Impliciete of algemene (of cartesiaanse) vergelijking van de lijn

Op deze pagina vindt u hoe de impliciete vergelijking van de lijn, ook wel de algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn genoemd, wordt berekend. Daarnaast krijg je diverse voorbeelden te zien en kun je zelfs oefenen met rechte lijnoefeningen die stap voor stap worden opgelost.

Wat is de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn?

Bedenk dat de wiskundige definitie van een lijn een reeks opeenvolgende punten is die in dezelfde richting worden weergegeven, zonder krommen of hoeken.

De impliciete vergelijking van de lijn , ook bekend als de algemene of cartesiaanse vergelijking , is dus een manier om elke lijn wiskundig uit te drukken. Om dit te doen heb je alleen de richtingsvector van de lijn en een punt dat bij de lijn hoort nodig.

Formule voor de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn

$\vv{\text{v}}$

is de richtingsvector van de lijn en

$P$

een punt dat hoort bij rechts:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

De formule voor de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn is:

$Ax+By+C=0$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesische coördinaten van elk punt op de lijn.
de coëfficiënt
$A$

is de tweede component van de richtingsvector:

$A=\text{v}_2}$
de coëfficiënt
$B$

is de eerste component van het richtingsvector veranderd teken:

$B=-\text{v}_1}$
de coëfficiënt
$C$

wordt berekend door het bekende punt te vervangen

$P$

in de vergelijking van de lijn.

algemene of cartesiaanse impliciete vergelijking van de lijn in de ruimte (in R3)

Houd er aan de andere kant rekening mee dat er naast de impliciete (of algemene) vergelijking ook andere manieren zijn om een lijn analytisch uit te drukken: de vectorvergelijking, parametervergelijkingen, de continue vergelijking, de expliciete vergelijking en de punt-hellingsvergelijking van Alijn. Op onze website kunt u nagaan wat elk ervan is.

Voorbeeld van het berekenen van de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn

Alleen al door naar de formule te kijken, lijkt het misschien dat dit type vergelijking van de lijn een beetje moeilijk te vinden is. Maar zodat je kunt zien dat het precies het tegenovergestelde is, zullen we zien hoe we de algemene (of impliciete) vergelijking van de lijn kunnen vinden aan de hand van een voorbeeld:

Zoek de impliciete vergelijking van de lijn die door het punt gaat
$P$

en heeft

$\vv{\text{v}}$

als leidende vector:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Zoals we in het bovenstaande gedeelte hebben gezien, is de formule voor de impliciete vergelijking van de lijn:

$Ax+By+C=0$

We moeten daarom de coëfficiënten A, B en C vinden. De onbekenden A en B worden verkregen uit de coördinaten van de richtingsvector van de lijn, aangezien de volgende gelijkheid altijd wordt geverifieerd:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Bijgevolg is de coëfficiënt A de tweede coördinaat van de vector, en de coëfficiënt B de eerste coördinaat van het vectorgewijzigde teken:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

De impliciete vergelijking van de lijn zal daarom als volgt zijn:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Daarom hoeven we alleen de coëfficiënt C te vinden. Om dit te doen, moeten we het punt waarvan we weten dat het bij de lijn hoort, in de vergelijking vervangen:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

En nu lossen we de resulterende vergelijking op:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Dus de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn is:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Zoek de impliciete vergelijking (algemeen of cartesiaans) uit de continue vergelijking

We hebben zojuist een manier gezien om de algemene vergelijking van een lijn te vinden. Er is echter nog een andere methode die voortkomt uit de continue vergelijking. Laten we eens kijken hoe dit wordt gedaan met een voorbeeld:

Bereken de algemene (of impliciete) vergelijking van de volgende lijn, gedefinieerd door de continue vergelijking:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Eerst kruisen we vermenigvuldigingsbreuken:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

Ten tweede lossen we de haakjes op met behulp van de distributieve eigenschap:

$6x-6=-2y-8$

Vervolgens verplaatsen we alle termen naar de linkerkant van de vergelijking:

$6x-6+2y+8=0$

En ten slotte groeperen we de termen en verkrijgen zo de algemene vergelijking van de lijn:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Opgeloste problemen van de impliciete of algemene (of cartesiaanse) vergelijking

Oefening 1

Schrijf de algemene vergelijking van de lijn die door het punt gaat

$P$

en heeft

$\vv{\text{v}}$

als leidende vector:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

zie oplossing

De formule voor de algemene vergelijking van de lijn is:

$Ax+By+C=0$

We moeten daarom A, B en C vinden. De variabelen A en B worden verkregen uit de coördinaten van de richtingsvector van de lijn, aangezien de volgende gelijkheid altijd wordt geverifieerd:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Bijgevolg is de coëfficiënt A de tweede coördinaat van de vector, en de coëfficiënt B de eerste coördinaat van het vectorgewijzigde teken:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

De impliciete vergelijking van de lijn zal daarom als volgt zijn:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Daarom hoeven we alleen de coëfficiënt C te vinden. Om dit te doen, moeten we het punt waarvan we weten dat het bij de lijn hoort, vervangen in de vergelijking van de lijn en de resulterende vergelijking oplossen:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

Kortom, de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn is:

$\bm{2x+y-8=0}$

Oefening 2

Bereken de cartesische vergelijking van de volgende regel:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

zie oplossing

De vergelijking wordt uitgedrukt als een continue vergelijking, dus om de impliciete vergelijking ervan te vinden, moeten we de breuken doorkruisen en alle termen in één kant van de vergelijking plaatsen:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Oefening 3

Bepaal een punt op de volgende lijn en zijn richtingsvector. De lijn wordt uitgedrukt door de algemene vergelijking:

$-x-3y+6= 0$

zie oplossing

De componenten van de richtingsvector van de lijn kunnen worden verkregen uit de coëfficiënten A en B van de algemene vergelijking van de lijn: de eerste component van de vector komt overeen met de coëfficiënt B van teken veranderd en de tweede component van de vector is gelijk aan de coëfficiënt A. DUS:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

Om een punt op de lijn te berekenen, moet u daarentegen een waarde aan een variabele toekennen. Dat doen wij bijvoorbeeld

$x=0$

en we lossen de resulterende vergelijking op:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Het punt van de lijn is dus:

$\bm{P(0,2)}$

Mogelijk heb je een ander punt gekregen omdat het afhangt van welke waarde je aan variabele X (of variabele Y) geeft, maar als je dezelfde procedure hebt gevolgd, is het ook correct. Aan de andere kant moet de richtingsvector van de lijn identiek zijn aan de berekende richtingsvector.

Oefening 4

Zoek de impliciete vergelijking van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

zie oplossing

In dit geval kennen we de richtingsvector van de lijn niet, dus moeten we eerst de richtingsvector vinden en vervolgens de vergelijking van de lijn.

Om de richtingsvector van de lijn te vinden, berekent u eenvoudigweg de vector die wordt gedefinieerd door de twee gegeven punten:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

En zodra we de richtingsvector van de lijn kennen, kunnen we nu de impliciete (of algemene of cartesiaanse) vergelijking bepalen op basis van de formule:

$Ax+By+C=0$

De onbekenden A en B worden verkregen uit de coördinaten van de richtingsvector van de lijn, aangezien de coëfficiënt A de tweede coördinaat van de vector is, en de coëfficiënt B de eerste coördinaat is van het vectorgewijzigde teken:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

De impliciete vergelijking van de lijn zal daarom als volgt zijn:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Het is daarom voldoende om de coëfficiënt C te vinden. Om dit te doen, moeten we in de vergelijking van de lijn een punt vervangen waarvan we weten dat het bij de lijn hoort en de resulterende vergelijking oplossen:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Ten slotte is de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Oefening 5

Zoek de impliciete vergelijking van de lijn loodrecht op de lijn

$r$

en wat er aan de overkant gebeurt

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

zie oplossing

Twee loodrechte lijnen hebben richtingsvectoren die loodrecht op elkaar staan, dus we moeten de richtingsvector van de lijn vinden

$r$

dan een vector die er loodrecht op staat.

De componenten van de richtingsvector van de lijn

$r$

Ze kunnen worden verkregen uit de coëfficiënten A en B van de algemene vergelijking van de lijn: de eerste component van de vector komt overeen met de coëfficiënt B met een veranderd teken en de tweede component van de vector is gelijk aan de coëfficiënt A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

We moeten nu een loodrechte vector vinden. Om dit te doen, voegt u eenvoudigweg de coördinaten van de vector in en verandert u het teken van een ervan:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Dit zal daarom de richtingsvector zijn van de lijn loodrecht op

$r.$

En zodra we de richtingsvector van de lijn kennen, kunnen we nu de impliciete (of algemene of cartesiaanse) vergelijking bepalen op basis van de formule:

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$