Bereken het puntproduct van twee vectoren -

Op deze pagina ziet u wat het is en hoe u het puntproduct van twee vectoren berekent. Ook leer je hoe je de hoek tussen twee vectoren kunt vinden met behulp van het puntproduct en daarnaast alle eigenschappen van het puntproduct. Ten slotte kun je oefenen met voorbeelden en oefeningen die stap voor stap worden opgelost.

Hoe het puntproduct tussen twee vectoren te berekenen

In de wiskunde is het puntproduct een vectorbewerking die twee vectoren vermenigvuldigt en omzet in een reëel getal. Er zijn dus twee manieren om het puntproduct van twee vectoren te berekenen:

Als we de coördinaten van twee vectoren kennen, kunnen we hun puntproduct vinden door de X- en Y-componenten met elkaar te vermenigvuldigen en vervolgens de resultaten bij elkaar op te tellen. Met andere woorden, als we twee vectoren hebben:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Het scalaire product daartussen is:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Het puntproduct tussen de volgende twee vectoren is bijvoorbeeld:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

Het is een manier om het puntproduct tussen twee vectoren te vinden. Er is echter ook een andere methode:

Aan de andere kant, als we de module en de hoek tussen twee vectoren kennen, kan het scalaire product tussen de twee vectoren worden bepaald door het product van hun modules te berekenen aan de hand van de cosinus van de hoek die ze vormen:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Goud

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

zijn de modules van de vectoren

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

respectievelijk en

$\alpha$

de hoek die ze maken.

Bedenk dat de grootte van een vector de wortel is van de vierkanten van zijn componenten:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Als voorbeeld zullen we het scalaire product oplossen van twee vectoren waarvan de modules en de hoek daartussen zijn:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

Aan de andere kant wordt het puntproduct ook wel puntproduct, scalair product of puntproduct genoemd.

Opmerking: Verwar het puntproduct niet met het kruisproduct, want hoewel ze vergelijkbare namen hebben, zijn het totaal verschillende concepten.

Zoek de hoek tussen twee vectoren met behulp van het puntproduct

Zodra we de definitie van het puntproduct zien, vraagt u zich misschien af wat het doel is van het vermenigvuldigen van twee vectoren? Eén van de toepassingen van het puntproduct is het berekenen van de hoek gevormd door twee vectoren.

Door de cosinus van de puntproductformule op te lossen, verkrijgen we:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Laten we eens kijken hoe dit wordt gedaan aan de hand van een voorbeeld:

Zoek de hoek tussen de volgende twee vectoren:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Eerst moeten we de grootte van de twee vectoren vinden:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Nu gebruiken we de formule om de cosinus van de hoek tussen de twee vectoren te berekenen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Ten slotte vinden we de overeenkomstige hoek door de inverse van de cosinus uit te voeren met behulp van de rekenmachine:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Daarom vormen de vectoren een hoek van 74,93º.

Eigenschappen van het puntproduct van twee vectoren

Het puntproduct heeft de volgende kenmerken:

Commutatieve eigenschap : de volgorde waarin de vectoren worden vermenigvuldigd doet er niet toe.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Distributieve eigenschap : het puntproduct is distributief met betrekking tot het optellen en aftrekken van vectoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Associatieve eigenschap : We kunnen het puntproduct met een constante vermenigvuldigen vóór of na het uitvoeren van de bewerking, omdat de resultaten gelijkwaardig zijn:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Als twee vectoren orthogonaal (of loodrecht) zijn, dan is hun puntproduct nul. Deze eigenschap kan eenvoudig worden aangetoond omdat twee loodrechte vectoren een hoek van 90 graden maken en de cosinus van 90 graden gelijk is aan 0:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Integendeel, als twee vectoren parallel zijn, is hun scalaire product hetzelfde als het product van hun modules. Deze eigenschap kan ook eenvoudig worden geverifieerd, aangezien twee vectoren van dezelfde richting een hoek van 0º vormen, waarvan de cosinus gelijk is aan 1:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Ten slotte is het puntproduct van een vector op zichzelf gelijk aan zijn grootte in het kwadraat:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Scalaire productproblemen tussen twee vectoren opgelost

Oefening 1

Bereken het puntproduct in het vlak van de volgende twee vectoren:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

zie oplossing

Om het puntproduct van twee vectoren te berekenen, moeten we hun X-coördinaten en hun Y-coördinaten met elkaar vermenigvuldigen en vervolgens de resultaten optellen:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Oefening 2

Bepaal het scalaire product van twee vectoren waarvan de modules en de hoek die ze vormen zijn:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

zie oplossing

Omdat we hun modules kennen en hun hoek ertussen, kunnen we de puntproductformule direct toepassen:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Oefening 3

Wat is de hoek tussen de volgende twee vectoren?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

zie oplossing

Eerst moeten we de grootte van de twee vectoren berekenen:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

We gebruiken de formule om de cosinus van de hoek gevormd door de vectoren te berekenen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

En ten slotte vinden we de overeenkomstige hoek door de inverse van de cosinus met de rekenmachine uit te voeren:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Oefening 4

Beschouw de volgende twee vectoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Bereken de volgende bewerking:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

zie oplossing

We moeten eerst het puntproduct tussen de haakjes oplossen en vervolgens de vermenigvuldiging uitvoeren met het puntproduct erbuiten:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Oefening 5

Gegeven de volgende drie tweedimensionale vectoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Bereken de volgende bewerking:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

zie oplossing

Eerst vermenigvuldigen we de vectoren met de scalairen tussen haakjes:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Nu doen we de vectoraftrekking:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

En ten slotte lossen we het scalaire product op:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Oefening 6

Bereken de waarde van

$k$

zodat de volgende vectoren loodrecht staan:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

zie oplossing

Twee loodrechte vectoren vormen een hoek van 90°. De cosinus van de hoek moet dus nul zijn, aangezien cos(90º)=0. Nog:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

De noemer van de breuk deelt de hele rechterkant van de vergelijking, dus we kunnen deze doorgeven door te vermenigvuldigen met de andere kant:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

We lossen nu het scalaire product op:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

En ten slotte verduidelijken we het onbekende:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Oefening 7

Hoeken berekenen

$\alpha , \beta$

$\gamma$

die de zijden vormen van de volgende driehoek:

oefeningen en problemen die stap voor stap worden opgelost van het scalaire product van twee vectoren

zie oplossing

De hoekpunten waaruit de driehoek bestaat, zijn de volgende punten:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Om de interne hoeken van de driehoek te berekenen, kunnen we de vectoren van elk van de zijden berekenen en vervolgens de hoek vinden die ze vormen met behulp van de puntproductformule.

Bijvoorbeeld om de hoek te vinden

$\alpha$

We berekenen de vectoren van de zijden:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

En we vinden de hoek gevormd door de twee vectoren met behulp van de puntproductformule:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Nu herhalen we dezelfde procedure om de hoek te bepalen

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Om ten slotte de laatste hoek te vinden, kunnen we dezelfde procedure herhalen. Alle hoeken in een driehoek moeten echter opgeteld 180 graden zijn, dus:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Hoe het puntproduct tussen twee vectoren te berekenen

Zoek de hoek tussen twee vectoren met behulp van het puntproduct

Eigenschappen van het puntproduct van twee vectoren

Scalaire productproblemen tussen twee vectoren opgelost

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Oefening 5

Oefening 6

Oefening 7

Laat een reactie achter Reactie annuleren