Afstand tussen twee vlakken (formule)

Op deze pagina vindt u hoe u de afstand tussen twee vlakken kunt vinden. U zult met name zien welke twee methoden er bestaan en wanneer het beter is om de een of de ander te gebruiken. Daarnaast heb je voorbeelden en opgeloste oefeningen van de afstand tussen twee vlakken zodat je deze goed kunt begrijpen.

Hoe wordt de afstand tussen twee vlakken berekend?

De afstand tussen twee vlakken in de ruimte hangt af van de relatieve positie tussen deze twee vlakken:

Als de twee vlakken elkaar snijden of samenvallen , is de afstand ertussen nul omdat ze elkaar in een punt snijden.
Als de twee vlakken evenwijdig zijn, wordt de afstand tussen de twee vlakken berekend door een punt op een van beide vlakken te nemen en de afstand tussen dat punt en het andere vlak te berekenen.

Onthoud dat loodrechte vlakken een soort kruisende vlakken zijn, dus de afstand tussen twee loodrechte vlakken is ook nul.

Om de afstand tussen twee vlakken te berekenen, moet u dus eerst bepalen wat de relatieve positie daartussen is en daarom is het essentieel dat u weet hoe u de relatieve positie van twee vlakken kunt vinden . Als het u niet helemaal duidelijk is hoe u dit moet doen, raden wij u aan de link te bekijken, waar u een zeer gedetailleerde uitleg vindt, evenals voorbeelden en opgeloste oefeningen.

Hoe de afstand tussen twee evenwijdige vlakken te berekenen

Twee evenwijdige vlakken liggen altijd op dezelfde afstand van elkaar. Om de afstand tussen twee evenwijdige vlakken te vinden, kunnen we daarom een punt op een van de twee vlakken nemen en de afstand vanaf dat punt tot het andere vlak berekenen.

De formule om de afstand tussen twee evenwijdige vlakken te berekenen is dus:

Beschouw twee evenwijdige vlakken, gegeven een punt op een van de vlakken en de algemene (of impliciete) vergelijking van het andere vlak:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

De formule voor het vinden van de afstand tussen twee evenwijdige vlakken die door het punt van het ene vlak gaan en de algemene vergelijking van het andere vlak is:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Dit is een formule die wordt gebruikt om de afstand tussen twee evenwijdige vlakken te vinden. Soms kunnen we echter een andere, nog eenvoudigere methode gebruiken:

De coëfficiënten A, B en C van de impliciete (of algemene) vergelijkingen van twee plannen moeten proportioneel zijn. Welnu, als we in een probleem twee vlakken vinden waarvan de coëfficiënten A, B en C precies hetzelfde zijn, kunnen we een andere formule gebruiken zonder enig punt van een vlak te hoeven kennen:

Beschouw de algemene (of impliciete) vergelijkingen van twee parallelle vlakken met identieke coëfficiënten A, B en C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

De formule voor het vinden van de afstand tussen de twee evenwijdige vlakken uit de algemene vergelijkingen van de twee vlakken is:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Uiteindelijk zijn er twee manieren om de afstand tussen twee evenwijdige vlakken te vinden. De eerste is nuttiger als we een punt op een van de twee vlakken kennen. Als we echter de algemene vergelijking van de twee vlakken kennen, is het beter om de afstand te berekenen met de tweede formule.

Voorbeeld van het berekenen van de afstand tussen twee evenwijdige vlakken

Als voorbeeld berekenen we de afstand tussen de volgende twee vlakken:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

We moeten eerst verifiëren dat we te maken hebben met twee evenwijdige vlakken. Alle coëfficiënten van de vlakvergelijkingen zijn dus proportioneel, behalve de onafhankelijke termen, dus het zijn in feite twee parallelle vlakken.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

In dit geval vallen de termen A, B en C van de vergelijkingen van de twee vlakken niet samen, maar we kunnen dit bereiken door de gehele vergelijking van het tweede vlak door twee te delen:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

De vergelijkingen van de twee vlakken hebben nu dus al dezelfde coëfficiënten A, B en C. Daarom kunnen we eenvoudig de afstand tussen de twee vlakken berekenen met de volgende formule voor de afstand tussen 2 evenwijdige vlakken:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

We vervangen de waarden en lossen de bewerkingen op:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Zodat de afstand tussen het ene vlak en het andere vlak gelijk is aan één.

Afstandsproblemen tussen twee vlakken oplossen

Oefening 1

Bereken de afstand tussen de volgende twee vlakken:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

zie oplossing

We moeten eerst verifiëren dat we te maken hebben met twee evenwijdige vlakken. Alle coëfficiënten van de vergelijkingen van de twee vlakken zijn proportioneel, met uitzondering van de onafhankelijke termen, dus dit zijn inderdaad twee parallelle vlakken.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

In dit geval berekenen we de afstand tussen de twee vlakken met de directe formule, aangezien hun coëfficiënten A, B en C gelijk zijn:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

We vervangen dus de waarden in de formule en voeren de bewerkingen uit:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Oefening 2

Bereken de afstand tussen de volgende twee vlakken:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

zie oplossing

Allereerst moeten we verifiëren dat het twee evenwijdige vlakken zijn om de afstand te bepalen die ze scheidt. Om dit te doen, controleren we de evenredigheid tussen de coëfficiënten van de twee plannen:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Maar de coëfficiënten A, B en C van de twee vlakken zijn niet proportioneel, alleen de parameters A en B. Daarom zijn de twee vlakken niet evenwijdig maar snijden ze elkaar en daarom is de afstand ertussen gelijk aan 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Oefening 3

Bereken de afstand tussen de volgende twee evenwijdige vlakken:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

zie oplossing

Het voorgrondvlak wordt gedefinieerd in de vorm van parametrische vergelijkingen, dus om de directe formule voor de afstand tussen twee parallelle vlakken toe te passen, moeten we deze eerst omzetten in de vorm van een algemene vergelijking en dit kost veel berekeningen en tijd. Daarom is het sneller als we een punt op dat vlak nemen en de afstand vanaf dat punt tot het andere vlak berekenen.

De coördinaten van een punt dat tot het vlak π ₁ behoort, komen dus overeen met de onafhankelijke termen van elke parametervergelijking:

$P(3,-2,5)$