<\/p>\n<p> Rond 1665 slaagde Newton erin aan te tonen dat de exponent n van de binomiale stelling ook een rationele exponent zou kunnen zijn, dat wil zeggen dat de macht van een binomiale ook kan worden opgelost als de exponent een breuk is. Aan de andere kant werd het ook bewezen in het geval van een negatieve exponent. En verrassend genoeg ontdekte hij dat de ontwikkelingen van de twee uitdrukkingen een oneindige reeks termen zijn.<\/p>\n<p> Met deze ontdekking begon Newton de relatie tussen oneindige reeksen en eindige polynoomuitdrukkingen in twijfel te trekken, en concludeerde hij dat wiskundig gezien bewerkingen kunnen worden uitgevoerd met oneindige reeksen op dezelfde manier als eindige polynoomuitdrukkingen. Hoewel Newton deze stelling nooit heeft gepubliceerd, deed John Walls dat uiteindelijk in 1685, waarbij hij Newton de eer gaf voor deze ontdekking.<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Op deze pagina vindt u de uitleg van wat de binomiale (of binominale stelling) van Newton is en wat de formule ervan is. Je kunt ook zien hoe dit vereenvoudigd kan worden met de Tartaglia (of Pascal) driehoek. Daarnaast vind je stap-voor-stap opgeloste oefeningen voor de binomiaal van Newton en al zijn eigenschappen. Ten slotte &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Newton&#39;s binominale (binominale stelling)<\/span> Lees meer &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[34],"tags":[],"class_list":["post-108","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-binomials"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Binominale (of binominale stelling) van Newton<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Uitleg van alles over de binominale (of binominale stelling) van Newton: wat het is, de formule ervan, hoe je het kunt vereenvoudigen met de Tartaglia (of Pascal) driehoek, opgeloste oefeningen, eigenschappen, geschiedenis,.. .\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Binominale (of binominale stelling) van Newton\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Uitleg van alles over de binominale (of binominale stelling) van Newton: wat het is, de formule ervan, hoe je het kunt vereenvoudigen met de Tartaglia (of Pascal) driehoek, opgeloste oefeningen, eigenschappen, geschiedenis,.. .\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-09-17T07:20:31+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8087bb711e716aca4a2c535eaeb8b0bf_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschreven door\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Redactioneel Team\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"11 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/\",\"name\":\"\u25b7 Binominale (of binominale stelling) van Newton\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-09-17T07:20:31+00:00\",\"dateModified\":\"2023-09-17T07:20:31+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\"},\"description\":\"Uitleg van alles over de binominale (of binominale stelling) van Newton: wat het is, de formule ervan, hoe je het kunt vereenvoudigen met de Tartaglia (of Pascal) driehoek, opgeloste oefeningen, eigenschappen, geschiedenis,.. .\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Newton&#39;s binominale (binominale stelling)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/\",\"name\":\"\",\"description\":\"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64\",\"name\":\"Redactioneel Team\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Redactioneel Team\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/nl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Binominale (of binominale stelling) van Newton","description":"Uitleg van alles over de binominale (of binominale stelling) van Newton: wat het is, de formule ervan, hoe je het kunt vereenvoudigen met de Tartaglia (of Pascal) driehoek, opgeloste oefeningen, eigenschappen, geschiedenis,.. .","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Binominale (of binominale stelling) van Newton","og_description":"Uitleg van alles over de binominale (of binominale stelling) van Newton: wat het is, de formule ervan, hoe je het kunt vereenvoudigen met de Tartaglia (of Pascal) driehoek, opgeloste oefeningen, eigenschappen, geschiedenis,.. .","og_url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/","article_published_time":"2023-09-17T07:20:31+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8087bb711e716aca4a2c535eaeb8b0bf_l3.png"}],"author":"Redactioneel Team","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschreven door":"Redactioneel Team","Geschatte leestijd":"11 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/","name":"\u25b7 Binominale (of binominale stelling) van Newton","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website"},"datePublished":"2023-09-17T07:20:31+00:00","dateModified":"2023-09-17T07:20:31+00:00","author":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64"},"description":"Uitleg van alles over de binominale (of binominale stelling) van Newton: wat het is, de formule ervan, hoe je het kunt vereenvoudigen met de Tartaglia (of Pascal) driehoek, opgeloste oefeningen, eigenschappen, geschiedenis,.. .","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/binominale-of-de-binomiale-stellingformule-van-newton-en-opgeloste-oefeningen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Newton&#39;s binominale (binominale stelling)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/nl\/","name":"","description":"Waar nieuwsgierigheid en berekening elkaar ontmoeten!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"nl-NL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/19b550cef1a9fbd238be112b7b7bbf64","name":"Redactioneel Team","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/mathority.org\/nl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Redactioneel Team"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/nl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/108","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=108"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/108\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=108"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=108"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=108"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}