Hyperbolische tangensfunctie

Op deze pagina vind je alles over de hyperbolische tangens: wat is de formule, de grafische weergave, al zijn kenmerken,…

Hyperbolische raaklijnformule

De hyperbolische tangensfunctie is een van de belangrijkste hyperbolische functies en wordt weergegeven door het symbool tanh(x) . Wiskundig gezien is de hyperbolische tangens gelijk aan de hyperbolische sinus gedeeld door de hyperbolische cosinus.

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

Uit de hyperbolische sinusformule en de hyperbolische cosinusformule kunnen we tot de volgende uitdrukking komen:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

Daarom is de hyperbolische tangensfunctie gerelateerd aan de exponentiële functie. In de volgende link kunt u alle kenmerken van dit soort functies bekijken:

➤ Zie: kenmerken van exponentiële functies

Grafische weergave van de hyperbolische tangens

Uit de formule kunnen we de hyperbolische tangensfunctie grafisch weergeven:

Zoals je in de grafiek kunt zien, heeft de hyperbolische tangensfunctie twee horizontale asymptoten op x=+1 en x=-1, aangezien de limiet van de functie als x plus oneindig nadert x=+1 oplevert, en de limiet tot minus oneindig geeft x=-1.

Aan de andere kant heeft de grafiek van de hyperbolische raaklijn niets te maken met de grafiek van de raaklijn (trigonometrische functie), die een periodieke functie is. U kunt de grafische weergave van de raaklijn en hoe deze verschilt van de hyperbolische raaklijn zien in de volgende link:

➤ Zie: grafische weergave van de raaklijnfunctie

Kenmerken van de hyperbolische tangens

De hyperbolische tangensfunctie heeft de volgende eigenschappen:

Het domein van de hyperbolische tangensfunctie bestaat uit alle reële getallen.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Daarentegen is het pad of bereik van de hyperbolische tangensfunctie beperkt tot waarden tussen -1 en +1 (niet inclusief).

$\text{Im } f= (-1,1)$

De hyperbolische tangens is een continue, bijectieve en oneven functie (symmetrisch ten opzichte van de oorsprong van de coördinaten).

$\displaystyle \text{tanh}(-x) =- \text{tanh}(x)$

De functie snijdt de X-as en de Y-as op de coördinaatoorsprong.

$(0,0)$

De limieten voor plus/minus oneindig van de hyperbolische tangensfunctie geven +1/-1. Daarom heeft de functie een horizontale asymptoot op x=+1 en een andere horizontale asymptoot op x=-1.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{tanh}(x)=+1$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{tanh}(x)=-1$

De hyperbolische tangens neemt over het gehele domein strikt toe en heeft daarom geen relatieve extrema (noch maximum noch minimum).

De functie verandert echter van convex naar concaaf op het punt x = 0, dus x = 0 is een buigpunt van de functie.

Het omgekeerde van de hyperbolische tangensfunctie wordt het hyperbolische tangens- (of hyperbolische boogtangens-) argument genoemd en de formule is als volgt:

$\displaystyle\text{tanh}^{-1}(x)=\text{arg tanh}(x)=\cfrac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

De afgeleide van de hyperbolische tangensfunctie is 1 gedeeld door het kwadraat van de hyperbolische cosinus:

$f(x)=\text{tanh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=1-\text{tanh}^2(x)$

De integraal van de hyperbolische tangensfunctie is de natuurlijke logaritme van de hyperbolische cosinus:

$\displaystyle\int\text{tanh}(x) \ dx= \ln\Bigl(\text{cosh}(x)\Bigr)+C$

De hyperbolische tangens van de som van twee verschillende getallen kan worden berekend door de volgende vergelijking toe te passen:

$\text{tanh}(x+y)=\cfrac{\text{tanh}(x)+\text{tanh}(y)}{1+\text{tanh}(x)\cdot \text{tanh}(y)}$

De Taylor-polynoom of de hyperbolische raaklijnreeks heeft de convergentiestraal
$\left|x\right|<\cfrac{\pi}{2}$

en komt overeen met de volgende uitdrukking:

$\displaystyle\text{tanh}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

Goud

$B_n$

is het Bernoulligetal .

Hyperbolische raaklijnformule

Grafische weergave van de hyperbolische tangens

Kenmerken van de hyperbolische tangens

Laat een reactie achter Reactie annuleren