Lineaire en kwadratische interpolatie

Op deze pagina leert u wat het betekent om een functie te interpoleren. Specifiek worden lineaire interpolatie en kwadratische interpolatie uitgelegd. Bovendien kunt u meerdere voorbeelden zien, zodat u geen twijfel heeft over hoe een functie wordt geïnterpoleerd.

Wat is functie-interpolatie?

De definitie van interpolatie is als volgt:

In de wiskunde is interpolatie een procedure die wordt gebruikt om de waarde te benaderen die een functie aanneemt op een punt op een interval waarvan de eindpunten bekend zijn.

Wat is het verschil tussen interpolatie en extrapolatie?

Interpoleren en extrapoleren hebben zeer vergelijkbare betekenissen, omdat beide betrekking hebben op het schatten van de waarde van een functie op een punt vanuit twee bekende punten.

Interpolatie bestaat echter uit het maken van een benadering van een punt dat zich bevindt in het interval dat wordt gevormd door deze twee bekende punten. In plaats daarvan betekent extrapoleren het schatten van de waarde van de functie op een punt buiten het interval waaruit deze twee bekende punten bestaan.

interpolatie en extrapolatie of interpolatie en extrapolatie

Zoals je in de bovenstaande grafiek kunt zien, zijn de bekende punten (2,3) en (6,5). In dit geval willen we interpoleren naar x=4, omdat dit tussen de bekende punten ligt, en aan de andere kant willen we extrapoleren naar x=8, omdat het buiten het bekende interval ligt.

Het is duidelijk dat een geïnterpoleerde waarde veel betrouwbaarder is dan een geëxtrapoleerde waarde, omdat we bij extrapolatie aannemen dat de functie een soortgelijk pad zal volgen. Het is echter mogelijk dat de helling van de functie buiten de grenzen van het bekende interval verandert en dat de schatting onjuist is.

Lineaire interpolatie

Lineaire interpolatie is een speciaal geval van Newtoniaanse polynoominterpolatie. In dit geval wordt een polynoom van de eerste graad gebruikt, dat wil zeggen een lineaire of affiene functie, om de waarde van de functie op een bepaald punt te raden.

Gegeven twee bekende punten,

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

, is de formule voor het uitvoeren van lineaire interpolatie:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Goud

$x$

$y$

zijn de coördinaten van het geïnterpoleerde punt.

We kunnen verifiëren dat deze formule overeenkomt met de punt-hellingsvergelijking van de lijn.

Voorbeeld van lineaire interpolatie

Vervolgens zullen we een probleem zien als voorbeeld om het concept van lineaire interpolatie te begrijpen:

In een fabriek worden in 4 uur 2 artikelen geproduceerd en in 8 uur 10 artikelen. Als het aantal geproduceerde artikelen lineair verband houdt met het aantal gewerkte uren, hoeveel artikelen worden er dan in 5 uur geproduceerd?

Eerst moeten we de lineaire functie definiëren die de gewerkte uren relateert aan de geproduceerde artikelen. In dit geval zijn X de gewerkte uren en Y de vervaardigde artikelen. Omdat er meer of minder artikelen zullen worden geproduceerd afhankelijk van de gewerkte uren, of met andere woorden, de productie is afhankelijk van uren, en niet andersom.

Uit de verklaring weten we dat de functie door de punten (4,2) en (8,10) gaat. Het is daarom voldoende om de formule toe te passen om op het punt te interpoleren

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

We vervangen de waarden van de punten in de vergelijking:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

En wij doen de bewerkingen:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

Dus 5 uur levert 4 items op.

kwadratische interpolatie

Bij kwadratische interpolatie wordt geïnterpoleerd met een polynoom van de tweede graad in plaats van een polynoom van graad 1. Daarom wordt in dit geval een kwadratische of paraboolfunctie gebruikt.

$y = ax^2+bx+c$

Over het algemeen is interpolatie van de tweede orde nauwkeuriger dan interpolatie van de eerste orde, omdat deze van hogere graad is. Integendeel, er is nog één punt nodig om de interpolatie te kunnen uitvoeren.

De wiskundige Lagrange ontwikkelde een formule om de interpolatiefunctie van orde n te vinden. Voor het geval van de tweede orde is het Lagrange-interpolatiepolynoom als volgt:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

waar de bekende punten

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

$P_3(x_3,y_3)$

Ze worden gebruikt om de waarde van de functie op de abscis te vinden

$x.$

In de praktijk wordt de Lagrange-interpolatiemethode echter over het algemeen niet gebruikt, maar wordt de kwadratische functie berekend op basis van de 3 waargenomen punten, en vervolgens wordt het in de functie te interpoleren punt geëvalueerd. Hier is een opgeloste oefening om te zien hoe het wordt gedaan:

Voorbeeld van kwadratische interpolatie

Bepaal de kwadratische functie die door de punten (0,1), (1,0) en (3,4) gaat en interpoleer vervolgens de waarde van
$x=-1.$

Omdat kwadratische functies polynomen van de tweede orde zijn, zal de interpolatiefunctie als volgt zijn:

$y = ax^2+bx+c$

Het is daarom noodzakelijk om de coëfficiënten te berekenen

$a$

$b$

$c$

. Om dit te doen, vervangen we de coördinaten van de bekende punten in de functie:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

We lossen nu het stelsel vergelijkingen op:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

We kennen de waarde ervan al

$c$

, kunnen we het systeem daarom oplossen met de substitutiemethode: we wissen het onbekende

$a$

uit de tweede vergelijking en vervang de uitdrukking uit de laatste vergelijking:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

wij vinden het onbekende

$b$

uit de laatste vergelijking:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

en vind de waarde van

$a$

met de tweede vergelijking van het systeem:

$a=-(-2)-1 = 1$

De kwadratische functie is daarom als volgt:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Ten slotte interpoleren we de abscis

$x=-1$

om de waarde van de functie op dit punt te berekenen:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

Interpolatietoepassingen

Hoewel het misschien niet zo lijkt, is interpolatie erg handig in wiskunde en statistiek. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt om de waarde van een functie te voorspellen: uit een reeks verzamelde gegevens wordt de regressielijn berekend en daarmee kun je een benadering krijgen van wat de functie op elk punt waard zal zijn.

Het interpoleren van een functie kan, zoals we hebben gezien, handmatig worden gedaan, of met computerprogramma’s als Excel of MATLAB. Uiteraard is het veel comfortabeler en sneller om dit via een computer te doen.

Aan de andere kant wordt interpolatie ook gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen. Er zijn enkele softwareprogramma’s die complexe berekeningen met zeer lange functies moeten uitvoeren, dus soms wordt lineaire interpolatie van deze functies uitgevoerd om de bewerkingen te vereenvoudigen.