In dit artikel ontdek je hoe je het maximum en minimum van een functie berekent, wij leggen het je uit door stap voor stap twee voorbeelden op te lossen. Daarnaast kun je met stapsgewijze oefeningen oefenen op de maxima en minima van een functie.
Wat zijn het maximum en het minimum van een functie?
De maxima van een functie zijn de grootste waarden van de functie en de minima van een functie zijn de kleinste waarden van de functie. De maxima en minima van een functie zijn relatieve uitersten wanneer ze alleen de grootste of kleinste waarden in hun omgeving vertegenwoordigen, maar het zijn absolute uitersten wanneer ze de grootste of kleinste waarden van de gehele functie vertegenwoordigen.
Je kunt ook relatieve uitersten identificeren door de groei en afname van de functie te bestuderen:
- Een punt is een relatief maximum als de functie van stijgend naar dalend gaat.
- Een punt is een relatief minimum wanneer de functie van afnemend naar toenemend gaat.
Hoe je het maximum en minimum van een functie kunt vinden
Uit de eerste en tweede afgeleide van een functie kunnen we weten of een functie op een bepaald punt een relatief extremum heeft en of dat punt een relatief maximum of een relatief minimum is:
- Een functie heeft een extremum ten opzichte van de punten die de eerste afgeleide ervan opheffen.
- En het teken van de tweede afgeleide van de functie bepaalt of het punt een maximum of een minimum is:
- Als de tweede afgeleide negatief is, heeft de functie op dat punt een relatief maximum .
- Als de tweede afgeleide positief is, heeft de functie op dat punt een relatief minimum .
- Bereken de relatieve uitersten van de volgende functie en bepaal of dit maxima of minima zijn:
- Bestudeer monotoniciteit en bereken de relatieve uitersten van de volgende functie:
Voorbeeld 1: Hoe u het maximum en minimum van een functie berekent
Nadat we de definities van het maximum en minimum van een functie hebben gezien, zullen we stap voor stap een voorbeeld oplossen, zodat u kunt zien hoe het maximum en minimum van een functie worden berekend.
De relatieve uitersten van de functie zijn de punten die voldoen
. Daarom berekenen we eerst de afgeleide van de functie:
En nu stellen we de afgeleide van de functie gelijk aan nul en lossen we de resulterende kwadratische vergelijking op:
Daarom zijn de relatieve uitersten van de functie x=+1 en x=-1.
Zodra we de relatieve uitersten van de functie kennen, kunnen we weten of ze een maximum of een minimum zijn met het teken van de tweede afgeleide. We berekenen daarom de tweede afgeleide van de functie:
En nu evalueren we in de tweede afgeleide de relatieve extremen die we eerder hebben gevonden, om te weten of ze een relatief maximum of minimum zijn:
Relatief minimaal
Maximaal relatief
De tweede afgeleide bij x=1 is positief, dus x=1 is een relatief minimum . Aan de andere kant is de tweede afgeleide bij x=-1 negatief, dus x=-1 is een relatief maximum .
Ten slotte vervangen we de gevonden punten in de oorspronkelijke functie om de Y-coördinaat van de relatieve uitersten te vinden:
Concluderend zijn de relatieve uitersten van de functie:
Minimaal tot punt
Maximaal op punt
Voorbeeld 2: Monotoniciteit en de maxima en minima van een functie bestuderen
Laten we nu eens kijken hoe een ander type oefening wordt opgelost. In dit geval zullen we uitleggen hoe je het maximum en het minimum kunt vinden op basis van de monotoniciteit van een functie.
Het eerste dat u moet doen, is het domein van de definitie van de functie berekenen. Omdat het een rationale functie is, moeten we de noemer gelijk stellen aan 0 om te zien welke getallen niet tot het domein van de functie behoren:
Nadat we het domein van de definitie van de functie hebben berekend, moeten we bestuderen welke punten de eerste afgeleide opheffen. We leiden daarom de functie af:
En nu stellen we de afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de vergelijking op:
De voorwaarde
Dit houdt in dat we de hele linkerkant delen, zodat we deze met de hele rechterkant kunnen vermenigvuldigen:
We extraheren de gemeenschappelijke factor om de kwadratische vergelijking op te lossen:
Om de vermenigvuldiging gelijk te maken aan 0, moet een van de twee elementen van de vermenigvuldiging nul zijn. We stellen daarom elke factor gelijk aan 0 en verkrijgen de twee oplossingen van de vergelijking:
![\displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55127e675ce8f7742db17d565c2ae507_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zodra we het domein van de functie en hebben berekend
, vertegenwoordigen we alle kritieke punten op de lijn:
En we evalueren het teken van de afgeleide in elk interval, om te weten of de functie toeneemt of afneemt. Om dit te doen, nemen we een punt in elk interval (nooit de kritieke punten) en kijken we welk teken de afgeleide op dat punt heeft:
Als de afgeleide positief is, betekent dit dat de functie toeneemt, maar als de afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie afneemt. Daarom zijn de groei- en afname-intervallen:
Groei:
Afname:
Bovendien gaat de functie bij x=0 van stijgend naar dalend, dus x=0 is een relatief maximum van de functie . En bij x=2 gaat de functie van afnemend naar toenemend, dus x=2 is een relatief minimum van de functie.
