Continue vergelijking van de lijn

Op deze pagina vindt u alles over de continuvergelijking van een lijn: wat deze betekent, hoe deze wordt berekend vanuit zijn punt en zijn vector en hoe deze wordt bepaald met slechts twee punten. Daarnaast krijg je diverse voorbeelden te zien en kun je zelfs oefenen met oefeningen en stap voor stap opgeloste problemen.

Wat is de continue vergelijking van de lijn?

Bedenk dat de wiskundige definitie van een lijn een reeks opeenvolgende punten is die in dezelfde richting worden weergegeven, zonder krommen of hoeken.

De vergelijking met ononderbroken lijnen is dus een manier om elke lijn wiskundig uit te drukken. En hiervoor is het voldoende om een punt te kennen dat bij de lijn hoort en de richtingsvector van de lijn.

Hoe wordt de continue vergelijking van de lijn berekend?

$\vv{\text{v}}$

is de richtingsvector van de lijn en

$P$

een punt dat hoort bij rechts:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

De formule voor de continue vergelijking van de lijn is:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesiaanse coördinaten van elk punt op de lijn.
$P_1$

En

$P_2$

zijn de coördinaten van een bekend punt dat deel uitmaakt van de lijn.
$\text{v}_1$

En

$\text{v}_2$

zijn de componenten van de richtingsvector van de lijn.

continue vergelijking van lijn 4-definitie

Deze formule is voor de continue vergelijking van de lijn in het vlak, dat wil zeggen bij het werken met punten en vectoren van 2 coördinaten (in R2). Maar als we berekeningen in de ruimte zouden uitvoeren (in R3), zouden we een extra component aan de vergelijking van de lijn moeten toevoegen:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

Houd er aan de andere kant rekening mee dat er naast de continue vergelijking ook andere manieren zijn om een lijn analytisch uit te drukken: de vectorvergelijking, parametervergelijkingen, de impliciete (of algemene) vergelijking, de expliciete vergelijking en de punt-hellingsvergelijking van Aline. Op onze website kunt u nagaan wat het is.

In feite kan de continue vergelijking van een lijn worden verkregen uit de parametervergelijkingen ervan. Kijk naar de formule voor de parametervergelijkingen op de lijn :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Als we de instelling wissen

$t$

uit elke parametervergelijking verkrijgen we:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

Door de twee resulterende vergelijkingen gelijk te stellen, verkrijgen we de continue vergelijking van de lijn:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Voorbeeld van hoe u de continue vergelijking van de lijn kunt vinden

Laten we eens kijken hoe de continue vergelijking van de lijn wordt bepaald aan de hand van een voorbeeld:

Schrijf de continue vergelijking van de lijn die door het punt gaat
$P$

en heeft

$\vv{\text{v}}$

als leidende vector:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

Om de continue vergelijking van de lijn te vinden, past u eenvoudigweg de formule toe:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

Hoe de continue vergelijking van de lijn vanuit twee punten te vinden

Een veelvoorkomend probleem met de continue vergelijking is dat ze ons 2 punten geven die bij de lijn horen en op basis daarvan moeten we de continue vergelijking berekenen. Laten we eens kijken hoe het wordt opgelost aan de hand van een voorbeeld:

Zoek de continue vergelijking van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

Zoals we in de bovenstaande secties hebben gezien, moeten we, om de continue vergelijking van een lijn te berekenen, de richtingsvector en een punt erop kennen. We hebben al een punt aan de rechterkant, maar we missen de richtingsvector. We moeten daarom eerst de richtingsvector van de lijn berekenen en vervolgens de continue vergelijking .

Om de richtingsvector van de lijn te bepalen, berekent u eenvoudigweg de vector die wordt gedefinieerd door de twee punten die in de uitdrukking worden gegeven:

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

En zodra we de richtingsvector van de lijn al kennen, hoeven we alleen maar de formule toe te passen om de continue vergelijking van de lijn te vinden:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

In dit geval hebben we punt A gebruikt om de continue vergelijking van de lijn te definiëren, maar het is ook correct om het met het andere punt te schrijven dat ze ons in de verklaring geven:

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

Opgeloste problemen van de continue vergelijking van de lijn

Oefening 1

Zoek de continue vergelijking van de lijn waarvan de richtingsvector is

$\vv{\text{v}}$

en gaat door het punt

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

zie oplossing

Om de continue vergelijking van de lijn te vinden, past u eenvoudigweg de formule toe:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

Oefening 2

Bepaal de richtingsvector en een punt op de volgende lijn:

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

zie oplossing

De lijn in de verklaring wordt uitgedrukt in de vorm van een continue vergelijking, waarvan de formule is:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Zodat de componenten van de richtingsvector van de lijn overeenkomen met de noemers van de breuken:

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

En de cartesische coördinaten van een punt op de lijn zijn de getallen van de tellers waarvan het teken is veranderd :

$P(1,-4)$

Oefening 3

Zoek de continue vergelijking van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

zie oplossing

Om de continue vergelijking van een lijn te berekenen, moeten we de richtingsvector en een van zijn punten kennen. In dit geval hebben we al een punt op de lijn, maar missen we de richtingsvector ervan. We moeten daarom eerst de richtingsvector van de lijn berekenen en vervolgens de vervolgvergelijking.

Om de richtingsvector van de lijn te vinden, berekent u eenvoudigweg de vector die wordt gedefinieerd door de twee punten die in de uitdrukking worden gegeven:

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

En zodra we de richtingsvector van de lijn al kennen, passen we eenvoudigweg de formule toe om de continue vergelijking ervan te vinden:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

In dit geval hebben we punt A gekozen om de continue vergelijking te definiëren, maar het is ook geldig om het te schrijven met het andere punt dat ze ons in de verklaring geven:

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

Oefening 4

Gezien het volgende punt:

$P(0,3)$

Bepaal of deze al dan niet tot de lijn behoort die wordt gedefinieerd door de volgende continue vergelijking:

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

zie oplossing

Om te controleren of het punt bij de lijn hoort, moet u de coördinaten van het punt in de vergelijking van de lijn invullen. Als het punt aan de vergelijking voldoet, betekent dit dat het feitelijk tot de lijn behoort. Als daarentegen niet aan de vergelijking wordt voldaan, betekent dit dat het punt geen deel uitmaakt van de lijn.

Daarom vervangen we de coördinaten van het punt in de vergelijking van de gegeven lijn:

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$