▷ Hoe de gemeenschappelijke factor te verwijderen (of te extraheren) ✅ (opgeloste oefeningen)

Op deze pagina leggen we uit hoe je de gemeenschappelijke factor van een polynoom kunt nemen (of extraheren). Hier vindt u de verschillende soorten gemeenschappelijke factoren en ziet u verschillende voorbeelden van hoe dit wordt bereikt. Daarnaast kun je trainen met stap voor stap opgeloste oefeningen.

Wat is de gemeenschappelijke factor?

In de wiskunde is de gemeenschappelijke factor een factor die aanwezig is in alle termen van een polynoom, dat wil zeggen dat de gemeenschappelijke factor bestaat uit een cijfer of letter die elke term van een polynoom vermenigvuldigt.

Als voorbeeld zullen we identificeren wat de gemeenschappelijke factor is van de volgende polynoom:

$4x+4y$

Op nummer 4 wordt het herhaald in alle termen van de polynoom:

$\color{red} \bm{4} \color{black} x + \color{red} \bm{4} \color{black} y$

De gemeenschappelijke factor van dit polynoom is daarom gelijk aan 4.

$\displaystyle \text{Factor com\'un} = 4 {\phantom{\frac{1}{2}}$

Hoe de gemeenschappelijke factor te verkrijgen (of te extraheren).

Als we eenmaal de betekenis van de gemeenschappelijke factor kennen, gaan we kijken hoe we de gemeenschappelijke factor uit een polynoom kunnen halen.

Wanneer twee of meer termen van een polynoom een gemeenschappelijke factor hebben, kan de gemeenschappelijke factor worden genomen (of geëxtraheerd) om optellingen of aftrekkingen van de polynoom om te zetten in een vermenigvuldiging.

Dit lijkt misschien een beetje moeilijk om te schrijven, dus laten we eens kijken hoe we de gemeenschappelijke factor uit een polynoom kunnen extraheren met een voorbeeld:

de gemeenschappelijke factor uit een polynoom extraheren of verwijderen

Zoals je in het voorbeeld kunt zien, wordt het getal 5 herhaald in de monomial 5x en in de monomial 5y, dus de gemeenschappelijke factor van de polynoom is 5. Dus zodra we de gemeenschappelijke factor hebben geïdentificeerd, kunnen we de som van de monomialen omzetten in een Product.

Vergeet niet de haakjes te plaatsen bij het extraheren van de gemeenschappelijke factor, omdat de gemeenschappelijke factor alle optellingen moet vermenigvuldigen.

Het verwijderen van de gemeenschappelijke factor is de omgekeerde werking van de distributieve eigenschap , dat wil zeggen dat we de distributieve eigenschap feitelijk omgekeerd toepassen. Daarom kunnen we altijd verifiëren dat we de gemeenschappelijke factor correct hebben geëxtraheerd door het omgekeerde proces uit te voeren:

Als we door toepassing van de distributieve eigenschap vanaf het begin dezelfde polynoom verkrijgen, betekent dit dat we de gemeenschappelijke factor correct hebben verkregen.
Aan de andere kant, als het resultaat van het gebruik van de distributieve eigenschap een andere polynoom is die verschilt van de oorspronkelijke polynoom, impliceert dit dat we een fout hebben gemaakt bij het extraheren van de gemeenschappelijke factor.

gemeenschappelijke factor en distributieve eigendom

Voorbeelden van het nemen (of extraheren) van gemeenschappelijke factoren

We geven u nog meer voorbeelden om het concept van de gemeenschappelijke factor beter te begrijpen:

voorbeeld 1

Zoals je in dit voorbeeld ziet, kan een gemeenschappelijke factor uit meer dan twee termen tegelijk worden afgeleid:

rekenmachine met gemeenschappelijke factoren

Voorbeeld 2

Je kunt ook een gemeenschappelijke factor uit de variabelen (of letters) halen:

extractie van de gemeenschappelijke factor in algebraïsche uitdrukkingen

In dit geval vermenigvuldigt de letter x de twee termen van de polynoom, dus we kunnen de algebraïsche uitdrukking vereenvoudigen door de variabele x als gemeenschappelijke factor te nemen.

Voorbeeld 3

In dit voorbeeld wordt in de eerste term de variabele x verheven tot de macht 3 en in de tweede term wordt x verheven tot de macht 2, dus beide termen hebben twee x-en. De gemeenschappelijke factor is dus niet zomaar een x, maar x ² :

algebra gemeenschappelijke factor van x kwadraat

Aan de andere kant, merk op dat als de gemeenschappelijke factor van de polynoom precies samenvalt met een term, we bij het extraheren van de gemeenschappelijke factor een 1 op zijn plaats moeten zetten . Als we er niets voor in de plaats zouden zetten, zouden we anders geen gelijkwaardige uitdrukking krijgen.

hoe je een gemeenschappelijke factor kunt extraheren of vinden

Voorbeeld 4

Soms is de gemeenschappelijke factor niet zo duidelijk en niet direct zichtbaar, maar is het eerder een deler van de coëfficiënten van monomialen. De gemeenschappelijke factor in het volgende voorbeeld is bijvoorbeeld 3, aangezien de faculteitsontbinding van 6 en 9 3 bevat:

Dit type gemeenschappelijke factor wordt in sommige algebraboeken de maximale gemeenschappelijke factor genoemd, aangezien de gemeenschappelijke factor tegelijkertijd de grootste gemene deler (GCD) is van de coëfficiënten van de polynoomtermen.

Als je zo ver bent gekomen, betekent dit dat je waarschijnlijk al weet hoe je de gemeenschappelijke factor van een polynoom perfect kunt vinden. Heeft u zich echter niet afgevraagd waar de gemeenschappelijke factor voor dient? Eén toepassing van de gemeenschappelijke factor is dat deze wordt gebruikt om polynomen in factoren te ontbinden. Als je nog steeds niet weet wat het is, kun je in deze link zien wat polynomiale ontbinding is en waarom de gemeenschappelijke factor zo belangrijk is om deze polynomiale bewerking uit te voeren.

Gemeenschappelijke factor voor breuken

De gemeenschappelijke factor is ook erg handig voor het vereenvoudigen van termen in breuken met polynomen in de teller en de noemer.

Om te zien hoe dit wordt gedaan, vereenvoudigen we de volgende breuk als voorbeeld:

$\cfrac{2x^2+4}{14x+8y}$

Het eerste dat we moeten doen is de gemeenschappelijke factor van het tellerpolynoom en het noemerpolynoom vinden. In dit geval is de gemeenschappelijke factor van de twee polynomen 2:

$\cfrac{\color{red} \bm{2} \color{black}\cdot x^2+\color{red} \bm{2} \color{black}\cdot 2 }{\color{red} \bm{2} \color{black}\cdot 7x+\color{red} \bm{2} \color{black} \cdot 4y}$

Laten we nu de gemeenschappelijke factor van de twee polynomen extraheren:

$\cfrac{\color{red} \bm{2} \color{black}\left(x^2+2\right)}{\color{red} \bm{2} \color{black}\left(7x+4y\right)}$

En zodra we een gemeenschappelijke factor voor beide polynomen hebben verkregen, moeten we de factoren verwijderen die zich herhalen in de teller en de noemer :

$\cfrac{\cancel{2}\left(x^2+2\right)}{ \cancel{2}\left(7x+4y\right)}$

Concluderend is de vereenvoudigde breuk:

$\cfrac{x^2+2}{7x+4y}$

Gemeenschappelijke factor door groepering

Eén manier om de termen van een polynoom te reduceren is door de gemeenschappelijke factormethode te gebruiken door de termen te groeperen , ook wel dubbele gemeenschappelijke factorextractie genoemd. Zoals de naam al doet vermoeden, bestaat deze procedure uit het vereenvoudigen van de uitdrukking van een polynoom door de termen ervan tweemaal te groeperen.

Deze methode is een beetje ingewikkeld, dus laten we eens kijken hoe deze stap voor stap wordt toegepast met de volgende polynoom:

$x^2+2x+5x+10$

We moeten eerst twee verschillende mogelijke gemeenschappelijke factoren bepalen, dus verdelen we de polynoom in twee delen:

$(x^2+2x)+(5x+10)$

In dit geval hebben de elementen x ² en 2x de letter x als gemeenschappelijke factor, en hebben de termen 5x en 10 5 als gemeenschappelijke factor (aangezien 10 een veelvoud van 5 is). We hebben dus deze twee factoren gemeen:

$(x\cdot x+2\cdot x)+(5\cdot x+5\cdot 2)$

$x(x+2)+5(x+2)$

En aangezien de overige twee polynoomproducten de factor (x+2) hebben, kunnen we de polynoom als volgt vereenvoudigen:

$(x+2)\cdot (x+5)$

Zoals u kunt zien, is deze methode helemaal niet eenvoudig. Aarzel dus niet om ons al uw vragen te stellen in de reacties, en wij zullen ze zo snel mogelijk beantwoorden.

Oefeningen met gemeenschappelijke factoren worden stap voor stap opgelost

We laten je een aantal oefeningen stap voor stap oplossen, zodat je kunt oefenen met het extraheren van de gemeenschappelijke factor uit een polynoom.

Oefening 1

Haal de gemeenschappelijke factor uit de volgende polynomen:

$\text{A)} \ 6a+6b$

$\text{B)} \ 3x^2+8x$

$\text{C)} \ 2x-4$

$\text{D)} \ -5x^4+x^2$

Zie de oplossing

A) Alle termen waaruit de eerste polynoom bestaat, hebben een 6, dus de gemeenschappelijke factor van de polynoom is 6:

$6a+6b = 6\cdot a + 6 \cdot b = \bm{6\cdot (a+b)}$

B) In de tweede polynoom hebben alle elementen minstens één letter x. Hier is de gemeenschappelijke factor van de polynoom:

$3x^2+8x = 3x \cdot x+8\cdot x= \bm{x\cdot (3x+8)}$

C) De eerste monomial van de polynoom heeft duidelijk een 2, en de tweede monomial is een veelvoud van 2. De gemeenschappelijke factor van de polynoom is dus 2:

$2x-4= 2\cdot x - 2\cdot 2 =\bm{2\cdot (x-2)}$

D) In de laatste polynoom zijn alle variabelen minimaal kwadraat. De gemeenschappelijke factor is dus x ² :

$-5x^4+x^2= -5x^2\cdot x^2 +1 \cdot x^2 = \bm{x^2\cdot (-5x^2+1)}$

Onthoud dat wanneer de gemeenschappelijke deler identiek is aan een term, er een 1 op zijn plaats moet worden gezet.

Oefening 2

Beschouw de gemeenschappelijke factor van de volgende polynomen:

$\text{A)} \ 8x^2 + 10y^3$

$\text{B)} \ 5x^3-2x^2+4x$

$\text{C)} \ 25x^5+15x^3-20$

$\text{D)} \ 9x^4-3x^3-21x^2-6x$

Zie de oplossing

A) Alle coëfficiënten van de elementen waaruit de eerste polynoom bestaat, zijn veelvouden van 2, dus door de gemeenschappelijke factor te extraheren wordt de polynoom:

$\begin{array}{l} 8x^2 + 10y^3 = \\[2ex] = 2\cdot 4x^2 +2\cdot 5y^3 = \\[2ex] = \bm{2\left(4x^2+5y^3\right)} \end{array}$

B) In alle termen van de polynoom is er minstens één x, dus:

$\begin{array}{l}5x^3-2x^2+4x = \\[2ex] = 5x^2\cdot x-2x\cdot x+4\cdot x= \\[2ex] =\bm{x\left(5x^2-2x+4\right)}\end{array}$

C) De grootste gemene deler van de coëfficiënten van alle termen van de polynoom is 5, zodat de gemeenschappelijke deler van genoemde polynoom 5 is:

$\begin{array}{l}25x^5+15x^3-20 = \\[2ex] =5\cdot 5x^5+5\cdot 3x^3-5\cdot 4 = \\[2ex] = \bm{5\left(5x^5+3x^3-4\right)}\end{array}$

D) Alle termen in de polynoom hebben minimaal één x en bovendien zijn alle coëfficiënten een veelvoud van 3. Daarom is de gemeenschappelijke factor van de polynoom 3x:

$\begin{array}{l}9x^4-3x^3-21x^2-6x = \\[2ex] = 3x^3\cdot 3x-x^2\cdot 3x-7x\cdot 3x-2\cdot 3x= \\[2ex] = \bm{3x\left(3x^3-x^2-7x-2 \right)}\end{array}$

Oefening 3

Zoek de gemeenschappelijke factor van elk van de volgende polynomen en trek deze af:

