Trinomiaal kwadraat

Op deze pagina leggen we uit hoe je het kwadraat van een trinominaal (formule) oplost. Daarnaast kun je verschillende voorbeelden zien en oefenen met oefeningen die stap voor stap worden opgelost met vierkante trinomialen.

Formule voor een kwadratische trinominaal

Om de trinominaal-kwadraatformule te begrijpen, moet je logischerwijs eerst weten wat een trinominaal is. Ik laat u deze link achter voor het geval u deze wilt bekijken voordat u doorgaat met de uitleg.

Een trinomiaal kwadraat is gelijk aan het kwadraat van de eerste term, plus het kwadraat van de tweede term, plus het kwadraat van de derde term, plus tweemaal de eerste term maal de tweede, plus tweemaal de eerste term maal de derde, plus tweemaal de tweede voor de derde.

kwadraat van een trinominaal of trinominaal kwadraat

Het kwadraat van een trinominaal is zo belangrijk omdat het een opmerkelijk product (of opmerkelijke identiteit) is, dat wil zeggen dat er een wiskundige formule bestaat waarmee u deze bewerking snel kunt berekenen. Klik op de volgende link om te zien wat alle opmerkelijke productformules zijn.

Voorbeelden van vierkante trinomialen

Als we eenmaal hebben gezien wat de formule voor een kwadraattrinominaal is, zullen we verschillende voorbeelden zien van het berekenen van het kwadraat van een trinominaal:

voorbeeld 1

Bereken de volgende macht van een kwadratische trinominaal:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

De formule voor het kwadraat van een trinominaal is:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Daarom moeten we eerst de parameterwaarden identificeren

$a,b$

$c$

van de formule. Bij deze oefening

$a$

Oosten

$x^2,$

de coëfficiënt

$b$

overeenkomen met de

$x,$

$c$

is de onafhankelijke term 3:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

En als we de waarden al kennen, vervangt u deze waarden eenvoudigweg in de formule en voert u de berekeningen uit:

Aan de andere kant moet worden opgemerkt dat een vierkante trinominaal niet hetzelfde is als een perfect vierkante trinominaal . Dit is een veelgemaakte fout, omdat veel mensen verward raken met deze twee concepten. Je kunt de verschillen tussen deze twee soorten trinomialen zien via de link in deze paragraaf.

Voorbeeld 2

Zoek het volgende kwadraat van een trinominaal:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

Om deze polynoommacht te bepalen, moeten we de formule toepassen voor een trinominaal verhoogd tot twee:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Bij dit probleem

$a$

Dit is gelijkwaardig aan

$x^2,$

$b$

komt overeen met de negatieve monomial

$-2x,$

$c$

is nummer 4:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

Dus vervangen we de gevonden waarden in de formule en lossen de resulterende bewerkingen op:

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

Bedenk dat de macht met een even exponent van een negatieve grondtal een positieve term oplevert, dus

$(-2x)^2$

is gelijk aan

$4x^2.$

Nu je hebt gezien hoe het kwadraat van een trinominaal wordt berekend, ben je waarschijnlijk ook geïnteresseerd in hoe je het product van de som kunt oplossen door het verschil van twee termen. Sterker nog, hij staat in de top 3 van opmerkelijke (belangrijkste) identiteiten. Op de gelinkte pagina kunt u zien wat de formule is en hoe deze wordt toegepast.

Demonstratie van de formule voor het kwadraat van een trinominaal

Om het begrip van de macht van een trinomiaal kwadraat te voltooien, zullen we de formule afleiden die we zojuist hebben bestudeerd.

Van elke trinominaal verhoogd naar 2:

$(a+b+c)^2$

De bovenstaande algebraïsche uitdrukking komt overeen met het vermenigvuldigen van de trinominaal tussen haakjes met zichzelf:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Laten we nu de twee trinomialen vermenigvuldigen:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

Ten slotte groeperen we vergelijkbare termen:

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

En op deze manier zijn we al aangekomen bij de uitdrukking van de formule, dus de formule voor het kwadraat van een trinominaal wordt gedemonstreerd:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Op onze website hebben we meer demonstraties van opmerkelijke identiteiten. U kunt bijvoorbeeld de demonstratie zien van de formule voor een kwadratische som en een kwadratisch verschil . Bovendien zie je in deze links niet alleen hun bewijzen, maar ook de geometrische interpretatie van hun formules, dat wil zeggen wat dit soort opmerkelijke identiteiten geometrisch betekenen.

Problemen met kwadratische trinomialen opgelost

Los de volgende vierkante trinomialen op:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

zie oplossing

Om alle oefeningen op te lossen, moeten we de formule voor het kwadraat van een trinominaal gebruiken, namelijk:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

Formule voor een kwadratische trinominaal

Voorbeelden van vierkante trinomialen

voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Demonstratie van de formule voor het kwadraat van een trinominaal

Problemen met kwadratische trinomialen opgelost

Laat een reactie achter Reactie annuleren