Afstand tussen twee kruisende lijnen (formule)

Op deze pagina vindt u hoe u de afstand tussen twee snijdende lijnen kunt bepalen (formule). Daarnaast kun je voorbeelden zien en oefenen met opgeloste oefeningen van afstanden tussen kruisende lijnen.

Wat zijn twee snijdende lijnen?

Voordat we bekijken hoe de afstand tussen twee snijdende lijnen wordt berekend, moeten we ons heel kort herinneren waaruit dit type relatieve positie tussen twee lijnen precies bestaat:

Twee snijdende lijnen, ook wel snijdende lijnen genoemd, zijn twee verschillende lijnen die verschillende richtingen hebben en elkaar op geen enkel punt kruisen . Daarom liggen twee gekruiste lijnen niet in hetzelfde vlak.

afstand tussen twee lijnen die 2 bakken snijden

Bijvoorbeeld in de grafische weergave boven de lijn

$s$

loopt altijd voorop

$r$

, zodat ze elkaar nooit zullen aanraken.

Hoe de afstand tussen twee kruisende lijnen te berekenen

Er zijn verschillende methoden om de afstand tussen twee kruisende lijnen in de ruimte te bepalen. Op deze pagina leggen we slechts één procedure uit, de gemakkelijkste, omdat de andere twee methoden langer en ingewikkelder zijn en feitelijk zelden worden gebruikt.

Laat de richtingsvector en elk punt van twee snijdende lijnen zijn:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

De formule voor de afstand tussen twee snijdende lijnen is:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Goud

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

is de absolute waarde van het gemengde product van de vectoren

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

en de vector gedefinieerd door de punten

$A$

$B$

. En aan de andere kant,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

is de grootte van het vectorproduct van de richtingsvectoren van de twee gekruiste lijnen.

Om de afstand tussen twee elkaar kruisende lijnen te vinden, moet u daarom weten hoe u het drievoudige puntproduct (of het gemengde product van drie vectoren) en het vectorproduct (of het vectorproduct van twee vectoren) kunt berekenen. Hoe dit in zijn werk ging, kun je bekijken in de voorgaande links, waar je de bijbehorende formules, voorbeelden en opgeloste oefeningen vindt.

Voorbeeld van hoe u de afstand tussen twee kruisende lijnen kunt vinden

Om u te laten zien hoe u de afstand tussen twee gekruiste lijnen kunt bepalen, zullen we als voorbeeld een probleem oplossen:

Wat is de afstand tussen de volgende twee kruisende lijnen?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Eerst moeten we de richtingsvector en een punt op elke lijn identificeren. De twee lijnen worden uitgedrukt in de vorm van een continue vergelijking, daarom:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

En nu passen we de formule toe voor de afstand tussen twee snijdende lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Enerzijds lossen we het gemengde product op:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

En aan de andere kant vinden we de grootte van het vectorproduct:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Ten slotte vervangen we de waarde van elke term in de formule voor de afstand tussen twee gekruiste lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Afstandsproblemen tussen twee kruisende lijnen oplossen

Oefening 1

Bereken de afstand tussen de volgende twee lijnen die elkaar in een punt snijden:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

zie oplossing

Eerst moeten we de richtingsvector en een punt op elke lijn vinden. De twee lijnen zijn gedefinieerd in de vorm van een continue vergelijking, daarom:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

En nu gebruiken we de formule voor de afstand tussen twee snijdende lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Wij bepalen het gemengde product:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

Vervolgens berekenen we de grootte van het kruisproduct:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

En ten slotte vervangen we de waarde van elke term in de formule voor de afstand tussen twee kruisende lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Oefening 2

Bereken de afstand tussen de twee kruisende lijnen:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

zie oplossing

Eerst moeten we de richtingsvector en een punt op elke lijn identificeren. De twee lijnen worden uitgedrukt in de vorm van een continue vergelijking, daarom:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

En nu gebruiken we de formule voor de afstand tussen twee snijdende lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Wij bepalen het gemengde product:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

Vervolgens berekenen we de grootte van het kruisproduct:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

En ten slotte vervangen we de waarde van elke onbekende in de formule voor de afstand tussen twee gekruiste lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Oefening 3

Bereken de afstand tussen de twee kruisende lijnen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

zie oplossing

Eerst moeten we de richtingsvector en een punt op elke lijn vinden. het recht

$r$

is in de vorm van parametervergelijkingen en de lijn

$s$

in vectorvergelijkingsvorm, daarom:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

En nu gebruiken we de formule voor de afstand tussen twee snijdende lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

We bepalen het drievoudige scalaire product:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

Vervolgens berekenen we de grootte van het kruisproduct:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

En ten slotte vervangen we de waarde van elke term in de formule voor de afstand tussen twee elkaar kruisende lijnen:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

Wat zijn twee snijdende lijnen?

Hoe de afstand tussen twee kruisende lijnen te berekenen

Voorbeeld van hoe u de afstand tussen twee kruisende lijnen kunt vinden

Afstandsproblemen tussen twee kruisende lijnen oplossen

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Laat een reactie achter Reactie annuleren