Buigpunten van een functie

Hier leggen we uit wat een buigpunt van een functie is en hoe je alle buigpunten van een functie kunt vinden. Daarnaast vindt u stapsgewijze oefeningen over de kromming en buigpunten van een functie.

Wat zijn de buigpunten van een functie?

De buigpunten van een functie zijn de punten waarop de grafiek van de functie van kromming verandert, dat wil zeggen dat op een buigpunt een functie verandert van concaaf naar convex of omgekeerd.

Hoe weet je of een functie een buigpunt heeft?

Laten we, gegeven de definitie van buigpunt, kijken hoe we kunnen weten of een bepaald punt een buigpunt van de functie is.

Een functie heeft een buigpunt op punten die de tweede afgeleide annuleren en de derde afgeleide is niet nul.

\left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}

Als voorbeeld berekenen we de buigpunten van de volgende derdegraadsfunctie:

f(x)=x^3-5x

Eerst berekenen we de tweede en derde afgeleide van de functie:

f'(x)=3x^2-5

f''(x)=6x

f'''(x)=6

Nu stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de resulterende vergelijking op:

6x=0

x=0

Dan zal het punt x = 0 een buigpunt van de functie zijn als de derde afgeleide op dit punt niet nul is. In ons geval is de derde afgeleide altijd gelijk aan 6.

f'''(0)=6\neq 0

Daarom is x=0 een buigpunt van de functie.

Hoe kromming te bestuderen en de buigpunten van een functie te vinden

We hebben zojuist een methode gezien om keerpunten te vinden. Normaal gesproken hebben we echter de neiging om de kromming van een functie te bestuderen, dat wil zeggen de concaviteit en convexiteit van een functie te bepalen, en van daaruit de buigpunten te berekenen.

Om de buigpunten van een functie via zijn kromming te vinden, moeten de volgende stappen worden uitgevoerd:

  1. Zoek de punten die niet tot het domein van de functie behoren .
  2. Bereken de eerste afgeleide en tweede afgeleide van de functie.
  3. Vind de wortels van de tweede afgeleide , dat wil zeggen, bereken de punten die de tweede afgeleide opheffen door op te lossen

    f''(x)=0

    .

  4. Maak intervallen met de wortels van de afgeleide en de punten die niet tot het domein van de functie behoren.
  5. Bereken de waarde van de tweede afgeleide op een punt in elk interval.
  6. Het teken van de tweede afgeleide bepaalt de concaafheid of convexiteit van de functie in dit interval:
    • Als de tweede afgeleide van de functie positief is, is de functie convex op dit interval.
    • Als de tweede afgeleide van de functie negatief is, is de functie op dit interval concaaf .
  7. Buigpunten zijn de punten waarop de functie verandert van convex naar concaaf of omgekeerd.

Zodat u kunt zien hoe de buigpunten van een functie met deze procedure worden berekend, lossen we hieronder stap voor stap een voorbeeld op:

  • Bestudeer de kromming en vind de buigpunten van de volgende polynoomfunctie:

f(x)=x^4-6x^2

Het eerste dat u moet doen, is het domein van de definitie van de functie berekenen. Het is een polynomiale functie, dus het domein van de functie bestaat uit reële getallen, dat wil zeggen dat het een continue functie is:

\text{Dom } f= \mathbb{R}

Nadat we het domein van de functie hebben berekend, moeten we onderzoeken op welke punten deze wordt vervuld

f''(x)=0

.

