Afgeleide van de hyperbolische cosinus

In dit artikel leggen we uit hoe je de hyperbolische cosinus van een functie kunt afleiden. Daarnaast vindt u voorbeelden van hyperbolische cosinusderivaten en tot slot laten we u de formule zien voor dit type trigonometrische afgeleide.

Formule afgeleid van hyperbolische cosinus

De afgeleide van de hyperbolische cosinus van x is de hyperbolische sinus van x.

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

Daarom is de afgeleide van de hyperbolische cosinus van een functie gelijk aan het product van de hyperbolische sinus van de functie en de afgeleide van die functie.

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

De tweede formule is identiek aan de eerste, het enige verschil is dat in de tweede de kettingregel wordt toegepast. De eerste formule kan dus alleen worden gebruikt om de hyperbolische cosinus van x af te leiden, terwijl de tweede formule kan worden gebruikt om de hyperbolische cosinus van elk type functie af te leiden.

Zoals u kunt zien, verschilt de formule voor de afgeleide van de cosinus hyperbolicus van de formule voor de afgeleide van de cosinus, hoewel ze enkele overeenkomsten vertonen.

➤ Zie: formule voor de afgeleide van de cosinus

Voorbeelden van de afgeleide van de hyperbolische cosinus

Gegeven de formule voor de afgeleide van de hyperbolische cosinus, lossen we hieronder verschillende voorbeelden van afgeleiden van dit type trigonometrische functies op. Vergeet niet dat u alle vragen die zich voordoen in de opmerkingen kunt stellen.

Voorbeeld 1: Afgeleide van de hyperbolische cosinus van 2x

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

In dit voorbeeld hebben we in het argument van de hyperbolische cosinus een functie die verschilt van x, dus we moeten de formule gebruiken voor de afgeleide van de hyperbolische cosinus met de kettingregel:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

De afgeleide van 2x is 2, dus de afgeleide van de hyperbolische cosinus van 2x is de hyperbolische sinus van 2x maal 2.

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

Voorbeeld 2: Afgeleide van de hyperbolische cosinus van x kwadraat

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

Zoals we hierboven hebben gezien, is de regel voor de afgeleide van de hyperbolische cosinusfunctie:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

We leiden dus enerzijds de kwadratische functie x ² af, die 2x oplevert, en vervolgens berekenen we de afgeleide van de gehele functie:

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

Bewijs van de formule voor de afgeleide van de hyperbolische cosinus

Ten slotte laten we u de formule zien die is afgeleid van de hyperbolische cosinus, zodat u kunt zien waar deze vandaan komt. Als we uitgaan van de uitdrukking van de hyperbolische cosinus:

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$