En ten slotte vervangen we de punten gevonden in de originele functie om de Y-coördinaat van de uiteinden te vinden:
Kortom, de relatieve uitersten van de functie zijn:
Maximaal op punt
Minimaal tot punt
Opgeloste oefeningen over de maxima en minima van een functie
Oefening 1
Bereken de relatieve extrema van de volgende polynoomfunctie en bepaal of het maxima of minima zijn:
Zie de oplossingDe relatieve uitersten van de functie zijn de punten waarop de eerste afgeleide van de functie gelijk is aan nul. We berekenen daarom de afgeleide van de functie:
En nu lossen we de vergelijking op
We hebben een kwadratische vergelijking, dus passen we de algemene formule toe om deze op te lossen:
![\begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e4a1d5ede3779d54c8b9b66571a3394_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Daarom zijn de relatieve uitersten van de functie de punten x=3 en x=-1.
Zodra we de relatieve uitersten van de functie kennen, kunnen we weten of ze een maximum of een minimum zijn met het teken van de tweede afgeleide. We differentiëren daarom de functie opnieuw:
En nu evalueren we de punten die we eerder hebben berekend in de tweede afgeleide:
De tweede afgeleide bij x=3 is positief, dus x=3 is een minimum . En de tweede afgeleide bij x=-1 is negatief, dus x=-1 is een maximum .
En ten slotte vervangen we de punten gevonden in de originele functie om de Y-coördinaat van de uiteinden te vinden:
Kortom, de relatieve uitersten van de functie zijn:
Minimaal ten opzichte van het punt
Maximaal ten opzichte van het punt
Oefening 2
Bereken de relatieve extrema van de volgende exponentiële functie en bepaal of dit maxima of minima zijn:
Zie de oplossingTen eerste moeten we de functie differentiëren. Om dit te doen, passen we de formule toe voor de afgeleide van een product:
En nu lossen we de vergelijking op
![\displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5c0d99b3aa4115c0415e0e57f5df2a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Een getal dat naar een ander wordt verhoogd, kan nooit resulteren in 0. Daarom
heeft geen oplossing en het enige relatieve uiterste is dat wel
.
Nu berekenen we de tweede afgeleide van de functie om te weten dat het relatieve uiterste een maximum of een minimum is:
En nu evalueren we in de tweede afgeleide het uiterste dat we eerder hebben gevonden, om te zien of het een maximum of een minimum is:
Omdat de tweede afgeleide bij x=0 positief is, is x=0 een relatief of lokaal minimum .
Ten slotte vervangen we het punt gevonden in de originele functie om de andere eindcoördinaat te vinden:
Het enige relatieve uiterste van de functie is daarom:
Minimaal tot punt
Oefening 3
Bestudeer monotoniciteit en vind de relatieve uitersten van de volgende rationale functie:
Zie de oplossingEerst bepalen we het domein van de functie. Om dit te doen, stellen we de noemer van de breuk gelijk aan nul en lossen we de resulterende kwadratische vergelijking op:
De uitdrukking
Het zal nooit 0 zijn, aangezien het resultaat van x 2 altijd een positief getal of 0 zal zijn. Daarom zal het optellen van 1 nooit 0 opleveren. Het domein van de functie bestaat daarom alleen uit reële getallen:
Vervolgens onderzoeken we welke punten aan elkaar voldoen
We differentiëren de functie met behulp van de quotiëntregel:
We stellen de afgeleide gelijk aan 0 en lossen de vergelijking op:
We hebben een kwadratische vergelijking, dus gebruiken we de algemene formule om deze op te lossen:
![\begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-836d878f15098c1fe997fbb0392b8733_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zodra we het domein van de functie en hebben berekend
vertegenwoordigen we alle singuliere punten op de getallenlijn:
En nu evalueren we het teken van de afgeleide in elk interval, om erachter te komen of de functie stijgend of dalend is. We nemen daarom in elk interval een punt (nooit de singuliere punten) en kijken welk teken de afgeleide op dit punt heeft:
Als de afgeleide positief is, betekent dit dat de functie in dat interval toeneemt, maar als de afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie afneemt. Daarom zijn de groei- en afname-intervallen:
Groei:
Afname:
De functie verandert van afnemend naar toenemend bij x=-0,41, dus x=-0,41 is een lokaal minimum van de functie. En de functie gaat van stijgend naar dalend bij x=2,41, dus x=2,41 is een lokaal maximum van de functie.
Ten slotte vervangen we de gevonden uitersten in de oorspronkelijke functie om de Y-coördinaten van de punten te vinden:
De relatieve uitersten van de functie zijn daarom:
Minimaal tot punt
Maximaal op punt
Oefening 4
We weten dat de functie
door het punt gaan
en heeft een relatief extreem in
Bepaal de waarde van de onbekenden
en de waarde van
Zie de oplossingLaat de functie een relatief extremum hebben
dat betekent dat het volbracht is
Daarom berekenen we de afgeleide van de functie in
en we stellen het gelijk aan 0:
![\left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1786074f9a3b69a0c2a13a0db7a67895_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van parameter a te vinden:
De functie wordt dus:
Aan de andere kant vertellen ze ons dat de functie door het punt gaat
Dat is te zeggen,
Daarom kunnen we deze voorwaarde toepassen om de waarde van variabele b te vinden:
![\left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c09bb57a4a4fd3eb5d72f5d35d3c539_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van parameter b te vinden:
De functie is dus:
