Afgeleide van de exponentiële functie

In dit artikel leggen we uit hoe je een exponentiële functie kunt afleiden. Je vindt de formule voor de exponentiële afgeleide (met grondtal a en grondtal e) en opgeloste oefeningen voor afgeleiden van exponentiële functies.

De regel voor de afgeleide van de exponentiële functie hangt af van de basis van de macht , aangezien de functie, afhankelijk van of de basis een getal (a) of een getal e is, anders wordt afgeleid. Daarom bekijken we hieronder elk geval afzonderlijk en vatten we vervolgens de twee formules samen om volledig te begrijpen hoe we een exponentiële functie kunnen afleiden.

Afgeleide van de exponentiële functie met grondtal a

De afgeleide van de exponentiële functie met grondtal a is gelijk aan het product van de functie en de natuurlijke logaritme van het grondtal van de macht en de afgeleide van de exponent.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

De afgeleide van de volgende exponentiële functie is bijvoorbeeld:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Afgeleide van de exponentiële functie met grondtal e

De afgeleide van de exponentiële functie met grondtal e is equivalent aan het product van dezelfde functie door de afgeleide van de exponent.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

De afgeleide van het getal e verhoogd tot 4x is bijvoorbeeld:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Exponentiële afgeleide formule

Zoals we hebben gezien, hangt de afgeleide van een exponentiële functie af van zijn basis. En de twee formules die worden gebruikt om de exponentiële functies af te leiden zijn:

exponentiële afgeleide

Exponentiële afgeleide van e tot x

Zodra we hebben gezien wat de formule voor de exponentiële afgeleide is, zullen we het geval van de afgeleide van e in x analyseren, omdat het een merkwaardig geval is.

De afgeleide van de functie e naar x resulteert altijd in de functie zelf , dat wil zeggen, hoe vaak we de functie e x ook differentiëren, we zullen altijd dezelfde functie krijgen.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

Deze eigenschap van de functie e verhoogd tot x is te wijten aan het feit dat de afgeleide van x 1 is. Daarom vermenigvuldigen we bij het afleiden altijd de functie zelf met 1 en als resultaat krijgen we altijd de functie d’origin.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

Opgeloste problemen van afgeleiden van exponentiële functies

Oefening 1

Leid de volgende exponentiële functie af:

f(x)=3^x

De functie is gebaseerd op een ander getal dan e, dus we moeten de volgende formule gebruiken:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

De afgeleide van de exponentiële functie in basis 3 is daarom:

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

Oefening 2

Bereken de afgeleide van de volgende exponentiële functie:

f(x)=7^{3x^2-4x}

De functie in deze oefening is gebaseerd op een ander getal dan e, dus de volgende formule moet worden toegepast:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

De afgeleide van de functie is dus:

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

Oefening 3

Zoek de afgeleide van de volgende exponentiële functie met grondtal e:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

De functie in deze oefening heeft het getal e als grondtal, dus we kunnen de volgende formule gebruiken:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

En de afleiding van de exponentiële functie geeft:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

Merk op dat we voor het oplossen van deze afgeleide de kettingregel moeten gebruiken.

Oefening 4

Zoek de afgeleide van de volgende exponentiële functie met een wortel als exponent:

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ Zie: afgeleide van een radicaalfunctie

daar Hoewel er een radicale uitdrukking in de exponent zit, moeten we nog steeds de regel gebruiken om de exponentiële functie af te leiden uit de basis a:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

De afgeleide van de samengestelde exponentiële functie is daarom:

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

Oefening 5

Leid de volgende exponentiële functie af van het grondtal e met een fractionele exponent:

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ Zie: afgeleide van een quotiënt van functies

De basis van de macht is het getal e, dus we zullen de volgende regel gebruiken om de functie te delen:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

De afgeleide van de exponentiële functie is daarom:

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven