Hier leggen we uit wat een buigpunt van een functie is en hoe je alle buigpunten van een functie kunt vinden. Daarnaast vindt u stapsgewijze oefeningen over de kromming en buigpunten van een functie.
Wat zijn de buigpunten van een functie?
De buigpunten van een functie zijn de punten waarop de grafiek van de functie van kromming verandert, dat wil zeggen dat op een buigpunt een functie verandert van concaaf naar convex of omgekeerd.
Hoe weet je of een functie een buigpunt heeft?
Laten we, gegeven de definitie van buigpunt, kijken hoe we kunnen weten of een bepaald punt een buigpunt van de functie is.
Een functie heeft een buigpunt op punten die de tweede afgeleide annuleren en de derde afgeleide is niet nul.
Als voorbeeld berekenen we de buigpunten van de volgende derdegraadsfunctie:
Eerst berekenen we de tweede en derde afgeleide van de functie:
Nu stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de resulterende vergelijking op:
Dan zal het punt x = 0 een buigpunt van de functie zijn als de derde afgeleide op dit punt niet nul is. In ons geval is de derde afgeleide altijd gelijk aan 6.
Daarom is x=0 een buigpunt van de functie.
Hoe kromming te bestuderen en de buigpunten van een functie te vinden
We hebben zojuist een methode gezien om keerpunten te vinden. Normaal gesproken hebben we echter de neiging om de kromming van een functie te bestuderen, dat wil zeggen de concaviteit en convexiteit van een functie te bepalen, en van daaruit de buigpunten te berekenen.
Om de buigpunten van een functie via zijn kromming te vinden, moeten de volgende stappen worden uitgevoerd:
- Zoek de punten die niet tot het domein van de functie behoren .
- Bereken de eerste afgeleide en tweede afgeleide van de functie.
- Vind de wortels van de tweede afgeleide , dat wil zeggen, bereken de punten die de tweede afgeleide opheffen door op te lossen
.
- Maak intervallen met de wortels van de afgeleide en de punten die niet tot het domein van de functie behoren.
- Bereken de waarde van de tweede afgeleide op een punt in elk interval.
- Het teken van de tweede afgeleide bepaalt de concaafheid of convexiteit van de functie in dit interval:
- Als de tweede afgeleide van de functie positief is, is de functie convex op dit interval.
- Als de tweede afgeleide van de functie negatief is, is de functie op dit interval concaaf .
- Buigpunten zijn de punten waarop de functie verandert van convex naar concaaf of omgekeerd.
Zodat u kunt zien hoe de buigpunten van een functie met deze procedure worden berekend, lossen we hieronder stap voor stap een voorbeeld op:
- Bestudeer de kromming en vind de buigpunten van de volgende polynoomfunctie:
Het eerste dat u moet doen, is het domein van de definitie van de functie berekenen. Het is een polynomiale functie, dus het domein van de functie bestaat uit reële getallen, dat wil zeggen dat het een continue functie is:
Nadat we het domein van de functie hebben berekend, moeten we onderzoeken op welke punten deze wordt vervuld
.
We berekenen daarom eerst de eerste afgeleide van de functie:
Vervolgens berekenen we de tweede afgeleide van de functie:
En nu stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0 en lossen we de vergelijking op:
Zodra we het domein van de functie en hebben berekend
, vertegenwoordigen we alle kritieke punten op de getallenlijn:

En nu evalueren we het teken van de tweede afgeleide in elk interval, om te weten of de functie concaaf of convex is. We nemen daarom in elk interval een punt (nooit de kritische punten) en kijken welk teken de tweede afgeleide op dit punt heeft:

Als de tweede afgeleide positief is, betekent dit dat de functie convex is.
, en als de tweede afgeleide negatief is, betekent dit dat de functie concaaf is
. Daarom zijn de concaviteits- en convexiteitsintervallen van de functie:
Convex
:
Concaaf
:
Bovendien gaat bij x=-1 de functie van convex naar concaaf, dus x=-1 is een buigpunt van de functie . En bij x=1 gaat de functie van concaaf naar convex, dus x=1 is ook een buigpunt van de functie.
Ten slotte vervangen we de gevonden punten in de oorspronkelijke functie om de Y-coördinaat van de buigpunten te vinden:
De keerpunten van de functie zijn daarom:
Keerpunten:
En
Hieronder ziet u de grafische weergave van de bestudeerde functie:

Zoals je in de grafiek kunt zien, gaat de functie van convex
concaaf zijn
Over
omdat de kromming verandert. En aan de andere kant gaat de functie van concaaf
convex zijn
Over
.
Opgeloste draaioefeningen
Oefening 1
Bereken de concaafheid en convexiteitsintervallen, evenals de buigpunten van de volgende exponentiële functie:
Oefening 2
Bestudeer de intervallen van concaviteit en convexiteit en vind de buigpunten van de volgende rationale functie:
Oefening 3
We weten dat de functie
door het punt gaan
, heeft een relatief extreem in
, en een keerpunt in
. Bereken op basis van deze informatie de parameterwaarden
En
.