Matrixdefinitie en matrixtypen

In dit artikel leggen we uit wat matrices zijn en hoe de dimensie van een matrix wordt bepaald. Bovendien ziet u voorbeeldmatrices. En ten slotte zult u ontdekken welke de belangrijkste typen matrices zijn.

Wat is een matrix?

een commandomatrix

$m \times n$

is een reeks getallen gerangschikt in

$m$

rijen en

$n$

Kolommen:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

matrixvoorbeelden

Hier zijn enkele voorbeelden van verschillende matrices:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Afmetingen van een tafel

De afmeting van een array is

$\bm{m \times n}$

. Goud

$m$

komt overeen met het aantal rijen van de matrix, en

$n$

aan het aantal kolommen.

Voorbeelden:

dimensiematrix

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

dimensiematrix

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Soorten matrices

Hieronder leggen we de kenmerken van de belangrijkste matrixtypen uit.

rijmatrix

Het is deze matrix die slechts één rij heeft:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

kolommatrix

Het is deze matrix die slechts één kolom heeft:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

getransponeerde matrix

De transponeer- of transpositiematrix is de matrix die wordt verkregen door het veranderen van rijen naar kolommen . En dit wordt weergegeven door een “t” rechtsboven in de matrix te plaatsen

$\left(A^t \right) .$

Voorbeelden:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Vierkante matrix

Een vierkante matrix is een matrix die hetzelfde aantal rijen als kolommen heeft.

$(m=n ) .$

Een vierkante matrix van orde 3 zou bijvoorbeeld zijn:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

De hoofddiagonaal van een vierkante matrix bestaat uit de elementen die van de linkerbovenhoek naar de rechteronderhoek gaan:

De secundaire diagonaal van een vierkante matrix komt overeen met de elementen die van de linker benedenhoek naar de rechter bovenhoek gaan:

We raden u aan alle eigenschappen van vierkante matrices te bekijken, omdat dit waarschijnlijk het meest gebruikte type matrices is en daarom erg belangrijk is voor lineaire algebra.

driehoekige matrix

Een driehoekige matrix is een matrix waarin alle elementen boven of onder de hoofddiagonaal 0 zijn.

Driehoekige matrices zijn onderverdeeld in twee typen: bovenste driehoekige matrices , waarvan de elementen onder de hoofddiagonaal nul zijn, en onderste driehoekige matrices , waarvan de elementen boven de hoofddiagonaal nul zijn. Om de verschillen ertussen volledig te begrijpen, kunt u andere voorbeelden van driehoekige matrices bekijken.

Bovenste driehoekige matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Onderste driehoekige matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

diagonale matrix

Een diagonale matrix is een vierkante matrix waarin alle elementen die niet op de hoofddiagonaal liggen, nullen zijn. U kunt de eigenschappen en andere voorbeelden van diagonale matrices bekijken in deze link.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Hoewel deze matrices heel eenvoudig lijken omdat ze veel nullen bevatten, zijn ze eigenlijk heel belangrijk voor de wiskunde. In feite is er een hele procedure voor het diagonaliseren van een matrix, dus diagonaliseerbare matrices zijn van groot belang.

scalaire matrix

Een scalaire matrix is een diagonale matrix waarin alle elementen van de hoofddiagonaal gelijk zijn. Als je wilt, kun je hier andere voorbeelden van scalaire matrices bekijken.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Identiteitsmatrix of eenheid

De identiteitsmatrix is een diagonale matrix waarin alle elementen van de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Zoals elke diagonale matrix ziet het eruit als een heel eenvoudig type matrix. Maar laat je niet misleiden door zijn uiterlijk, het is een veelgebruikte matrix vanwege zijn eigenschappen, het wordt bijvoorbeeld gebruikt om een matrix om te keren. We raden u aan de eigenschappen van de identiteitsmatrix te bekijken om het nut ervan te begrijpen.

nulmatrix

Een nulmatrix is een matrix waarin alle elementen 0 zijn:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Zoals u kunt zien, is deze matrix helemaal niet complex. Maar ook al lijkt het misschien niet zo, het heeft zijn nut. U kunt hun toepassingen bekijken op de eigenschappenpagina van de nulmatrix .

symmetrische matrix

Een symmetrische matrix is een matrix waarvan de hoofddiagonaal een symmetrieas is.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Vanwege de eigenschappen van symmetrische matrices is het resultaat van het transponeren van een symmetrische matrix de matrix zelf.

antisymmetrische matrix

Een antisymmetrische matrix is een matrix waarin de hoofddiagonaal gevuld is met nullen en bovendien een as van antisymmetrie is.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

In de volgende link kunt u alle eigenschappen en meer voorbeelden van antisymmetrische matrices zien.

Nu je de soorten tabellen hebt gezien, vraag je je waarschijnlijk af… wat is de zin van dit alles? Welnu, een van de belangrijkste toepassingen zijn matrixbewerkingen, waarvan de belangrijkste vermenigvuldiging is. U kunt ook zien hoe u dit doet op de vermenigvuldigingsmatrixpagina .