Verhoudingen zijn een wiskundige relatie tussen twee vergeleken grootheden . In algemene termen geeft een verhouding de relatie of verhouding tussen twee grootheden aan. De verhouding wordt uitgedrukt als een breuk of quotiënt. Bovendien wordt het weergegeven als een vergelijking met twee equivalente verhoudingen.
Als je bijvoorbeeld het aantal mannen en vrouwen in een populatie vergelijkt en ontdekt dat er op elke 3 vrouwen 2 mannen zijn, dan is de verhouding man/vrouw 2 3 .
Op dezelfde manier, als je de oppervlakten van twee figuren vergelijkt en ontdekt dat de oppervlakte van figuur A tweemaal zo groot is als die van figuur B, zou de verhouding tussen de oppervlakten van A en B 2 1 of 2/1 zijn . Verhoudingen worden op veel gebieden van de wiskunde gebruikt, waaronder rekenkunde, meetkunde, statistiek en waarschijnlijkheid.
Kortom, ze worden gebruikt om twee grootheden te vergelijken en met elkaar in verband te brengen . Bovendien zijn ze nuttig voor het oplossen van directe en omgekeerde proportieproblemen. Hetzelfde geldt voor de interpretatie van gegevens in statistische en experimentele onderzoeken.
Hoe verhouden wiskundige verhoudingen zich tot de term ‘ratio’?
Wiskundige verhoudingen en de term “verhouding” zijn nauw verwant, aangezien een verhouding een gelijkheid is tussen twee verhoudingen . In de wiskunde is ratio de relatie tussen twee grootheden of waarden, uitgedrukt als een breuk of quotiënt.
Als we bijvoorbeeld twee grootheden A hebben en B vergelijken, wordt de verhouding tussen A en B uitgedrukt als A ÷ B. In een verhouding zijn er twee paar verhoudingen en wordt de gelijkheid daartussen weergegeven door een breuk. Als we dus vier grootheden A, B, C en D hebben, wordt de verhouding daartussen uitgedrukt als A ÷ B = C ÷ D, waarbij A ÷ B en C ÷ D twee verhoudingen zijn die met elkaar worden vergeleken.
Hoe worden de verhoudingen berekend?
De berekening van een aandeel is afhankelijk van het type relatie dat tussen de waarden wordt gelegd. Over het algemeen wordt voor het berekenen van een aandeel de volgende procedure gevolgd:
- Identificeer de twee of meer variabelen die met elkaar verband houden . Als u bijvoorbeeld de verhouding tussen het aantal gewerkte uren en het ontvangen salaris wilt berekenen, zijn de twee variabelen het aantal gewerkte uren en het salaris.
- Schrijf een vergelijking die de variabelen met elkaar in verband brengt . In directe verhouding heeft de vergelijking de vorm y = kx, waarbij y de afhankelijke variabele is, x de onafhankelijke variabele is en k een constante is die de verhouding tussen de variabelen vertegenwoordigt. In omgekeerde verhouding heeft de vergelijking de vorm y = k ÷ x.
- Los de constante k op . Om dit te doen, kan de beschikbare informatie over de waarden van de variabelen worden gebruikt om de constante k uit de vergelijking te isoleren. Als we bijvoorbeeld weten dat een werknemer €80 verdient voor 8 gewerkte uren, kunnen we de constante k oplossen uit de vergelijking y = kx:
80 = 8k
k = 10
- Gebruik de constante k om andere waarden van de verhouding te berekenen . Zodra de constante k is opgelost, kan de vergelijking worden gebruikt om andere waarden van het aandeel te berekenen. Als u bijvoorbeeld wilt weten hoeveel een werknemer die 10 uur per dag werkt, zou verdienen, kunt u de vergelijking y = kx gebruiken met k = 10 en x = 10:
y = kx = 10 10 = 100
Over het algemeen is de berekening van een aandeel min of meer complex, afhankelijk van de relatie tussen de variabelen en de beschikbare informatie over hun waarden. In sommige gevallen is het nodig om geavanceerdere methoden te gebruiken, zoals differentiaal- en integraalrekening, om de verhouding in detail te analyseren.
