Soorten discontinuïteiten

september 17, 2023

Hier leest u welke soorten discontinuïteiten er bestaan. Daarnaast krijg je voorbeelden te zien van alle soorten discontinuïteiten en kun je oefenen met opgeloste oefeningen over soorten discontinuïteiten van functies.

Wat zijn alle soorten discontinuïteiten?

Er zijn drie soorten discontinuïteiten, namelijk:

Vermijdbare discontinuïteit : de laterale grenzen van een functie op een punt vallen niet samen met de waarde van de functie.
Onvermijdelijke eindige sprongdiscontinuïteit : de laterale grenzen van een functie op een punt zijn verschillend.
Onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit : een van de laterale grenzen van de functie geeft oneindigheid of bestaat niet.

Om het begrip van de concepten af te ronden, zullen we elk type discontinuïteit gedetailleerder uitleggen en zullen we voorbeelden zien van functies met de drie soorten discontinuïteiten.

Vermijdbare discontinuïteit

Vermijdbare discontinuïteit is een soort discontinuïteit die op een bepaald punt een functie heeft als de grens op dat punt bestaat, maar niet samenvalt met de waarde van de functie of als het beeld van de functie niet bestaat.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

vermijdbare discontinuïteit van een functie

De laterale grenzen van deze functie zijn gelijk aan elkaar, maar verschillen van de waarde van de functie op dat punt. De functie vertoont daarom een vermijdbare discontinuïteit.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

vermijdbare discontinuïteit van een functie zonder beeld

De functie in het vorige voorbeeld heeft een vermijdbare discontinuïteit omdat de laterale grenzen bij x=a dezelfde waarde hebben, maar het beeld van de functie op dit punt bestaat niet.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ Zie: laterale grenzen van een functie

Onvermijdelijke discontinuïteit van de eindige sprong

De onvermijdelijke eindige sprongdiscontinuïteit is een soort discontinuïteit die een functie presenteert op een punt waarop de laterale grenzen van de functie op dat punt niet gelijk zijn.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

De laterale grenzen van de volgende stuksgewijs gedefinieerde functie op het definitieveranderingspunt zijn bijvoorbeeld verschillend, daarom heeft de functie op dat punt een onvermijdelijke eindige sprongdiscontinuïteit.

onvermijdelijke discontinuïteit van de eindige sprong

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Dit type discontinuïteit komt over het algemeen voor in functies die stuksgewijs (of stuksgewijs) zijn gedefinieerd.

➤ Zie: continuïteit van een stuksgewijze functie

Oneindige sprong Onvermijdelijke discontinuïteit

De onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit is een soort discontinuïteit die soms een functie heeft als een van de laterale limieten op dat punt oneindig is of niet bestaat.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

De linkerlimiet van de volgende functie geeft een reëel getal, maar de rechterlimiet geeft oneindigheid. De functie presenteert daarom een onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Hieronder ziet u een grafiekfunctie waarvan de twee zijgrenzen oneindigheid opleveren en daarom heeft de functie een onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Dit type discontinuïteit komt meestal voor in rationele (of fractionele) functies .

Opgeloste oefeningen over soorten discontinuïteiten

Oefening 1

Bepaal het type discontinuïteit van de volgende stuksgewijze functie op het punt x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Zie de oplossing

Het domein van het eerste element van de functie,

$-2x+1$

, zoals dat van het tweede stuk,

$4x-5$

, zijn allemaal reële getallen omdat het polynomiale functies zijn.

Het enige punt waarop de functie discontinu zou kunnen zijn, is dus het stoppunt van de stuksgewijze functie. We zullen daarom in dit stadium de laterale grenzen berekenen:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

De twee laterale grenzen bij x=3 geven verschillende resultaten. Daarom is het punt x=3 een onvermijdelijke eindige sprongdiscontinuïteit.

