De gehele set is een verzameling van alle positieve en negatieve getallen. In dit artikel zullen we het hebben over de eigenschappen van deze getallen, hoe ze worden weergegeven op de getallenlijn, welke bewerkingen je ermee kunt uitvoeren, en nog veel meer.
Wat zijn gehele getallen?
Gehele getallen zijn allemaal natuurlijke en negatieve getallen, geen decimalen. Daarom is in de wiskunde de verzameling gehele getallen de verzameling van alle natuurlijke getallen plus de verzameling negatieve getallen en het getal nul . Deze verzameling is op zijn beurt een subcategorie van de verzameling rationale getallen .
Gehele getallen zijn de natuurlijke getallen plus de negatieve getallen. Daarom omvatten gehele getallen het volgende bereik: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. Daarom is het van cruciaal belang om een goed begrip te hebben van de verzameling natuurlijke getallen en hun inverses (de negatieven) , om de gehele getallen te kunnen begrijpen.
Subsets van Z-nummers
Uit wat we tot nu toe hebben uitgelegd, kunnen we afleiden dat er twee soorten gehele getallen zijn: positieve (natuurlijke) gehele getallen en negatieve (negatieve) gehele getallen. Deze twee sets getallen worden subsets van gehele getallen genoemd.
We kunnen echter ook andere subsets verhogen, zoals even en oneven getallen, en priemgetallen en samengestelde getallen. Omdat de op de rekenkunde toegepaste verzamelingenleer ons in staat stelt getallen te groeperen op basis van elke wiskundige eigenschap die ze beschrijft.
Voorbeelden van gehele getallen
Om een beetje te verduidelijken wat een geheel getal is, volgen hier enkele voorbeelden:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Zoals je kunt zien, zijn dit de eerste acht positieve getallen (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), nul en de omgekeerde getallen van de voorgaande natuurlijke getallen. Uiteraard vormen deze zeventien voorbeelden slechts een deel van het geheel. Maar vanuit deze kleine groep waarden kun je elk geheel getal conceptualiseren.
Kenmerken van de reeks gehele getallen
Deze digitale set heeft een aantal kenmerken:
- Het is oneindig, omdat het is samengesteld uit twee oneindige numerieke verzamelingen (de natuurlijke getallen en de negatieven).
- Alle waarden in deze set zijn ondertekend: positief (+) of negatief (-), behalve nul.
- Ze hebben een bepaalde volgorde: negatieve getallen zijn kleiner dan nul en positieve getallen zijn groter dan nul: Negatieven < 0 < Positieve getallen.
- Alle gehele getallen zijn rationeel, maar niet fractioneel.
- Voor elk positief geheel getal bestaat er een gelijk negatief geheel getal, maar met tegengesteld teken.
Vertegenwoordiging van gehele getallen
In de vorige paragraaf hebben we commentaar gegeven op de volgorde van gehele getallen. Maar om het nog duidelijker te zien, laten we u het op de getallenlijn weergeven.
Zoals je kunt zien is deze getallenlijn de combinatie van de getallenlijnen van de natuurlijke getallen en de negatieve getallen. Kortom, negatieve getallen met de grootste absolute waarde zijn de getallen die het verst naar links (kleinste) gaan. Terwijl positieve getallen met de grootste absolute waarde de getallen zijn die het verst naar rechts (grootste) gaan.
Eigenschappen van gehele getallen
Voordat u leert hoe u bewerkingen met gehele getallen kunt uitvoeren, is het erg belangrijk om een reeks eigenschappen te kennen. Zo kunnen wij eenvoudig en foutloos te werk gaan.
We laten u deze eigendommen zien in deze lijst:
- commutatief: afgezien van het optellen en vermenigvuldigen van twee gehele getallen, doet de volgorde van de factoren er niet toe. Dus voor alle gehele getallen a en b:
een + b = b + een
ab = ba
- Associatief: Behalve het optellen en vermenigvuldigen van drie of meer gehele getallen, doet de volgorde van de factoren er niet toe. Daarom geldt voor alle gehele getallen a, b en c.
een + (b + c) = (a + b) + c
een · (b · c) = (a · b) · c
- Distributief: het vermenigvuldigen van een getal met een som komt overeen met het nemen van een gemene deler:
a(b + c) = ab + ac
- Neutraal element: er zijn twee getallen die bij deelname aan een bewerking met gehele getallen de beginwaarde niet wijzigen. Voor vermenigvuldigen is het 1 en voor optellen is het 0.
een 1 = één
tot + 0 = tot
- Absolute waarde: elk negatief geheel getal heeft een identiek positief geheel getal, maar zonder teken. Dit geldt ook voor positieve gehele getallen, maar de absolute waarde van een positief getal is zelf positief.
|-een| = naar
|een| = naar
Als je meer wilt weten over deze eigenschappen, raden we je aan ons artikel over wiskundige eigenschappen van bewerkingen te lezen.
Bewerkingen met gehele getallen
Je kent nu de kenmerken van de verzameling Z (geheel getal), wat de volgorde ervan is en de eigenschappen van deze verzameling voor het oplossen van bewerkingen. Daarom kunnen we al over de operaties zelf praten.
- Gehele getallen optellen: als we twee gehele getallen van hetzelfde teken optellen, voegen we eenvoudigweg hun absolute waarden toe en voegen we het teken ervoor toe. Als we echter een positief en een negatief getal optellen, moeten we hun absolute waarden aftrekken en het teken van het gehele getal met de grootste absolute waarde schrijven:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- Aftrekken van gehele getallen: bij het aftrekken van twee gehele getallen moet u de tekenwet toepassen. Omdat we hierdoor aftrekkingen met meer dan één teken op rij kunnen vereenvoudigen. En dus zetten we ze om in sommen waarvan we al weten hoe we ze moeten oplossen (uitgelegd in de vorige sectie). De volgende tabel legt de wet van tekens uit:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
Vervolgens presenteren we alle gevallen die we kunnen vinden:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Vermenigvuldiging met gehele getallen: Om vermenigvuldigingen met gehele getallen op te lossen, vermenigvuldigt u eenvoudigweg de absolute waarden. En voeg dan het overeenkomstige teken toe, met behulp van de tekenwet, die hierboven wordt uitgelegd. Nu laten we u de vier bestaande gevallen van vermenigvuldiging zien:
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- De deling van gehele getallen: ten slotte hebben we de delingen, om ze op te lossen moeten we het quotiënt van de absolute waarden maken en het teken toevoegen, gebaseerd op de wet van tekens. Vervolgens laten we u de vier cases zien die u kunt vinden:
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Hoe wordt de reeks gehele getallen in het dagelijks leven gebruikt?
De reeks gehele getallen wordt op verschillende manieren in het dagelijks leven gebruikt. Wanneer u bijvoorbeeld iets probeert te meten , worden meestal gehele getallen gebruikt, vooral positieve gehele getallen.
Ze worden ook gebruikt voor het uitvoeren van elementaire wiskundige berekeningen , zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit geldt voor alle dagelijkse handelingen die we doen, zoals: kopen, valuta berekenen, de afstand van een reis meten, de tijd bijhouden…
Andere manieren om gehele getallen in het dagelijks leven te gebruiken zijn onder meer het ordenen van objecten (bijvoorbeeld het in alfabetische volgorde plaatsen van boeken op een plank) en het volgen van locaties (bijvoorbeeld het vinden van een gebouw op een kaart). Concluderend: bijna alles wat u doet, heeft gehele waarden eromheen.