Parametrische vergelijkingen van de lijn

Op deze pagina vindt u hoe u de parametervergelijkingen van een willekeurige lijn kunt berekenen, hetzij vanuit een punt en een vector, hetzij vanuit twee punten. Je zult ook ontdekken hoe je verschillende punten op een lijn kunt verkrijgen met behulp van de parametervergelijkingen. En bovendien kun je verschillende voorbeelden zien en oefenen met opgeloste oefeningen.

Hoe parametrische vergelijkingen van een lijn te vinden

Om de parametervergelijkingen van een lijn te bepalen, hebt u alleen de richtingsvector en een punt dat bij de lijn hoort nodig.

$\vv{\text{v}}$

is de richtingsvector van de lijn en

$P$

een punt dat hoort bij rechts:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

De formule voor de parametervergelijkingen van de lijn is:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesische coördinaten van elk punt op de lijn.
$P_1$

En

$P_2$

zijn de coördinaten van een bekend punt dat deel uitmaakt van de lijn.
$\text{v}_1$

En

$\text{v}_2$

zijn de componenten van de richtingsvector van de lijn.
$t$

is een scalair (een reëel getal) waarvan de waarde afhangt van elk punt op de lijn.

Daarom zijn parametervergelijkingen een manier om een lijn analytisch uit te drukken.

parametervergelijkingen van de driedimensionale lijn

Dit zijn de parametervergelijkingen van de lijn in het vlak, dat wil zeggen bij het werken met punten en vectoren van 2 coördinaten (in R2). Als we echter berekeningen in de ruimte zouden uitvoeren (in R3), zouden we een extra vergelijking voor de derde component Z moeten toevoegen:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

Houd er aan de andere kant rekening mee dat er naast parametervergelijkingen ook andere manieren zijn om een lijn wiskundig te beschrijven: de vectorvergelijking, de continue vergelijking, de impliciete (of algemene) vergelijking, de expliciete vergelijking en de punt-hellingsvergelijking van Alijn. Op onze website kunt u nagaan wat elk ervan is.

Voorbeeld van het bepalen van de parametervergelijkingen van de lijn

Laten we nu eens kijken hoe we de parametervergelijkingen van een lijn kunnen vinden aan de hand van een voorbeeld:

Schrijf de parametervergelijkingen van de lijn die door het punt gaat
$P$

en heeft

$\vv{\text{v}}$

als leidende vector:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Om de parametervergelijkingen van de lijn te berekenen, moeten we de formule ervan toepassen:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Daarom vervangen we de coördinaten van het punt en de richtingsvector in de formule:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Punten verkrijgen uit parametrische vergelijkingen van lijnen

Zodra we de parametervergelijkingen van de lijn hebben gevonden, is het heel eenvoudig om de punten te berekenen waar de lijn doorheen gaat. Om een punt op een lijn te bepalen , moet u een waarde aan de parameter geven

$\bm{t}$

parametervergelijkingen van de lijn.

Gegeven bijvoorbeeld de volgende parametervergelijkingen van de lijn:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

We kunnen een punt op de lijn verkrijgen door te vervangen

$t$

met een willekeurig nummer, bijvoorbeeld

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

En we kunnen een ander punt op de lijn berekenen als we de variabele vervangen

$t$

bijvoorbeeld met een ander nummer

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Daarom kunnen we oneindig veel punten op de lijn krijgen, omdat de variabele

$t$

kan oneindige waarden aannemen.

Hoe parametrische vergelijkingen van lijnen vanuit twee punten te berekenen

Een ander typisch probleem met parametervergelijkingen is dat ze ons 2 punten geven die bij de lijn horen en op basis daarvan moeten we de parametervergelijkingen berekenen. Laten we eens kijken hoe het wordt opgelost aan de hand van een voorbeeld:

Zoek de parametervergelijkingen van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Zoals we in de bovenstaande paragrafen hebben gezien, hebben we, om de parametervergelijkingen van een lijn te vinden, de richtingsvector en een punt erop nodig. We hebben al een punt aan de rechterkant, maar we missen de richtingsvector. We moeten dus eerst de richtingsvector van de lijn berekenen en vervolgens de parametervergelijkingen .