We berekenen daarom eerst de eerste afgeleide van de functie:

f(x)=x^4-6x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x^3-12x

Vervolgens berekenen we de tweede afgeleide van de functie:

f'(x)=4x^3-12x \ \longrightarrow \ f''(x)= 12x^2-12

En nu stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de vergelijking op:

f''(x)=0

12x^2-12=0

12x^2=12

x^2=\cfrac{12}{12}

x^2=1

\sqrt{x^2}=\sqrt{1}

x=\pm1

Zodra we het domein van de functie en hebben berekend

f''(x)=0

, vertegenwoordigen we alle kritieke punten op de getallenlijn:

En nu evalueren we het teken van de tweede afgeleide in elk interval, om te weten of de functie concaaf of convex is. We nemen daarom in elk interval een punt (nooit de kritische punten) en kijken welk teken de tweede afgeleide op dit punt heeft:

f''(x)=12x^2-12

f''(-2) = 12\cdot (-2)^2-12 =36 \ \rightarrow \ \bm{+}

f''(0) = 12\cdot 0^2-12 = -12 \ \rightarrow \ \bm{-}

f''(2) = 12\cdot 2^2-12=36 \ \rightarrow \ \bm{+}

Als de tweede afgeleide positief is, betekent dit dat de functie convex is.

(\bm{\cup})

, en als de tweede afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie concaaf is

(\bm{\cap})

. Daarom zijn de concaviteits- en convexiteitsintervallen van de functie:

Convex

(\bm{\cup})

:

\bm{(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}

Concaaf

(\bm{\cap})

:

\bm{(-1,1)}

Bovendien gaat bij x=-1 de functie van convex naar concaaf, dus x=-1 is een buigpunt van de functie . En bij x=1 gaat de functie van concaaf naar convex, dus x=1 is ook een buigpunt van de functie.

Ten slotte vervangen we de gevonden punten in de oorspronkelijke functie om de Y-coördinaat van de buigpunten te vinden:

f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (-1,-5)

f(1)=1^4-6\cdot 1^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (1,-5)

De keerpunten van de functie zijn daarom:

Keerpunten:

\bm{(-1,-5)}

En

\bm{(1,-5)}

Hieronder ziet u de grafische weergave van de bestudeerde functie:

buigpunten van een functie

Zoals je in de grafiek kunt zien, gaat de functie van convex

(\cup)

concaaf zijn

(\cap)

Over

(-1,-5)

omdat de kromming verandert. En aan de andere kant gaat de functie van concaaf

(\cap)

convex zijn

(\cup)

Over

(1,-5)

.

Opgeloste draaioefeningen

Oefening 1

Bereken de concaafheid en convexiteitsintervallen, evenals de buigpunten van de volgende exponentiële functie:

f(x) = xe^x

Het eerste dat u moet doen, is het domein van de definitie van de functie berekenen. De functie bestaat uit een polynomiale functie (x), waarvan het domein alleen uit reële getallen bestaat, en een exponentiële functie (e x ), waarvan het domein ook uit reële getallen bestaat. Daarom bestaat het domein van de functie uit reële getallen:

\text{Dom } f= \mathbb{R}

Laten we nu de afgeleide van de functie berekenen. In dit geval is de functie samengesteld uit het product van twee functies, dus om de functie af te leiden moeten we de formule voor de afgeleide van een product toepassen:

f'(x)=1 \cdot e^x+ x \cdot e^x

f'(x)=e^x +xe^x

Vervolgens berekenen we de tweede afgeleide van de functie:

f''(x)= e^x + 1 \cdot e^x+ x \cdot e^x

f''(x)=e^x +e^x + xe^x = 2e^x +xe^x

We stellen de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen de vergelijking op:

f''(x)= 0

2e^x+xe^x= 0

We halen de gemeenschappelijke factor eruit:

e^x(2+x)=0

Om de vermenigvuldiging gelijk te maken aan 0, moet een van de twee elementen van de vermenigvuldiging nul zijn. Daarom stellen we elke factor gelijk aan 0:

\displaystyle e^x\cdot(2+x) =0 \longrightarrow \begin{cases} e^x=0 \ \color{red}\bm{\times}\color{black} \\[2ex] 2+x=0 \ \longrightarrow \ x= - 2 \end{cases}

Een getal dat naar een ander getal wordt verhoogd, kan nooit resulteren in 0. Daarom de vergelijking

e^x=0

Er is geen oplossing.