Wat zijn de soorten verhoudingen?
In wiskundige verhoudingen kunnen twee typen worden gedefinieerd. Vervolgens wordt elk van de inzichten beschreven.
directe verhouding
In een directe verhouding stijgen of dalen twee of meer variabelen in dezelfde verhouding . Dit betekent dat als de ene variabele toeneemt, de andere ook proportioneel toeneemt. Een voorbeeld van een directe verhouding is tijd en afstand, waarbij naarmate de tijd toeneemt, de afgelegde afstand ook toeneemt.
Een voorbeeld van een directe verhouding is de verhouding tussen het aantal gewerkte uren en het ontvangen salaris. Als een werknemer € 10 per uur verdient en 8 uur per dag werkt, zou zijn dagloon zijn:
8 uur €10/uur = €80
Als de werknemer meer uren werkt, stijgt zijn salaris in directe verhouding. Als u bijvoorbeeld 10 uur per dag werkt, is uw salaris:
10 uur €10/uur = €100
Als u minder uren zou werken, zou uw salaris in directe verhouding dalen. Als u bijvoorbeeld maar 6 uur per dag werkt, is uw salaris:
6 uur €10/uur = €60
omgekeerde verhouding
In een omgekeerde verhouding hebben twee of meer variabelen een tegengestelde relatie . Met andere woorden: als de ene variabele toeneemt, zal de andere in dezelfde mate afnemen. Een voorbeeld van een omgekeerde relatie is tijd en snelheid: als de tijd toeneemt, zal de snelheid afnemen.
Een voorbeeld van omgekeerde proportie is de relatie tussen snelheid en de tijd die een auto nodig heeft om een bepaalde afstand af te leggen. Als een auto 60 km/u rijdt, duurt het 2 uur om een afstand van 120 km af te leggen:
Snelheid = 60 km/u
Afstand = 120 km
Tijd = Afstand ÷ Snelheid = 120 km ÷ 60 km/u = 2 uur
Als de auto zijn snelheid verhoogt naar 80 km/u, zal het minder tijd kosten om dezelfde afstand af te leggen:
Snelheid = 80 km/u
Afstand = 120 km
Tijd = Afstand ÷ Snelheid = 120 km ÷ 80 km/u = 1,5 uur
In dit geval zijn snelheid en tijd omgekeerd evenredig, aangezien als de snelheid toeneemt, de tijd die nodig is om dezelfde afstand af te leggen in dezelfde verhouding afneemt.
Hoe belangrijk zijn verhoudingen?
Verhoudingen zijn belangrijk in de wiskunde en op veel andere gebieden van het leven. Over het algemeen stellen ze ons in staat verschillende grootheden op een zinvolle en nuttige manier te vergelijken en met elkaar in verband te brengen .
Ten eerste stellen verhoudingen ons in staat reële en wiskundige problemen efficiënt en effectief op te lossen . Regelmatig worden ze ingezet om oplossingen te vinden voor complexe problemen. Bijvoorbeeld technische problemen of persoonlijke financiële problemen.
Aan de andere kant worden ze gebruikt om twee hoeveelheden op een zinvolle manier te vergelijken , zelfs als de hoeveelheden heel verschillend zijn. Als we bijvoorbeeld de prijs vergelijken van twee producten van verschillende maten of merken, kunnen we een verhouding gebruiken om te bepalen welke de beste prijs-kwaliteitverhouding heeft.
Bovendien is het dankzij verhoudingen mogelijk om zinvolle vergelijkingen te maken tussen verschillende opties , wat ons helpt weloverwogen beslissingen te nemen. Wanneer we bijvoorbeeld verschillende mobiele telefoonabonnementen of vakantiepakketten vergelijken, kunnen we de verhoudingen gebruiken om te bepalen welke de beste waarde biedt.
Wat zijn de toepassingen van verhoudingen?