Om de richtingsvector van de lijn te vinden, berekent u eenvoudigweg de vector die wordt gedefinieerd door de twee punten die in de uitdrukking worden gegeven:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

En zodra we ook de richtingsvector van de lijn kennen, hoeven we alleen maar de formule toe te passen om de parametrische vergelijkingen ervan te vinden:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

In dit geval hebben we punt A gebruikt om de parametervergelijkingen te definiëren, maar het is ook correct om ze samen met het andere punt te schrijven dat ze ons in de verklaring geven:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Opgeloste problemen van parametervergelijkingen van de lijn

Oefening 1

Zoek de parametervergelijking van de lijn waarvan de richtingsvector is

$\vv{\text{v}}$

en gaat door het punt

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

zie oplossing

Om de parametervergelijkingen van de lijn te vinden, past u eenvoudigweg de formule toe:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Oefening 2

Bereken twee verschillende punten van de volgende lijn, gedefinieerd door de parametervergelijkingen:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

zie oplossing

Om punten te verkrijgen uit een lijn uitgedrukt met parametervergelijkingen, moeten waarden aan de parameter worden gegeven

$t.$

Om een eerste punt te berekenen, vervangen we daarom het onbekende

$t$

bijvoorbeeld door

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

En om een tweede punt op de lijn te vinden, geven we

$t$

bijvoorbeeld de waarde van

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Het kan zijn dat je verschillende punten hebt gekregen, omdat het afhangt van de waarden die je aan de parameter geeft

$t.$

Maar als je dezelfde procedure volgde, is alles in orde.

Oefening 3

Gezien het volgende punt:

$P(3,-1)$

Bepaal of dit punt al dan niet tot de volgende lijn behoort:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

zie oplossing

Om te controleren of het punt bij de lijn hoort, moet je de coördinaten ervan in de vergelijkingen van de lijn vervangen en kijken of we in elke vergelijking dezelfde waarde van de parameter vinden

$t.$

In een dergelijk geval betekent dit dat het punt deel uitmaakt van de lijn, anders impliceert dit dat de lijn niet door dit punt gaat.

We vervangen dus de coördinaten van het punt in de parametervergelijkingen van de lijn:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

En we lossen de twee resulterende vergelijkingen op:

X-coördinaten

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Y-coördinaten

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

We hebben twee waarden verkregen van

$t$

verschillend, dus het punt ligt niet op de lijn.

Oefening 4

Bereken de parametervergelijkingen van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

zie oplossing

Om de parametervergelijkingen van een lijn te berekenen, moeten we de richtingsvector en een van zijn punten kennen. In dit geval hebben we al een punt op de lijn, maar missen we de richtingsvector ervan. We moeten daarom eerst de richtingsvector van de lijn berekenen en vervolgens de parametervergelijkingen.

Om de richtingsvector van de lijn te vinden, berekent u eenvoudigweg de vector die wordt gedefinieerd door de twee punten die in de uitdrukking worden gegeven:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

En zodra we de richtingsvector van de lijn al kennen, passen we eenvoudigweg de formule toe om de parametervergelijkingen ervan te vinden:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

In dit geval hebben we punt A gekozen om de parametervergelijkingen te definiëren, maar het is ook geldig om ze te schrijven met het andere punt dat ze ons in de verklaring geven:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Toepassingen van parametervergelijkingen

Het is duidelijk dat het belangrijkste gebruik van parametervergelijkingen het definiëren van lijnen is, zoals we hebben gezien. Parametrische vergelijkingen worden echter ook gebruikt om andere soorten geometrische elementen te beschrijven.

Elke omtrek kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt door parametervergelijkingen. Ja

$r$

is de straal van de cirkel en

$C(x_0,y_0)$

zijn de coördinaten van het middelpunt, de parametrering van een cirkel is:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Op dezelfde manier kan ook een ellips worden geconfigureerd. Ja

$C(x_0,y_0)$

zijn de coördinaten van het midden van de ellips,

$a$

de horizontale straal en

$b$

zijn verticale straal, de parametervergelijkingen van een ellips zijn:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Op dezelfde manier kan een parametrische weergave van andere curven worden gemaakt, zoals een parabool of zelfs een hyperbool. Hoewel we ze in dit artikel niet laten zien omdat ze veel ingewikkelder zijn.

Ten slotte kan een plan ook worden gedefinieerd door een parametrische uitdrukking. In feite zijn de parametervergelijkingen van een vlak:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$