We vertegenwoordigen alle singuliere punten die aan de rechterkant zijn verkregen:

En nu evalueren we het teken van de tweede afgeleide in elk interval om te weten of de functie concaaf of convex is. Om dit te doen, nemen we een punt in elk interval en kijken we welk teken op dat punt de tweede afgeleide heeft:

f''(-3)= 2e^{-3} +(-3)\cdot e^{-3} = 0,1 - 0,15 = -0,05\ \rightarrow \ \bm{-}

f''(0)= 2e^0 +0\cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 =2+0= 2 \ \rightarrow \ \bm{+}

Als de tweede afgeleide positief is, betekent dit dat de functie convex is.

(\bm{\cup})

, en als de tweede afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie concaaf is

(\bm{\cap})

. De concaviteits- en convexiteitsintervallen zijn daarom:

Convex

(\bm{\cup})

:

\bm{(-2,+\infty)}

Concaaf

(\bm{\cap})

:

\bm{(-\infty,-2)}

Bovendien verandert de functie van concaaf naar convex bij x=-2, dus x=-2 is een buigpunt van de functie.

Ten slotte vervangen we het gevonden buigpunt in de oorspronkelijke functie om de Y-coördinaat van het punt te vinden:

f(-2) = (-2)\cdot e^{-2} =-2e^{-2} \ \longrightarrow \ (-2,-2e^{-2})

Concluderend zijn de enige keerpunten van de functie:

Keerpunten:

\bm{(-2,-2e^{-2})}

Oefening 2

Bestudeer de intervallen van concaviteit en convexiteit en vind de buigpunten van de volgende rationale functie:

\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}

Eerst moeten we het domein van de functie berekenen. Omdat dit een rationale functie is, stellen we de noemer gelijk aan nul om te zien welke getallen niet tot het domein van de functie behoren:

x^2-4= 0

x^2=4

\sqrt{x^2}=\sqrt{4}

x=\pm 2

Dit betekent dat wanneer x -2 of +2 is, de noemer 0 zal zijn. En daarom zal de functie niet bestaan. Het domein van de functie bestaat dus uit alle getallen behalve x=-2 en x=+2.

\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}

Ten tweede berekenen we de eerste afgeleide van de functie:

f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}

f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}

En dan lossen we de tweede afgeleide op:

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }

Alle termen worden vermenigvuldigd met

(x^2-4)

. We kunnen de breuk daarom vereenvoudigen:

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }

f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }

f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }

f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }

Laten we nu de wortels van de tweede afgeleide van de functie berekenen:

f''(x)= 0

\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0

De voorwaarde

\left(x^2-4\right)^3

Dit houdt in dat we de hele linkerkant delen, zodat we deze met de hele rechterkant kunnen vermenigvuldigen:

8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3

8x^3+96x =0

We halen de gemeenschappelijke factor eruit:

x(8x^2+96)=0

Om de vermenigvuldiging gelijk te maken aan 0, moet een van de twee elementen van de vermenigvuldiging nul zijn. Daarom stellen we elke factor gelijk aan 0:

\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

x= \sqrt{-12}

Er is geen oplossing omdat er geen negatieve wortel is van een reëel getal.

We geven nu op de lijn alle verkregen kritische punten weer, dat wil zeggen de punten die niet tot het domein behoren (x=-2 en x=+2) en die welke de tweede afgeleide opheffen (x=0):

En we evalueren het teken van de tweede afgeleide in elk interval, om te weten of de functie concaaf of convex is. We nemen dus een punt in elk interval en kijken welk teken op dat punt de tweede afgeleide heeft:

f''(-3)=\cfrac{8(-3)^3+96(-3) }{\left((-3)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-504}{125}=-4,03 \ \rightarrow \ \bm{-}

f''(-1)=\cfrac{8(-1)^3+96(-1) }{\left((-1)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-104}{-27}=3,85 \ \rightarrow \ \bm{+}

f''(1)=\cfrac{8\cdot1^3+96\cdot 1 }{\left(1^2-4\right)^3 } = \cfrac{104}{-27}=-3,85 \ \rightarrow \ \bm{-}

f''(3)=\cfrac{8\cdot 3^3+96\cdot 3 }{\left(3^2-4\right)^3 } = \cfrac{504}{125}=4,03 \ \rightarrow \ \bm{+}

Als de tweede afgeleide positief is, betekent dit dat de functie convex is.

(\bm{\cup})

, en als de tweede afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie concaaf is

(\bm{\cap})

. De concaviteits- en convexiteitsintervallen zijn daarom:

Convex

(\bm{\cup})

:

\bm{(-2,0)\cup (2,+\infty)}

Concaaf

(\bm{\cap})

:

\bm{(-\infty,-2)\cup (0,2)}

De functie verandert op drie punten van kromming, daarom zou de rationale functie in principe drie buigpunten hebben, namelijk x=-2, x=0 en x=2. Hoewel er wel een verandering in de kromming optreedt bij x=-2 en bij x=+2, zijn dit geen buigpunten omdat ze niet tot het domein van de functie behoren. Aan de andere kant is er bij x=0 een verandering in de kromming en dit hoort bij de functie, dus x=0 is het enige buigpunt van de functie.

Het enige dat overblijft is het berekenen van de Y-coördinaat van het buigpunt:

\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{0^2-4} =\frac{0}{-4}=0\ \longrightarrow \ (0,0)

Kortom, het enige buigpunt van de rationale functie is de oorsprong van de coördinaten:

Keerpunten:

\bm{(0,0)}

Oefening 3

We weten dat de functie

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

door het punt gaan

(3,1)

, heeft een relatief extreem in

x=1

, en een keerpunt in

x = 2

. Bereken op basis van deze informatie de parameterwaarden

a, b

En

c

.

Laat de functie een buigpunt hebben

x= 2

betekent dat

f''(2)=0

. Daarom berekenen we de tweede afgeleide van de functie in

x= 2

en we stellen het gelijk aan 0:

f(x) = x^3+ax^2+bx+c \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2+2ax+b

f'(x)=3x^2+2ax+b \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x+2a

\left. \begin{array}{l} f''(2)=6\cdot 2+2a\\[2ex] f''(2)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 6\cdot 2+2a=0

En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van parameter a te vinden:

6\cdot 2+2a=0

12+2a=0

2a=-12

a=\cfrac{-12}{2}

\bm{a=-6}

De functie wordt dus:

f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ \xrightarrow{a \ = \ -6}\ f(x)=x^3-6x^2+bx+c

Verder heeft de functie een uiterste in

x= 1

, Wat betekent dat

f'(1)=0

. Daarom berekenen we de eerste afgeleide van de functie in

x= 1

en we stellen het gelijk aan 0:

f(x)=x^3-6x^2+bx+c \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-12x+b

\left. \begin{array}{l} f'(1)=3\cdot 1^2-12\cdot 1+b\\[2ex] f'(1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0

En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van de onbekende b te vinden:

3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0

3 \cdot 1 -12 + b = 0

3 -12 + b = 0

b=+12-3

\bm{b=9}

De functie wordt dus:

f(x)=x^3-6x^2+bx+c \ \xrightarrow{b \ = \ 9} \ f(x)=x^3-6x^2+9x+c

Aan de andere kant vertellen ze ons dat de functie door het punt (3,1) gaat. Dat is te zeggen,

f(3)=1

. Daarom kunnen we deze voorwaarde toepassen om de waarde van parameter c te vinden:

\left. \begin{array}{l} f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot3+c \\[2ex] f(3)=1 \end{array} \right\} \longrightarrow 3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1

En we lossen de verkregen vergelijking op om de waarde van te vinden

b:

3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1

27-6\cdot 9+27+c = 1

27-54+27+c = 1

c=1-27+54-27

\bm{c=1}

De functie wordt dus:

f(x)=x^3-6x^2+9x+c \ \xrightarrow{c \ = \ 1} \ f(x)=x^3-6x^2+9x+1

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven