Afstand tussen twee parallelle lijnen

Op deze pagina leest u hoe u de afstand tussen twee evenwijdige lijnen kunt bepalen. Daarnaast kun je voorbeelden zien en oefenen met opgeloste oefeningen van afstanden tussen parallelle lijnen.

Wat zijn twee parallelle lijnen?

Laten we, voordat we zien hoe de afstand tussen twee parallelle lijnen wordt berekend, heel kort het begrip parallellisme tussen twee lijnen in herinnering brengen:

Parallelle lijnen zijn die lijnen die elkaar nooit kruisen, dat wil zeggen: zelfs als hun trajecten zich tot in het oneindige uitstrekken, raken ze elkaar nooit. Daarom liggen de punten van twee parallelle lijnen altijd op dezelfde afstand van elkaar en bovendien hebben twee parallelle lijnen geen gemeenschappelijke punten.

De volgende twee lijnen zijn bijvoorbeeld evenwijdig:

Over het algemeen geven we aan dat twee lijnen evenwijdig zijn met 2 verticale balken || tussen de lijnen

Aan de andere kant zeggen we, ondanks het feit dat twee evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden, in de analytische meetkunde dat ze een hoek van 0° vormen, omdat ze dezelfde richting hebben.

Hoe de afstand tussen twee evenwijdige lijnen in het vlak te berekenen

Om de afstand tussen twee parallelle lijnen in het vlak (in R2) te vinden, neemt u eenvoudigweg een punt op een van de twee lijnen en berekent u de afstand vanaf dit punt tot de andere lijn.

We kunnen het op deze manier doen omdat twee parallelle lijnen altijd op dezelfde afstand van elkaar liggen.

Om de afstand tussen twee parallelle lijnen te vinden, moet je dus de formule kennen voor de afstand tussen een punt en een lijn . Als je niet meer weet hoe het was, kun je in de link bekijken hoe de afstand tussen een punt en een lijn wordt bepaald. Daarnaast kun je voorbeelden en oefeningen zien die stap voor stap zijn opgelost.

Aan de andere kant, als we bij het gebruik van de formule een afstand van 0 eenheden krijgen, betekent dit dat de lijnen elkaar op een bepaald punt raken en dat de lijnen daarom niet evenwijdig zijn, maar elkaar snijden, samenvallen of loodrecht staan. Als je wilt, kun je op onze website de verschillen tussen dit soort lijnen bekijken.

Voorbeeld van hoe u de afstand tussen twee parallelle lijnen kunt vinden

Laten we nu kijken hoe we een afstandsprobleem tussen twee parallelle lijnen kunnen oplossen aan de hand van een voorbeeld:

Bereken de afstand tussen de volgende twee evenwijdige lijnen:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

Het eerste wat we moeten doen is een punt op een van de lijnen krijgen (degene die je wilt). In dit geval berekenen we een punt op de lijn

$s.$

Om dit te doen, moeten we een waarde toekennen aan een van de variabelen, wat we bijvoorbeeld zullen doen

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

En nu wissen we de andere variabele (

$y$

) van de verkregen vergelijking om te weten hoeveel het op dit punt waard is:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Daarom wordt het punt verkregen uit de lijn

$s$

Oosten:

$P(0,-2)$

En zodra we al een punt op een lijn hebben, berekenen we de afstand van dat punt tot de andere lijn met behulp van de formule voor de afstand van een punt tot een lijn:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

De afstand tussen de twee evenwijdige lijnen is dus gelijk aan 0,45 eenheden .

Afstandsproblemen tussen twee parallelle lijnen oplossen

Oefening 1

Wat is de afstand tussen de volgende twee evenwijdige lijnen?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

zie oplossing

Eerst zullen we verifiëren dat dit twee parallelle lijnen zijn. Hiervoor de coëfficiënten van de variabelen

$x$

$y$

moeten evenredig zijn aan elkaar, maar niet aan de onafhankelijke termen:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

De lijnen zijn inderdaad evenwijdig, we kunnen daarom de procedure toepassen.

Nu moeten we een punt uit een van de lijnen halen (degene die je wilt). In dit geval berekenen we een punt op de lijn

$s.$

Om dit te doen, moet u een waarde aan een van de variabelen toekennen, wat wij bijvoorbeeld zullen doen

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

En nu wissen we de andere variabele (

$y$

) van de verkregen vergelijking om de waarde ervan op dit punt te kennen:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Zodat het punt wordt verkregen uit de lijn

$s$

Oosten:

$P(0,-1)$

Zodra we een punt op een lijn kennen, berekenen we de afstand van dat punt tot de andere lijn met de formule:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Oefening 2

Bereken de afstand tussen de volgende twee parallelle lijnen:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

zie oplossing

Eerst zullen we verifiëren dat dit twee parallelle lijnen zijn. Hiervoor de coëfficiënten van de variabelen

$x$

$y$

moeten evenredig zijn aan elkaar, maar niet aan de onafhankelijke termen:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

De lijnen zijn inderdaad evenwijdig, we kunnen daarom de procedure toepassen.

Nu moeten we een punt uit een van de lijnen halen (degene die je wilt). In dit geval berekenen we een punt op de lijn

$s.$

Om dit te doen, moet u een waarde aan een van de variabelen geven, zoals wij dat bijvoorbeeld zullen doen

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

En nu wissen we de andere variabele (

$y$

) van de resulterende vergelijking om de waarde ervan op dit punt te vinden:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

Zodat het punt wordt verkregen uit de lijn

$s$

Oosten:

$P(0,1)$

Zodra we een punt op een lijn kennen, berekenen we de afstand van dat punt tot de andere lijn met de formule:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Oefening 3

Bereken de waarde van het onbekende

$k$

dus de afstand tussen de volgende twee lijnen is 5 eenheden.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

zie oplossing

Omdat we in twee dimensies werken, moeten ze evenwijdig zijn om de afstand tussen de twee lijnen niet nul te laten zijn. Daarom zullen we de vergelijking opstellen door te proberen de afstand tussen de twee lijnen te berekenen met de formule voor de afstand tussen een punt en een lijn, en uit deze vergelijking zullen we de waarde verkrijgen van

$k.$

Om dit te doen, moeten we een punt op de lijn berekenen

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Een punt op de lijn dus

$r$

Oosten:

$P(1,2)$

Nu proberen we de afstand te berekenen tussen het punt dat bij de lijn hoort

$r$

(punt

$P$

) en de lijn

$s$

met de formule:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

We vervangen elke term door zijn waarde en vereenvoudigen de uitdrukking:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

De probleemstelling vertelt ons dat de afstand tussen de twee lijnen gelijk moet zijn aan 5, dus we stellen de vorige uitdrukking gelijk aan 5:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

En we lossen de resulterende vergelijking op. In de teller van de breuk zit een absolute waarde. Daarom moeten we afzonderlijk analyseren wanneer de absolute waarde positief is en wanneer deze negatief is:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$