Vliegtuigvergelijkingen in de ruimte

Op deze pagina vindt u de formules voor alle vergelijkingen in het plan en hoe deze worden berekend. Je zult ook ontdekken hoe je de vergelijking van elk vlak met zijn normaalvector kunt vinden. Daarnaast kun je voorbeelden zien en oefenen met opgeloste oefeningen van de vergelijkingen van het plan.

Wat is de vergelijking van het vlak?

In de analytische meetkunde is de vergelijking van een vlak een vergelijking waarmee elk vlak wiskundig kan worden uitgedrukt. Om de vergelijking van een vlak te vinden heb je dus alleen een punt en twee lineair onafhankelijke vectoren nodig die bij dat vlak horen.

Voordat u verder gaat met de uitleg van vlakvergelijkingen, is het essentieel dat u begrijpt wat vlak (geometrie) is, omdat er anders dingen zullen zijn die u niet begrijpt. Als het je niet helemaal duidelijk is, kun je het bekijken via deze link, waar we alles hebben verzameld wat je moet weten over het plan.

Wat zijn de vergelijkingen van het plan?

Zoals we zagen bij de definitie van de vergelijking van een vlak, kan elk punt op een plat vlak worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van 1 punt en 2 vectoren.

Een noodzakelijke voorwaarde voor het overeenkomen van de vergelijking met een vlak is echter dat de twee vectoren van het vlak lineaire onafhankelijkheid hebben, dat wil zeggen dat de twee vectoren niet evenwijdig aan elkaar kunnen zijn.

Alle soorten vergelijkingen van het vlak zijn dus: de vectorvergelijking , de parametrische vergelijkingen , de impliciete (of algemene) vergelijking en de canonieke (of segmentale) vergelijking van het vlak.

Dan zullen we in detail de uitleg en formule van alle vergelijkingen van het plan zien.

Vectorvergelijking van het vlak

Beschouw een punt en twee richtingsvectoren van een vlak:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

De formule voor de vectorvergelijking van een vlak is:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}} \end{empheq}$

Of gelijkwaardig:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Goud

$\lambda$

$\mu$

zijn twee scalairen, dat wil zeggen twee reële getallen.

Parametrische vergelijkingen van het vlak

De parametervergelijking van een vlak kan worden bepaald op basis van de vectorvergelijking. Hieronder zie je de demo.

Laat de vectorvergelijking van elk vlak zijn:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

We bedienen en voeren eerst de producten van vectoren uit via de scalairen:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)$

Vervolgens voegen we de componenten toe:

$(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)$

En ten slotte verkrijgen we de parametervergelijkingen van het plan door de coördinaten te assimileren die overeenkomen met elke variabele afzonderlijk:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases} \end{empheq}$

Goud:

$\lambda$

En

$\mu$

zijn twee scalairen, dat wil zeggen twee reële getallen.
$\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z$

zijn de componenten van een van de twee leidende vectoren van het plan

$\vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z).$
$\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z$

zijn de componenten van de andere sturende vector van het plan

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z).$

Impliciete of algemene vergelijking van het vlak

Beschouw een punt en twee richtingsvectoren van een vlak:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

De impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van een vlak wordt verkregen door de volgende determinant op te lossen en het resultaat gelijk te stellen aan 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

De impliciete of algemene vergelijking van het resulterende plan zal dus als volgt zijn:

Dit type vlakvergelijking wordt ook wel cartesische vlakvergelijking genoemd.

Canonieke of segmentale vergelijking van het vlak

De formule voor de canonieke of segmentale vergelijking van een vlak is als volgt:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1 \end{empheq}$

Goud:

$a$

is het snijpunt tussen het vlak en de X-as.
$b$

is het snijpunt tussen het vlak en de Y-as.
$c$

Dit is waar het vlak de Z-as snijdt.

De canonieke vergelijking (of segmentvergelijking) van het vlak kan ook worden verkregen uit de algemene vergelijking:

$Ax+By+Cz+D=0$

Eerst lossen we de coëfficiënt D op uit de vergelijking:

$Ax+By+Cz=-D$

Vervolgens delen we de gehele vergelijking van het plan door de waarde van de parameter D veranderd van teken:

$\cfrac{Ax+By+Cz}{-D}=\cfrac{-D}{-D}$

$\cfrac{Ax}{-D}+\cfrac{By}{-D}+\cfrac{Cz}{-D}=1$

En door de eigenschappen van breuken te gebruiken, komen we tot de volgende uitdrukking:

$\cfrac{x}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{z}{-\frac{D}{A}}=1$

We leiden daarom uit deze uitdrukking de formules af waarmee de termen van de canonieke of segmentale vergelijking van een vlak rechtstreeks kunnen worden berekend:

$a=-\cfrac{D}{A} \qquad b=-\cfrac{D}{B} \qquad c=-\cfrac{D}{C}$

Om deze variant van de vergelijkingen van het plan te kunnen vormen, moeten de coëfficiënten A, B en C dus verschillend zijn van nul, waardoor onbepaalde breuken worden vermeden.

