In dit artikel zullen we zien hoe we de cotangens van een functie kunnen afleiden. Je vindt voorbeelden van de afgeleide van de cotangens en zelfs oefeningen die stap voor stap worden opgelost. Ten slotte bewijzen we de formule voor de afgeleide van de cotangens.
Formule voor de afgeleide van de cotangens
De afgeleide van de cotangens van x is gelijk aan negatief één over het kwadraat van de sinus van x. De afgeleide van de cotangens van x is ook gelijk aan minus het kwadraat van de cotangens van x, en minus de som van één plus het kwadraat van de cotangens van x.
![\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}=-\text{cosec}^2(x)=-\left(1+\text{cotg}^2(x)\right)\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a3653f5c765d773ebc789107bf1a825_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Als het argument cotangens een andere functie is dan x, zijn de formules voor de afgeleide van de cotangens van een functie hetzelfde als de vorige, maar worden de uitdrukkingen vermenigvuldigd met de afgeleide van de functie van het argument.
![\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}=-u' \cdot \text{cosec}^2(u)=-u' \cdot \left(1+\text{cotg}^2(u)\right)\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38ea1d1edeaf5664c56a946b5a87577d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dit betekent dat er drie verschillende formules zijn om de afgeleide van de cotangens te vinden. Maar logischerwijs is het niet nodig om alle drie de formules te gebruiken, maar u kunt deze afleiden met de formule die u verkiest.
Voorbeelden van afgeleide van de cotangens
Nu we de formule voor de afgeleide van de cotangens van een functie hebben gezien, zullen we in deze sectie verschillende voorbeelden van dit soort trigonometrische afgeleiden oplossen.
Voorbeeld 1: Afgeleide van de cotangens van 2x
In dit voorbeeld zullen we zien wat de afgeleide is van de cotangens van de functie 2x.
Zoals we hebben gezien, kun je om de afgeleide van de cotangens te berekenen een van de drie bovenstaande formules gebruiken. In dit geval gebruiken we de sinusoïdale formule:
Omdat 2x een term van de eerste graad is, is de afgeleide ervan 2. Dus de afgeleide van de cotangens van 2x is negatief twee gedeeld door het kwadraat van de sinus van 2x:
Voorbeeld 2: Afgeleide van de cotangens van x kwadraat
In het tweede voorbeeld gaan we bepalen wat de afgeleide van de cotangens van x kwadraat is.
In dit voorbeeld is de functie van het cotangens-argument geen x, dus moeten we de kettingregel toepassen om de cotangens te differentiëren.
De afgeleide van x kwadraat is 2x, dus de afgeleide van de cotangens van x 2 is:
Voorbeeld 3: Afgeleide van de cotangens in blokjes
Ten slotte zullen we ontdekken hoeveel de afgeleide is van de derde cotangens van een polynoomfunctie:
In dit geval hebben we een samenstelling van functies, dus moeten we de kettingregel gebruiken met de formule voor de afgeleide van een macht om de afgeleide van de cotangens te vinden:
Opgeloste oefeningen over de afgeleide van de cotangens
Bereken de afgeleide van de volgende cotangensfuncties:
Bewijs van de afgeleide van de cotangens
In dit laatste deel zullen we de formule demonstreren voor de afgeleide van de cotangens. Om dit te doen, zullen we uitgaan van de wiskundige definitie van de cotangensfunctie, die gelijk is aan de cosinus gedeeld door de sinus:
Nu differentiëren we de functie door de regel toe te passen voor de afgeleide van een quotiënt;
We nemen de gemeenschappelijke factor in de noemer en verwijderen het negatieve teken uit de breuk:
Aan de andere kant weten we dat het kwadraat van de sinus plus het kwadraat van de cosinus gelijk is aan één dankzij de fundamentele trigonometrische identiteit.
En zo verkregen we de eerste formule voor de afgeleide van de cotangens. Op dezelfde manier is de cosecans de multiplicatieve inverse van de sinus, dus de tweede regel van de afgeleide van de cotangens is ook bewezen:
Ten slotte kan de derde formule voor de afgeleide van deze trigonometrische functie worden bewezen door de breuk uit de vorige stap om te zetten in een som van breuken:
