Horizontale asymptoot

In dit artikel leggen we uit wat de horizontale asymptoten van een functie zijn en hoe ze worden berekend. Daarnaast vind je meerdere voorbeelden van dit soort asymptoten om het concept volledig te begrijpen en daarnaast kun je oefenen met opgeloste oefeningen van horizontale asymptoten.

Wat is een horizontale asymptoot?

Een horizontale asymptoot van een functie is een horizontale lijn waarnaar de grafiek voor onbepaalde tijd nadert zonder deze ooit te kruisen. Daarom is de vergelijking voor een horizontale asymptoot y=k , waarbij k de waarde van de horizontale asymptoot is.

Dat wil zeggen, k is een horizontale asymptoot als de limiet van de functie wanneer x oneindig nadert gelijk is aan k .

De bovenstaande functie heeft aan beide zijden van de grafiek een horizontale asymptoot, maar een functie kan slechts aan één kant een horizontale asymptoot hebben:

De functie heeft een linkse horizontale asymptoot als de limiet tot ten minste oneindig een reëel getal oplevert.
De functie heeft een horizontale asymptoot naar rechts als de limiet tot plus oneindig een reëel getal oplevert.

horizontale asymptoot van een functie van links

Hoe de horizontale asymptoot van een functie te berekenen

Om de horizontale asymptoot van een functie te berekenen, moeten de volgende stappen worden gevolgd:

Bereken de limiet van de functie tot oneindigheden (+∞ en -∞).
Als een limiet tot oneindig een reëel getal (k) oplevert, is de lijn y=k een horizontale asymptoot van de functie.
Als geen van beide limieten overeenkomt met een reëel getal, heeft de functie geen horizontale asymptoten.

Horizontaal asymptootvoorbeeld

U kunt dus een voorbeeld zien van hoe dit wordt gedaan. We verwijderen alle horizontale asymptoten uit de volgende rationale functie:

$f(x)=\cfrac{x+1}{x-1}$

Om de horizontale asymptoten te bepalen, is het noodzakelijk om de limiet op minus oneindig en op plus oneindig van de functie te berekenen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x+1}{x-1} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \cfrac{1}{1} = \bm{1}$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x+1}{x-1} = \cfrac{-\infty}{-\infty}= \cfrac{1}{1} = \bm{1}$

➤ Zie: hoe je de oneindige onbepaaldheid tussen oneindig oplost

De twee limieten op oneindig geven 1, dus y=1 is de enige horizontale asymptoot van de functie.

Hieronder ziet u de functie grafisch weergegeven. Zoals u kunt zien, komt de functie zeer dicht bij y=1 (zowel bij plus oneindig als bij min oneindig), maar raakt deze functie nooit, omdat deze een horizontale asymptoot is.

Opmerking: in sommige speciale gevallen snijdt de functie de horizontale asymptoot op een of meer punten, maar over het algemeen kruist de grafiek van een functie nooit zijn asymptoten.

Aan de andere kant heeft deze functie ook een verticale asymptoot op x=1. Omdat het, zoals je in de grafiek kunt zien, heel dicht bij de x=1-lijn komt, maar die waarde nooit bereikt.

Opgeloste problemen van horizontale asymptoten

Oefening 1

Zoek de eventuele horizontale asymptoot van de volgende fractionele functie:

$\displaystyle f(x)= \frac{4x+3}{2x-1}$

zie oplossing

Om de horizontale asymptoten van de rationale functie te bepalen, is het noodzakelijk om de limieten op het oneindige van de functie te berekenen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x+3}{2x-1} = \frac{4(+\infty)}{2(+\infty)} = \frac{+\infty}{+\infty} = \frac{4}{2} = \bm{2}$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{4x+3}{2x-1} = \frac{4(-\infty)}{2(-\infty)} = \frac{-\infty}{-\infty} = \frac{4}{2} = \bm{2}$

In dit geval is het resultaat van de onbepaalde vorm ∞/∞ de deling van de coëfficiënten van de x van de hoogste graad, aangezien de teller en de noemer van dezelfde orde zijn.

De limieten bij plus oneindig en min oneindig van de functie geven 2, dus y=2 is een horizontale asymptoot en is de enige die de functie heeft.

Oefening 2

Vind alle horizontale asymptoten van de volgende rationale functie met een wortel:

$\displaystyle f(x)= \frac{3x}{\sqrt{x^2+2}}$

zie oplossing

Om de horizontale asymptoten van de functie te vinden, berekenen we eerst de limiet bij positieve oneindigheid:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+2}}= \frac{+\infty}{+\infty} = \frac{3}{\sqrt{1}} = \bm{3}$

En dan lossen we de limiet van de functie op tot negatief oneindig:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+2}}= \frac{-\infty}{+\infty} = \frac{-3}{\sqrt{1}} = \bm{-3}$

➤ Als je twijfels hebt over hoe de limieten tot oneindig zijn opgelost, raden we je aan de bovenstaande link te raadplegen over hoe je de oneindige onbepaaldheid tussen oneindigheid kunt oplossen.

In dit geval hebben we twee verschillende waarden van de limieten op oneindig verkregen. De functie heeft dus twee horizontale asymptoten: y=3 is een horizontale asymptoot van de functie aan de rechterkant en y=-3 is daarentegen een horizontale asymptoot van de functie aan de linkerkant.

Oefening 3

Bereken de horizontale asymptoten van de volgende stuksgewijs gedefinieerde functie:

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl}\displaystyle\frac{3x-1}{x^2}& \text{si} & x<4\\[4ex]\displaystyle\frac{x^3-2x+5}{2x^3-9} & \text{si} & x\geq 4 \end{array} \right.$

zie oplossing

Om de horizontale asymptoten van de functie te berekenen, is er geen formule, maar je moet de grenzen tot plus en min oneindig berekenen.

Om de ten minste oneindige limiet te vinden, nemen we dus de functie die in de eerste sectie is gedefinieerd:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{3x-1}{x^2}= \frac{-\infty}{+\infty}=\bm{0}$

De lijn y=0 is dus een horizontale asymptoot links van de functie.

En nu berekenen we de limiet bij plus oneindig door de functie te nemen die in de tweede sectie is gedefinieerd:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3-2x+5}{2x^3-9}= \frac{+\infty}{+\infty}=\mathbf{\frac{1}{2}}$

De lijn y=1/2 is dus een horizontale asymptoot rechts van de functie.

Wat is een horizontale asymptoot?

Hoe de horizontale asymptoot van een functie te berekenen

Horizontaal asymptootvoorbeeld

Opgeloste problemen van horizontale asymptoten

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Laat een reactie achter Reactie annuleren