Binomiale vierde - Mathority

Op deze pagina vindt u de formule voor een binominale t/m de vierde, en leggen we met voorbeelden uit hoe u dit soort binominale bewerkingen kunt oplossen. Daarnaast kun je oefenen met oefeningen die je stap voor stap oplost van leeftijdsgenoten tot en met het vierde leerjaar.

Kwartaal binomiale formule

In de wiskunde is een binomiaal tot de vierde macht een polynoom dat bestaat uit twee termen en wordt verhoogd tot de 4e.

De formule die wordt gebruikt om een kwart binomiaal te berekenen is dus als volgt:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Deze formule kan worden afgeleid van de algemene binominale formule van Newton . In feite kun je met de binomiale formule van Newton binominale getallen tot elke macht berekenen, dus het is het beste om de binomiale formule van Newton te leren. Klik op de vorige link en ontdek hoe deze formule eruit ziet.

Daarom is een binomiaal in de vierde gelijk aan de eerste term verheven tot de vierde, plus het product van 4 maal de eerste term in de derde macht en de tweede term, plus de eerste en tweede term in het kwadraat maal 6, plus het product van 4 maal de eerste term vermenigvuldigd met de tweede term verhoogd tot 3, plus de tweede term verhoogd tot de vierde.

Deze formule komt overeen met de binominale som (de twee elementen zijn positief), maar in de formule voor de binominale aftrekking verheven tot de vierde zijn de tekens van het tweede en vierde product negatief:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Voorbeelden van leeftijdsgenoten in het vierde leerjaar

Gegeven de formule voor dit type binomiaal, zullen we verschillende voorbeelden zien van het oplossen van een binomiaal tot de vierde. We berekenen eerst een positieve binomiaal en vervolgens lossen we een negatieve binomiaal op.

voorbeeld 1

Bereken de volgende binomiaal verhoogd tot de vierde:

$(x+2)^4$

De formule voor de macht van een binominale som verheven tot de 4e is:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Dus om de binomiaal voor de oefening te berekenen, vervangt u eenvoudigweg de twee bedragen van de binomiaal in de formule:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

En tot slot lossen we de bewerkingen op:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Voorbeeld 2

Zoek de volgende binomiaal verhoogd tot de vierde:

$(x-3)^4$

De potentiëringsformule voor een binomiaal verschil verhoogd tot de 4e is als volgt:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Om de binomiale waarde van het probleem te bepalen, vervangt u daarom eenvoudigweg de variabelen in de formule door de waarden van de binominale waarde:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

En ten slotte lossen we de resulterende bewerkingen op:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Demonstratie van de formule van een binomiaal in de vierde

Om het concept van de binominale verheven tot de vierde te verkennen, zullen we de formule ervan op verschillende manieren demonstreren.

Van elk paar dat naar 4 is verhoogd:

$(a+b)^4$

De algebraïsche uitdrukking van een binomiaal tot de vierde kan worden ontbonden door deze uit te breiden naar priemfactoren:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Door elk product van polynomen op te lossen, komen we dus tot de formule voor de binominale verheven tot de vierde:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Aan de andere kant kan de formule voor een binomiaal tot de vierde ook worden geverifieerd met behulp van de formule voor een binomiaal tot de kubus :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Op dezelfde manier kan bewijs worden verkregen via opmerkelijke producten (of opmerkelijke identiteiten). Gebruik bijvoorbeeld de formule voor het opmerkelijke product van het kwadraat van een som :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Respectievelijk wordt de opmerkelijke identiteitsformule voor het kwadraat van een aftrekking gebruikt om de formule voor een binominale aftrekking te bevestigen:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Opgeloste oefeningen voor leeftijdsgenoten in het vierde leerjaar

Los de volgende machten van binominale getallen op, verhoogd tot de vierde:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

zie oplossing

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Paar op de vierde plaats