Graad van een polynoom

Op deze pagina leggen we uit wat de graad van een polynoom is (absolute graad en relatieve graad) en hoe je weet wat de graad van een polynoom is. Je zult ook verschillende voorbeelden zien van hoe de graad van een polynoom wordt bepaald en bovendien zul je zien hoe polynomen worden geclassificeerd op basis van hun graad.

Wat is de graad van een polynoom?

De definitie van de graad van een polynoom is als volgt:

In de wiskunde is de graad van een polynoom de grootste exponent waartoe de polynoomvariabele wordt verheven.

Het volgende polynoom is bijvoorbeeld van graad 5 omdat de maximale waarde van de exponenten van de termen 5 is:

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

Hoewel het een heel eenvoudig concept lijkt, is het essentieel om te weten hoe je de graad van een polynoom kunt identificeren om polynomen correct te kunnen optellen en aftrekken. Ontdek waarom dit zo belangrijk is in de voorbeelden van het optellen van polynomen en voorbeelden van het aftrekken van polynomen , waar je bovendien met opgeloste oefeningen deze twee soorten bewerkingen met polynomen kunt oefenen.

Voorbeelden van graden van veeltermen

Als we eenmaal weten hoe we de graad van een polynoom kunnen identificeren, gaan we naar andere voorbeelden kijken om de betekenis ervan te begrijpen:

Voorbeeld van een polynoom van graad nul:

$P(x) = 4$

Voorbeeld van een eerstegraadspolynoom:

$P(x) = 3x+2$

Voorbeeld van een tweedegraadspolynoom:

$P(x) = x^2+7x-4$

Voorbeeld van een derdegraadspolynoom:

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

Voorbeeld van een polynoom van de vierde graad:

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

Hoe weet je de graad van een polynoom met twee of meer variabelen?

We hebben zojuist gezien hoe de graad van een univariabele polynoom, dat wil zeggen met een enkele variabele, wordt bepaald. Maar wat is de graad van een multivariabele polynoom?

In de algebra zijn er twee soorten polynomiale graden als er meer dan één variabele is:

Absolute graad : de absolute graad komt overeen met de maximale graad van de monomialen die het polynoom vormen
Relatieve graad : de relatieve graad ten opzichte van een bepaalde variabele komt overeen met de grootste exponent van die variabele.

Om de absolute graad van een polynoom te bepalen, moet je uiteraard weten hoe de graad van een monomiaal met 2 of meer variabelen wordt berekend. Als je dus niet meer weet hoe dit is gedaan, raden we je aan onze pagina over de onderdelen te bekijken. van een monomiaal . Op deze pagina vindt u uitleg over alle onderdelen van een monomial en, meer specifiek, hoe u de graad van een multivariabele monomial kunt bepalen .

Als voorbeeld vinden we de absolute en relatieve graden van de volgende polynoom met 3 variabelen:

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

Wat de absolute graad van de polynoom betreft: de eerste monomiaal is van graad 9, de tweede term van de polynoom is van graad 6 en tenslotte is het derde element van de polynoom van graad 8. Daarom is de absolute graad van de polynoom van het probleem is 9, omdat dit de maximale graad van zijn monomialen is.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

Aan de andere kant verwijst de relatieve graad naar elke variabele afzonderlijk en bestaat uit de maximale exponent van genoemde variabele. De maximale graad van de variabele x is dus 5, de relatieve graad van de variabele y is 6, en uiteindelijk is de graad ten opzichte van de letter z 2.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

Soorten polynomen volgens de mate van hun monomialen

Bepaalde specifieke polynomen kunnen worden geclassificeerd op basis van de mate van hun termen:

Geordende polynoom : Een polynoom is geordend als de monomialen van de hoogste graad naar de laagste graad zijn geschreven.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

Het vorige polynoom is geordend omdat de monomialen ervan in aflopende volgorde op graad zijn gerangschikt.

Volledige polynoom : die polynoom die alle termen van alle graden heeft, van de monomiale term van de hoogste graad tot de onafhankelijke term.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

Logischerwijs is het aantal termen in elke volledige polynoom gelijk aan de graad van de polynoom plus 1.

Onvolledige polynoom : polynoom waarin een term van een bepaalde graad ontbreekt tussen de monomial van hogere graad en de onafhankelijke term.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

Homogene polynoom : Een polynoom is homogeen als al zijn elementen dezelfde graad hebben. Het volgende polynoom is bijvoorbeeld homogeen omdat al zijn monomialen van graad 7 zijn.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

Heterogene polynoom : een polynoom is heterogeen als ten minste één van zijn termen van een andere graad is dan de andere termen waaruit de polynoom bestaat.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$

De polynoom uit de vorige opgave heeft twee monomialen van dezelfde graad (11x ⁵ en -6y ⁵ ), maar aangezien 4x ³ een verschillende graad heeft, is het een heterogene polynoom.