Afgeleide van een logaritmische functie

Hier vindt u hoe u de afgeleide van een logaritmische functie in een willekeurige grondtal (formule) kunt oplossen. Daarnaast kun je oefenen met stapsgewijze oefeningen op afgeleiden van logaritmische functies.

De formule voor het delen van een logaritmische functie varieert afhankelijk van het feit of de logaritme natuurlijk is (met grondtal e) of een ander grondtal . Daarom zullen we eerst de twee formules afzonderlijk bekijken met voor elk geval een voorbeeld, en daarna zullen we een samenvatting van de twee regels maken.

Afgeleide van een natuurlijke of natuurlijke logaritme

De afgeleide van een natuurlijke logaritme (of natuurlijke logaritme) is het quotiënt van de afgeleide van het argument van het logaritme gedeeld door de functie van het argument.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Logischerwijs, als de functie binnen de logaritme de identiteitsfunctie is, blijft er een 1 achter in de teller van de afgeleide:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Kijk naar het volgende voorbeeld waarin de afgeleide van de natuurlijke logaritme van 3x is opgelost:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Bedenk dat de natuurlijke logaritme een logaritme is waarvan het grondtal het getal e (Eulergetal) is.

\ln(x)=\log_e(x)

Afgeleide van een logaritme gebaseerd op

De afgeleide van een logaritme naar een grondtal is gelijk aan 1 gedeeld door het product van x maal de natuurlijke logaritme van de basis van de oorspronkelijke logaritme.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Dus als we de kettingregel toepassen, is de logaritmische afgeleide regel:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

De afgeleide van de logaritme met grondtal 2 van x kwadraat is bijvoorbeeld:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Formule voor de afgeleide van een logaritmische functie

Gezien de definitie van de logaritmische afgeleide en de twee mogelijke varianten, volgt hier een samenvatting van de twee formules, zodat u deze gemakkelijker kunt onthouden.

afgeleide van een logaritmische functie

Opgeloste problemen van afgeleiden van logaritmische functies

Oefening 1

Leid de volgende logaritmische functie af:

f(x)=\log(3x^2)

In dit geval is het noodzakelijk om de afgeleide van een logaritme in decimale basis op te lossen, daarom moeten we de volgende formule toepassen:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

De afgeleide van de logaritme met grondtal 10 is daarom:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Onthoud dat als een logaritme geen grondtal heeft, dit betekent dat het grondtal 10 is.

Oefening 2

Leid de volgende natuurlijke (of natuurlijke) logaritme af:

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

De functie in dit probleem is een natuurlijk logaritme, dus we moeten de volgende regel gebruiken om de logaritmische functie af te leiden:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

De afgeleide van de natuurlijke logaritme is daarom:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Oefening 3

Leid de volgende logaritme af:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

In deze oefening moeten we een logaritme met grondtal 7 afleiden, dus gebruiken we de volgende formule:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

En de afgeleide van de logaritme is:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Oefening 4

Zoek de afgeleide van de volgende logaritmische functie met een breuk:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Om de logaritmische afgeleide op te lossen, kunnen we eerst de functie vereenvoudigen door de eigenschappen van logaritmen toe te passen:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Nu moeten we de logaritmische afgeleide formule twee keer gebruiken, maar beide afgeleiden zijn gemakkelijker te berekenen.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Samenvattend is de afgeleide van de functie:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Oefening 5

Bereken de afgeleide van de volgende logaritmische functie met één wortel:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Eerst zullen we de functie vereenvoudigen met behulp van de eigenschappen van logaritmen:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

En zodra we de radicaal uit de functie hebben verwijderd, gebruiken we de regel voor de afgeleide van de natuurlijke of natuurlijke logaritme:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Daarom is de afgeleide van de samengestelde logaritmische functie:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven