Samenvallende lijnen

Hier vindt u alles over samenvallende lijnen: wat ze betekenen, hoe u kunt bepalen of twee lijnen samenvallen, hun eigenschappen, enz. Bovendien kunt u voorbeelden en opgeloste oefeningen van samenvallende lijnen zien.

Wat zijn twee samenvallende lijnen?

Twee samenvallende lijnen zijn twee lijnen die al hun punten gemeen hebben. Daarom zijn twee samenvallende lijnen volledig identiek.

Hieronder ziet u bijvoorbeeld twee samenvallende lijnen. Wat er gebeurt, is dat u er maar één ziet omdat ze elkaar overlappen (ze zijn gelijk).

Twee samenvallende lijnen hebben altijd dezelfde richting, dus geometrisch vormen ze een hoek van 0º.

Onthoud daarentegen dat er in het vlak vier mogelijkheden zijn in het concept van de relatieve positie tussen twee lijnen: twee lijnen kunnen samenvallend, evenwijdig , secans en loodrecht zijn. Als je wilt, kun je de betekenis van elk lijntype en het verschil daartussen bekijken in deze 3 links.

Hoe weet je of twee lijnen samenvallen?

Weten wanneer twee lijnen samenvallen, hangt ervan af of je met twee coördinaten (in R2) of met drie coördinaten (in R3) werkt.

Bepaal twee samenvallende lijnen in het vlak

Wanneer we in een tweedimensionale (2D) ruimte opereren, is het heel gemakkelijk te zien wanneer twee lijnen samenvallen en wanneer ze niet voortkomen uit de impliciete vergelijking of de expliciete vergelijking van de lijn.

Naast deze twee manieren kunnen we ook controleren of twee lijnen samenvallen door het stelsel vergelijkingen op te lossen dat wordt gevormd door de vergelijkingen van de twee lijnen (als het systeem oneindige oplossingen geeft, impliceert dit dat ze samenvallen). Maar deze procedure is ingewikkelder en tijdrovender, dus we zullen deze niet in detail uitleggen, omdat het beter is om dit te doen op basis van de coëfficiënten van de impliciete vergelijking of de expliciete vergelijking.

Uit de impliciete (of algemene) vergelijking van de lijn

Eén manier om te bepalen of twee lijnen samenvallen, is door de impliciete vergelijking van de lijn te gebruiken, ook wel de algemene of cartesiaanse vergelijking genoemd.

De impliciete vergelijking van de lijn komt overeen met de volgende uitdrukking:

$Ax+By+C=0$

Welnu , als twee lijnen de drie proportionele coëfficiënten (A, B en C) hebben , impliceert dit dat ze samenvallen.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

De volgende twee regels komen bijvoorbeeld overeen:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

En ze vallen samen omdat de parameters A, B en C evenredig aan elkaar zijn:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Uit de expliciete vergelijking van de lijn

Een andere manier om erachter te komen of twee lijnen daadwerkelijk samenvallen, is door de expliciete vergelijking van de lijn te gebruiken. Bedenk dat de expliciete vergelijking van de lijn als volgt is:

$y=mx+n$

Als twee lijnen dezelfde helling (coëfficiënt m) en dezelfde ordinaat bij de oorsprong (coëfficiënt n) hebben, zijn het twee gecombineerde lijnen.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

De volgende twee lijnen zijn bijvoorbeeld hetzelfde omdat ze oorspronkelijk gelijkwaardige hellingen en coördinaten hebben:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Opgemerkt moet worden dat als ze dezelfde helling zouden hebben, maar bij de oorsprong anders geordend zouden zijn, het evenwijdige en niet samenvallende lijnen zouden zijn.

Ten slotte hebben de twee samenvallende lijnen, zoals u in het voorbeeld kunt zien, dezelfde expliciete vergelijking. Dit is van toepassing op elk type lijnvergelijking: als twee lijnen samenvallen in hun vergelijking, betekent dit dat ze samenvallen.

vind twee samenvallende lijnen in de ruimte

Het identificeren van twee samenvallende lijnen in de ruimte (in R3) is anders dan die in het cartesiaanse vlak (in R2), omdat berekeningen moeten worden uitgevoerd met één coördinaat meer. Laten we dus eens kijken hoe het wordt gedaan:

Gegeven de vergelijkingen van twee verschillende lijnen in de ruimte:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

En laat M en M’ de matrices zijn die worden gevormd door de coëfficiënten van de lijnen:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Als de rangorde van de matrices M en M’ dan gelijk is aan 2, vallen de twee lijnen samen.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Laten we een voorbeeld bekijken van samenvallende lijnen in de ruimte door middel van een oefening die stap voor stap wordt opgelost:

Bepaal of de volgende twee regels al dan niet overeenkomen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

De matrix M en de uitgebreide matrix M’ van de coëfficiënten van de lijnen zijn:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Nadat we beide matrices hebben geconstrueerd, moeten we het bereik van elke matrix berekenen:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

De rangen van de twee matrices zijn gelijkwaardig en bovendien zijn ze 2 waard. De twee lijnen zijn dus verward.