$\text{A)} \ 4a^2b^5+7a^4b^3-10a^6b^4$

$\text{B)} \ 16x^4y^7z+8x^2y^2z^2+ 24x^3y^5$

$\text{C)} \ 6ab^2c^4-6ab^2c+12a^3b^2c$

$\text{D)} \ 18x^2y+10xy-5xy^3+4z$

Zie de oplossing

A) Alle monomials hebben minimaal de letter

$a$

kwadraat en de letter

$b$

in blokjes, dus de gemeenschappelijke factor is

$a^2b^3:$

$\begin{array}{l} 4a^2b^5+7a^4b^3-10a^6b^4 = \\[2ex] = 4b^2\cdot a^2b^3+7a^2\cdot a^2b^3-10a^4b\cdot a^2b^3 = \\[2ex] = \bm{a^2b^3\left(4b^2+7a^2-10a^4b\right)} \end{array}$

B) Alle coëfficiënten van de polynoom zijn veelvouden van 8 en hebben bovendien minimaal x ² en y ² als letterlijke delen. De gemeenschappelijke factor van de polynoom is daarom 8x ² y ² .

$\begin{array}{l}16x^4y^7z+8x^2y^2z^2+ 24x^3y^5 = \\[2ex] = 2x^2y^5z \cdot 8x^2y^2 +z^2\cdot 8x^2y^2+ 3xy^3\cdot 8x^2y^2= \\[2ex] =\bm{8x^2y^2\left(2x^2y^5z+z^2+3xy^3\right)}\end{array}$

C) In dit geval valt de gemeenschappelijke factor samen met de waarde van het tussenliggende monomiaal

$\left(6ab^2c\right)$

, aangezien de coëfficiënten van de andere monomialen veelvouden zijn van

$6$

en dat heeft absoluut iedereen

$ab^2c:$

$\begin{array}{l}6ab^2c^4-6ab^2c+12a^3b^2c = \\[2ex] =c^3\cdot 6ab^2c -1\cdot 6ab^2c+2a^2 \cdot 6ab^2c = \\[2ex] = \bm{6ab^2c\left(c^3-1+2a^2\right)}\end{array}$

D) In dit specifieke geval heeft de polynoom geen gemeenschappelijke factor, aangezien geen enkele factor in alle termen van de polynoom wordt herhaald. Daarom kan de polynoomuitdrukking niet algebraïsch worden vereenvoudigd.

$18x^2y+10xy-5xy^3+4z$

Oefening 4

Vereenvoudig de volgende algebraïsche breuken door de gemeenschappelijke factor te nemen:

$\text{A)} \ \cfrac{10x^2+30}{5x-20}$

$\text{B)} \ \cfrac{16x^2-8}{24x-32}$

$\text{C)} \ \cfrac{49x^3+7x}{35x^2-14}$

$\text{D)} \ \cfrac{8x^4+16x^3-4x^2}{12x^2+20x}$

Zie de oplossing

De procedure voor het vereenvoudigen van een algebraïsche breuk, dat wil zeggen een breuk met polynomen, is het extraheren van de gemeenschappelijke factor uit de teller en de noemer van de breuk en het elimineren van de factoren die zich boven en onder herhalen. onder de breuk. DUS:

$\text{A)} \quad \begin{array}{l} \cfrac{10x^2+30}{5x-20}= \cfrac{5\cdot 2x^2 +5\cdot 6}{5\cdot x-5\cdot 4} = \\[4ex] = \cfrac{5(2x^2+6)}{5(x-4)}= \cfrac{\cancel{5}(2x^2+6)}{\cancel{5}(x-4)} = \\[4ex] = \cfrac{\bm{2x^2+6}}{\bm{x-4}} \end{array}$

$\text{B)} \quad \begin{array}{l} \cfrac{16x^2-8}{24x-32} = \cfrac{8 \cdot 2x^2+8 \cdot (-1)}{8 \cdot 3x-8 \cdot 4} =\\[4ex] = \cfrac{8(2x^2-1)}{8(3x-4)}= \cfrac{\cancel{8}(2x^2-1)}{\cancel{8}(3x-4)} =\\[4ex] = \cfrac{\bm{2x^2-1}}{\bm{3x-4}} \end{array}$