Oefening 2

Zoek welk type discontinuïteit de volgende rationale functie vertoont op punten die niet tot zijn domein behoren:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Zie de oplossing

Om deze oefening op te lossen, moet je logischerwijs eerst het domein van de functie vinden. Omdat dit een rationale functie is, stellen we de noemer gelijk aan 0 en lossen we de resulterende vergelijking op:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

De functie zal daarom op alle punten continu zijn, behalve op x=-2, dus laten we eens kijken welk type discontinuïteit het punt x=-2 is. Om dit te doen, berekenen we de limiet van de functie op het punt:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Maar we verkrijgen een onbepaaldheid van nul tussen nul, dus we ontbinden de polynomen van de teller en de noemer en vereenvoudigen:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Nu lossen we de limiet op:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Bijgevolg bestaat de limiet van de functie op het punt x=-2 en geeft -4. Laten we nu eens kijken of het bestaat

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

Bij het berekenen van het beeld van een functie kan de onbepaaldheid 0/0 niet worden vereenvoudigd en heeft deze geen oplossing. DUS

$f(-2)$

bestaat niet.

Concluderend bestaat de limiet van de functie bij x=-2, maar

$f(-2)$

Nee. Daarom is x=-2 een vermijdbare discontinuïteit.

Oefening 3

Analyseer de continuïteit van de volgende rationale functie:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Zie de oplossing

Om te zien of het een continue functie is, moeten we eerst het domein ervan berekenen. We stellen daarom de noemer van de rationale functie gelijk aan nul om te zien welke punten niet tot het domein behoren:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

De functie zal daarom op alle punten continu zijn, behalve x=5. Laten we dus eens kijken welk type discontinuïteit x=5 is door de limiet op dit punt te berekenen:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

We bevinden ons met de onbepaaldheid van een getal gedeeld door 0. We berekenen daarom de laterale grenzen van de functie op x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

De linkerlimiet van de functie bij x=5 geeft minus oneindig en de rechterlimiet plus oneindig. Daarom heeft de functie een onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit bij x = 5, aangezien ten minste één laterale limiet op dit punt naar oneindig neigt.

Oefening 4

Bepaal alle discontinuïteiten van de stuksgewijze functie weergegeven in de volgende grafiek:

oefening loste de discontinuïteiten van functies op

Zie de oplossing

Om de functie te tekenen moet u het potlood omhoog brengen bij x=-2, bij x=1 en bij x=4. De functie is dus discontinu op deze drie punten.

Bij x=-2 is de linkergrens +∞ en de rechtergrens 3. Aangezien een van de zijgrenzen oneindig is, heeft de functie dus een onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit bij x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

De limiet van de functie bij x=1 is 0 en aan de andere kant is de waarde van de functie bij x=1 gelijk aan 2. De functie vertoont daarom een vermijdbare discontinuïteit bij x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

Bij x = 4 is de linkergrens -3 en de rechtergrens 1. Aangezien de twee zijgrenzen verschillend zijn en geen van beide oneindig geeft, heeft de functie onvermijdelijk een eindige sprongdiscontinuïteit bij x = 4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Oefening 5

Zoek alle asymptoten en discontinuïteiten van de functie weergegeven in de volgende grafiek:

opgeloste oefening over de soorten discontinuïteiten van een functie

Zie de oplossing

Asymptoten

De functie ligt heel dicht bij de verticale lijn x=3, maar raakt deze nooit. Bovendien is de linker laterale limiet bij x=3 +∞ en de rechter laterale limiet -∞. Daarom is x=3 een verticale asymptoot.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

En hetzelfde gebeurt met de horizontale lijn y=-1: de functie komt heel dicht bij y=-1, maar overschrijdt deze nooit. Bovendien is de limiet van de functie als x +∞ nadert en -∞ -1. Daarom is y=-1 een horizontale asymptoot.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

Discontinuïteiten

Bij x=6 wordt de functie onderbroken omdat er een open punt is. De limiet als x 6 nadert is -1,4 maar f(6)=1. De functie heeft daarom een vermijdbare discontinuïteit bij x=6 omdat de waarde van de limiet niet samenvalt met de waarde van de functie:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

Bij x=-3 vallen de laterale grenzen niet samen en geen enkele geeft oneindigheid. De functie heeft daarom een onvermijdelijke eindige sprongdiscontinuïteit bij x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

En ten slotte heeft de functie een onvermijdelijke oneindige sprongdiscontinuïteit bij x = 3, aangezien ten minste één laterale limiet op dit punt resulteert in oneindigheid.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Wat zijn alle soorten discontinuïteiten?

Vermijdbare discontinuïteit

Onvermijdelijke discontinuïteit van de eindige sprong

Oneindige sprong Onvermijdelijke discontinuïteit

Opgeloste oefeningen over soorten discontinuïteiten

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Oefening 5

Laat een reactie achter Reactie annuleren