Loodrechte of orthogonale vectoren

Op deze pagina vind je alles over loodrechte (of orthogonale) vectoren: wat ze zijn, wanneer twee vectoren orthogonaal zijn, hoe je een vector loodrecht op een andere kunt vinden, de eigenschappen van loodrechte vectoren,… Daarnaast kun je zien verschillende voorbeelden en opgeloste oefeningen voor loodrechte of orthogonale vectoren.

Wat zijn twee loodrechte of orthogonale vectoren?

In de wiskunde zijn twee vectoren orthogonaal (of loodrecht ) als ze een rechte hoek (90º) met elkaar vormen.

In de volgende grafiek ziet u twee loodrechte vectoren:

wanneer wordt gezegd dat twee vectoren loodrecht of orthogonaal zijn

Aan de andere kant hangt de loodrechtheid van twee vectoren alleen af van hun richting, en niet van hun module (of grootte) of uiteraard van hun richting. Dat wil zeggen dat twee vectoren loodrecht staan als ze een hoek van 90 graden maken, ongeacht of ze even lang zijn of niet.

Hoe weet je of twee vectoren orthogonaal of loodrecht zijn?

Zoals we zojuist hebben gezien, is het grafisch heel gemakkelijk te zien of twee vectoren loodrecht staan. U kunt echter ook bepalen of twee vectoren orthogonaal zijn zonder ze in een grafiek te tekenen:

Numeriek gezien zijn twee vectoren orthogonaal of loodrecht wanneer hun puntproduct nul (0) is.

We zullen bijvoorbeeld laten zien dat de volgende twee vectoren loodrecht staan, zonder ze in een grafiek te tekenen:

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

Om te controleren of dit loodrechte (of orthogonale) vectoren zijn, passen we de scalaire productformule toe:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

Het resultaat van het puntproduct van de twee vectoren is nul, dus dit zijn twee vectoren die orthogonaal (of loodrecht) op elkaar staan.

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

Merk op dat twee vectoren loodrecht worden aangegeven door het symbool

$\bm{\perp}}.$

Daarom is het puntproduct tussen twee loodrechte vectoren nul. Het vectorproduct van twee vectoren (een ander type vermenigvuldiging tussen vectoren) geeft echter het tegenovergestelde: een vector loodrecht op de andere twee. Daarom is het belangrijk om te weten hoe u de twee soorten bewerkingen van elkaar kunt onderscheiden. De verschillen ertussen kunt u zien in de eigenschappen van het kruisproduct .

Hoe wordt een vector loodrecht of orthogonaal op een andere berekend?

De eenvoudigste manier om een vector loodrecht op een andere in het vlak (in R2) te berekenen, is door de twee coördinaten van de vector te verweven en ook het teken in één te veranderen.

En om een vector loodrecht op een andere in de ruimte (in R3) te verkrijgen, is het noodzakelijk om twee coördinaten tussen elkaar te plaatsen, vervolgens het teken van een ervan te veranderen en ten slotte de resterende coördinaat op nul te zetten.

Zodat je de verschillen kunt zien bij het berekenen van de ene orthogonale vector naar de andere, afhankelijk van of ze 2 of 3 coördinaten hebben, zullen we een oefening oplossen met elk type vector.

Zoek een loodrechte of orthogonale vector in het cartesiaanse vlak

Bepaal een vector loodrecht op de volgende tweedimensionale vector:

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

Omdat het een vector is met slechts twee componenten, is het, om een loodrechte vector te verkrijgen, nodig om de componenten af te wisselen en een ervan te ontkennen:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

We kunnen aan de hand van de puntproductformule verifiëren dat dit inderdaad loodrechte vectoren zijn:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Bepaal een loodrechte of orthogonale vector in de cartesiaanse ruimte

Bereken een vector loodrecht op de volgende driedimensionale vector:

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

In dit geval hebben we een vector met drie componenten, dus om een loodrechte vector te verkrijgen, moeten we twee componenten afwisselen, het teken van een ervan veranderen en de resterende coördinaat naar nul converteren:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

We kunnen met de scalaire productformule controleren of dit inderdaad orthogonale vectoren zijn:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Eigenschappen van loodrechte en orthogonale vectoren

Loodrechte vectoren hebben de volgende kenmerken:

Symmetrische relatie : Als een vector loodrecht staat op een andere vector, dan staat deze vector ook loodrecht op de eerste vector.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Irreflexieve eigenschap : Het is duidelijk dat geen enkele vector loodrecht op zichzelf kan staan.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

In de Euclidische meetkunde (in R2) moet elk paar vectoren loodrecht op een derde vector noodzakelijkerwijs evenwijdig zijn. Dat wil zeggen, als een vector loodrecht staat op een andere vector en die vector ook loodrecht staat op een derde vector, zijn de eerste en de laatste vector evenwijdig. Dit komt door het vijfde postulaat van Euclides .

Aan de andere kant moet je ook weten dat dankzij deze eigenschappen de kurkentrekkerregel kan worden gebruikt. Deze techniek maakt het eenvoudig om een soort vectorbewerking te berekenen die, zonder deze regel, veel tijd zou kosten om op te lossen. Wat dit is, kun je zien door op de uitleg van de kurkentrekkerregel te klikken.

Begrippen gerelateerd aan loodrechte of orthogonale vectoren

Er zijn twee soorten vectoren die heel dicht bij loodrechte vectoren liggen: normaalvectoren en orthomarlevectoren. Hoewel ze allemaal met elkaar verband houden, willen we duidelijk maken hoe ze van elkaar verschillen om mogelijke verwarring te voorkomen.

Een normaalvector is een vector loodrecht op een vlak. Het kan dus ook worden opgenomen in het concept van orthogonaliteit van een vector, maar in dit geval staat het loodrecht op een vlak in plaats van op een andere vector.

Aan de andere kant zijn twee orthonormale vectoren twee onderling orthogonale vectoren die bovendien eenheidsvectoren zijn (met een grootte gelijk aan 1).

Ten slotte moet ook worden opgemerkt dat het heel gebruikelijk is om orthogonale basen (vectorbases gevormd uit vectoren die loodrecht op elkaar staan) en zelfs orthonormale basen te gebruiken. In feite is het cartesiaanse referentiekader een orthonormale basis.