$\text{C)} \quad \begin{array}{l}\cfrac{49x^3+7x}{35x^2-14}=\cfrac{7x\cdot 7x^2+7x\cdot 1}{7 \cdot 5x^2+7\cdot (-2)} =\\[4ex] = \cfrac{7x(7x^2+1)}{7(5x^2-2)}= \cfrac{\cancel{7}x(7x^2+1)}{\cancel{7}(5x^2-2)}=\\[4ex] = \cfrac{\bm{x(7x^2+1)}}{\bm{5x^2-2}} \end{array}$

$\text{D)} \quad \begin{array}{l} \cfrac{8x^4+16x^3-4x^2}{12x^2+20x}=\cfrac{4x^2\cdot 2x^2+4x^2\cdot 4x+4x^2\cdot (-1)}{4x\cdot 3x+4x\cdot 5}=\\[4ex] = \cfrac{4x^2(2x^2+4x-1)}{4x(3x+5)}= \cfrac{\cancel{4}x^{\cancel{2}}(2x^2+4x-1)}{\cancel{4}\cancel{x}(3x+5)}=\\[4ex] = \cfrac{\bm{x(2x^2+4x-1)}}{\bm{3x+5}} \end{array}$

Oefening 5

Neem de gemeenschappelijke factor van de volgende polynoomuitdrukkingen:

$\text{A)} \ \cfrac{7}{3}x^2+ \cfrac{8}{3}x-\cfrac{2}{3}$

$\text{B)} \ \sqrt{12x^3+16}$

$\text{C)} \ x^2+4x-3x-12$

$\text{D)} \ \cfrac{3}{4}x^2+ \cfrac{1}{2}x-\cfrac{5}{6}$

Zie de oplossing

A) Alle termen van de polynoom kunnen factorieel worden ontleed tot de derde, daarom:

$\begin{array}{l} \cfrac{7}{3}x^2+ \cfrac{8}{3}x-\cfrac{2}{3}= \\[3ex] = \cfrac{1}{3}\cdot 7x^2+ \cfrac{1}{3}\cdot 8x-\cfrac{1}{3}\cdot 2 = \\[3ex] = \mathbf{\cfrac{1}{3}}\bm{\left(7x^2+8x-2\right)} \end{array}$

B) De gemeenschappelijke factor van de polynoom binnen de wortel is 4, maar we kunnen de gemeenschappelijke factor berekenen door de vierkantswortel te berekenen:

$\begin{array}{l}\sqrt{12x^3+16}= \\[2ex] =\sqrt{4\cdot 3x^3+4\cdot 4}= \\[2ex]=\sqrt{4\left(3x^3+4\right)}= \\[2ex] =\bm{2\sqrt{3x^3+4}}\end{array}$

C) In deze polynoom kunnen we het proces van het extraheren van de gemeenschappelijke factor toepassen door te groeperen:

$\begin{array}{l}x^2+4x-3x-12= \\[2ex] =x(x+4)-3(x+4) = \\[2ex] = \bm{(x+4)(x-3)}\end{array}$

D) Alle breukcoëfficiënten van de polynoom zijn veelvouden van de helft, dus de gemeenschappelijke factor van de polynoom is ½.

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{3}{4}x^2+ \frac{1}{2}x-\frac{5}{6}= \\[4ex] \displaystyle = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}x^2+ \frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{3}= \\[4ex] \displaystyle = \mathbf{\frac{1}{2}}\bm{\left(}\mathbf{\frac{3}{2}}\bm{x^2+x-}\mathbf{\frac{5}{3}} \bm{\right)}\end{array}$

👇👇👇 Wat vond je van de uitleg? Vond je het leuk? Onthoud ook dat als u vragen heeft over hoe de gemeenschappelijke factor van een polynoom wordt bepaald of als u een oefening niet begrijpt, u ons deze altijd in de opmerkingen kunt stellen, en wij zullen u antwoorden. 👇👇👇

Extraheer of verwijder de gemeenschappelijke factor

Wat is de gemeenschappelijke factor?

Hoe de gemeenschappelijke factor te verkrijgen (of te extraheren).

Voorbeelden van het nemen (of extraheren) van gemeenschappelijke factoren

voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Voorbeeld 4

Gemeenschappelijke factor voor breuken

Gemeenschappelijke factor door groepering

Oefeningen met gemeenschappelijke factoren worden stap voor stap opgelost

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Oefening 5

Laat een reactie achter Reactie annuleren