Hoe de vergelijking van een vlak te berekenen op basis van zijn normaalvector

Een heel typisch probleem bij vergelijkingen van een vlak is het vinden van hoe de vergelijking van een bepaald vlak eruit ziet, gegeven een punt en zijn normale (of loodrechte) vector. Laten we dus eens kijken hoe het werkt.

Maar je moet eerst weten dat de componenten X, Y, Z van de vector loodrecht op een vlak respectievelijk samenvallen met de coëfficiënten A, B, C van de impliciete (of algemene) vergelijking van dat vlak.

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

Goud

$\vv{n}$

is de vector loodrecht op het vlak

$\pi.$

Zodra we de vorige relatie kennen, laten we een voorbeeld bekijken van het oplossen van dit soort vlakvergelijkingsproblemen:

Bepaal de impliciete of algemene vergelijking van het vlak dat door het punt gaat
$P(1,0,-2)$

en een van zijn normaalvectoren is

$\vv{n}=(3,-1,2) .$

De formule voor de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van een vlak is:

$Ax+By+Cz+D=0$

Uit de normaalvector kunnen we dus de coëfficiënten A, B en C vinden, omdat ze equivalent zijn aan de componenten van zijn normaalvector:

$\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0$

Hoewel we alleen de parameter D hoeven te vinden. Om dit te doen, vervangen we de coördinaten van het punt dat bij het vlak hoort in de vergelijking:

$P(1,0,-2)$

$3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0$

$3-4+D=0$

$-1+D=0$

$D=1$

De impliciete of algemene vergelijking van het plan is dus:

$\bm{3x-y+2z+1 = 0}$

Opgeloste problemen met vlakvergelijkingen

Oefening 1

Bepaal de vectorvergelijking van het vlak dat de vector bevat

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

en doorloopt de volgende twee punten:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

zie oplossing

Om de vergelijking van een vlak te kennen, heb je een punt en twee vectoren nodig en in dit geval hebben we maar één vector, we moeten daarom een andere richtende vector van het vlak vinden. Om dit te doen, kunnen we de vector berekenen die de twee punten van het vlak definieert:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Nu we al twee richtingsvectoren van het vlak en een punt kennen, gebruiken we daarom de formule voor de vectorvergelijking van het vlak:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

En we vervangen de twee vectoren en een van de twee punten op het vlak in de vergelijking:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Oefening 2

Zoek de parametervergelijkingen van het vlak dat de volgende drie punten bevat:

$A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)$

zie oplossing

Om de parametervergelijkingen van het vlak te vinden, moeten we twee lineair onafhankelijke vectoren vinden die in het vlak met elkaar verbonden zijn. En hiervoor kunnen we twee vectoren berekenen die worden gedefinieerd door de 3 punten:

$\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)$

$\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)$

De coördinaten van de twee gevonden vectoren zijn niet proportioneel, dus lineair onafhankelijk van elkaar.

Nu we al twee richtingsvectoren en een punt op het vlak kennen, passen we de formule toe voor de parametervergelijking van het vlak:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

En we vervangen de twee vectoren en een van de drie punten van het vlak in de vergelijking:

$\displaystyle \begin{cases}x=4 + \lambda \cdot (-2)+ \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] y=1 + \lambda \cdot (-4) + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] z=0 + \lambda\cdot (-1) + \mu \cdot 3 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=4 -2 \lambda-3\mu } \\[1.7ex] \bm{y=1-4 \lambda+4 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-\lambda + 3\mu } \end{cases}$

Oefening 3

Zoek de impliciete of algemene vergelijking van het vlak dat door het punt gaat

$P(-2,1,3)$

en bevat de vectoren

$\vv{\text{u}}=(4,1,3)$

$\vv{\text{v}}=(5,3,-1).$

zie oplossing

Om de algemene of impliciete vergelijking van het vlak te berekenen, is het noodzakelijk om de volgende determinant op te lossen, gevormd door de twee vectoren, de drie variabelen en de coördinaten van het punt:

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

Dus vervangen we de vectoren en het punt in de formule:

$\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0$

En nu lossen we de determinant van de 3×3 matrix op met de methode van jouw keuze:

$12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0$

Ten slotte voeren we de bewerkingen uit en groeperen we vergelijkbare termen:

$-8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0$

$-8x-16+11y-11+7z+7=0$

$-8x+11y+7z-20= 0$

De impliciete of algemene vergelijking van het plan is dus:

$\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}$

Oefening 4

Bepaal of het punt is

$P(-1,5,-3)$

behoort tot het volgende plan:

$\pi : \ 2x+y+6z-5=0$

zie oplossing

Om het punt in het vlak te laten liggen, moet de vergelijking ervan worden geverifieerd. Daarom moeten we de cartesiaanse coördinaten van het punt in de vergelijking van het vlak vervangen en controleren of aan de vergelijking is voldaan:

$2x+y+6z-5=0$

$P(-1,5,-3)$

$2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0$

$-2+5-18-5=0$

$-20\neq 0$

Het punt respecteert de vergelijking van het vlak niet en maakt dus geen deel uit van dit vlak.