Ratio’s hebben een grote verscheidenheid aan toepassingen op verschillende gebieden van wetenschap, technologie en het dagelijks leven. Enkele van de meest voorkomende toepassingen zijn:
- Financiën : Ratio’s worden in de financiële wereld gebruikt om financiële ratio’s te berekenen, zoals de schuldratio, de liquiditeitsratio en de winstgevendheidsratio. Met deze ratio’s kunnen financiële analisten de financiële prestaties van een bedrijf evalueren en weloverwogen investeringsbeslissingen nemen.
- Statistieken – Gebruikt in statistieken om percentages, groeisnelheid en andere maatstaven te berekenen die de relatie tussen twee of meer waarden uitdrukken. Met deze metingen kunnen onderzoekers gegevens vergelijken en conclusies trekken over de populatie van interesse.
- Geometrie – Ze worden in de geometrie gebruikt om de lengtes, oppervlakten en volumes van geometrische figuren te berekenen. De stelling van Pythagoras geeft bijvoorbeeld een verhouding aan tussen de zijden van een rechthoekige driehoek die wordt gebruikt om de lengte van de zijden te berekenen.
- Natuurwetenschappen : Ze worden in de natuurwetenschappen gebruikt om de relatie tussen twee of meer variabelen uit te drukken. In de scheikunde worden verhoudingen bijvoorbeeld gebruikt om de stoichiometrie van een chemische reactie en de relatie tussen de hoeveelheden reactanten en producten te berekenen.
- Engineering : ze zijn nuttig in de engineering om systemen en processen te ontwerpen en te optimaliseren. In de machinebouw worden verhoudingen bijvoorbeeld gebruikt om de relatie tussen de uitgeoefende kracht en de snelheid van een mechanisch systeem te berekenen.
Gemakkelijke voorbeelden om verhoudingen beter te begrijpen
1. Als 3 appels 1 euro kosten, hoeveel kosten dan 5 appels?
Oplossing : De verhouding appels per euro is 3 ÷ 1 = 3. Dus voor 5 appels is het benodigde geldbedrag (5 ÷ 3) · 1 = 1,67 euro (ongeveer).
2. Als 4 personen een pizza kunnen delen voor 8 euro, hoeveel kost dezelfde pizza dan voor 6 personen?
Oplossing : De verhouding tussen het aantal personen per pizza is 4 ÷ 8 = 1 ÷ 2. Dus voor 6 personen is het benodigde geldbedrag (6 ÷ 4) · 8 = 12 euro.
3. Als een winkel 20% korting biedt op een t-shirt van 25 euro, hoeveel kost het promotie-t-shirt dan?
Oplossing : De korting van 20% komt overeen met een prijsverlaging van 0,2 · 25 = 5 euro. De gereduceerde prijs zal daarom 25 – 5 = 20 euro zijn.
Tips om gemakkelijk verhoudingen te leren
Hier zijn enkele eenvoudige tips om verhoudingen en hun nut beter te begrijpen.
- Zorg ervoor dat u het concept van proportie begrijpt voordat u problemen probeert op te lossen.
- Begin met oefenen met eenvoudige problemen en ga dan geleidelijk over naar complexere problemen.
- Oefen met het identificeren van verhoudingen in alledaagse situaties. Wanneer u bijvoorbeeld een drankmix maakt, kunt u bepalen welke verhouding ingrediënten u nodig heeft om een perfecte mix te maken.
- Gebruik statistische tabellen en grafieken om verhoudingen te visualiseren.
- Zoek naar videotutorials of interactieve oefeningen om uw vaardigheden te verbeteren.
Sinds wanneer moeten verhoudingen worden onderwezen?
Verhoudingen zijn een fundamenteel onderwerp in de wiskunde en moeten in het basisonderwijs worden onderwezen . Normaal gesproken worden verhoudingen onderwezen op de basisschool, meestal in de derde of vierde klas.
Op dit punt beginnen leerlingen vertrouwd te raken met breuken en decimalen , dit zijn concepten die verband houden met verhoudingen.
Echter, het onderwijzen van continue verhoudingen op de middelbare school . In deze fase gaan leerlingen dieper in op de concepten en toepassingen van proportie, zoals het oplossen van problemen met percentages, directe en omgekeerde evenredigheid, en de eenvoudige en samengestelde regel van drie .