Oefening 5

Zoek de segmentvergelijking van het vlak waarvan de algemene (of impliciete) vergelijking is:

$3x-2y-6z+6=0$

zie oplossing

Eerst verwijderen we de onafhankelijke term uit de vergelijking:

$3x-2y-6z=-6$

Vervolgens delen we de gehele vergelijking van het plan door de waarde van de coëfficiënt D veranderd teken:

$\cfrac{3x-2y-6z}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

$\cfrac{3x}{-6}+\cfrac{-2y}{-6}+\cfrac{-6z}{-6}=1$

En door de eigenschappen van breuken te gebruiken, komen we tot de volgende uitdrukking:

$\cfrac{x}{\frac{-6}{3}}+\cfrac{y}{\frac{-6}{-2}}+\cfrac{z}{\frac{-6}{-6}}=1$

Dus de segmentale (of canonieke) vergelijking van het vlak is:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}+\cfrac{\bm{z}}{\bm{1}}=1$

Oefening 6

Berekent de impliciete of algemene vergelijking van het vlak in de ruimte dat door het punt gaat

$P(3,4,-3)$

en een van zijn normaalvectoren is

$\vv{n}=(5,-2,-3) .$

zie oplossing

De formule voor de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van een vlak is:

$Ax+By+Cz+D=0$

Welnu, uit de normaalvector kunnen we de coëfficiënten A, B en C vinden, omdat ze respectievelijk gelijk zijn aan de componenten van de normaalvector:

$\vv{n}=(5,-2,-3) \ \longrightarrow \ 5x-2y-3z+D=0$

We hoeven dus alleen de parameter D te vinden. Om dit te doen, vervangen we de coördinaten van het punt dat bij het vlak hoort in de vergelijking:

$P(3,4,-3)$

$5\cdot 3-2\cdot 4-3\cdot (-3)+D=0$

$15-8+9+D=0$

$16+D=0$

$D=-16$

Concluderend is de impliciete of algemene vergelijking van het plan:

$\bm{5x-2y-3z-16 = 0}$

Oefening 7

Zoek de parametervergelijkingen van het vlak dat de lijn bevat

$r$

en is evenwijdig aan de rechterkant

$s.$

zijnde de lijnen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}$

zie oplossing

Om de parametervergelijkingen van het vlak te vinden, moeten we twee richtingsvectoren en een punt op het vlak kennen. De declaratie vertelt ons dat deze de regel bevat

$r$

Daarom kunnen we de richtingsvector en een punt op deze lijn nemen om het vlak te definiëren. Bovendien vertelt de verklaring ons dat het vlak evenwijdig is aan de lijn

$s,$

dus we kunnen de richtingsvector van deze lijn ook gebruiken voor de vlakvergelijking.

het recht

$r$

wordt uitgedrukt in de vorm van parametervergelijkingen, dus de componenten van de richtingsvector zijn de coëfficiënten van de parametertermen

$t:$

$\vv{r} =(1,-3,2)$

En de cartesiaanse coördinaten van een punt op dezelfde lijn zijn de onafhankelijke termen van de parametervergelijkingen:

$P(1,2,4)$

Aan de andere kant, de rechte lijn

$s$

heeft de vorm van een continue vergelijking, zodat de componenten van zijn richtingsvector de noemers zijn van de breuken:

$\vv{s} =(2,2,-3)$

Daarom zijn de parametervergelijkingen van het plan:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 1+ \mu \cdot 2 \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot (-3) + \mu \cdot 2 \\[1.7ex] z=4 + \lambda\cdot 2 + \mu \cdot (-3) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + \lambda+2\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2-3 \lambda+2 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=4+2\lambda -3\mu } \end{cases}$

Vlakvergelijkingen in de ruimte

Wat is de vergelijking van het vlak?

Wat zijn de vergelijkingen van het plan?

Vectorvergelijking van het vlak

Parametrische vergelijkingen van het vlak

Impliciete of algemene vergelijking van het vlak

Canonieke of segmentale vergelijking van het vlak

Hoe de vergelijking van een vlak te berekenen op basis van zijn normaalvector

Opgeloste problemen met vlakvergelijkingen

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Oefening 5

Oefening 6

Oefening 7

Laat een reactie achter Reactie annuleren