Differentieerbaarheid van een functie

september 17, 2023

In dit artikel leer je hoe je de differentieerbaarheid van een functie kunt bestuderen, dat wil zeggen of een functie differentieerbaar is of niet. Daarnaast zullen we de relatie zien tussen differentiatie en continuïteit van een functie. En ten slotte zullen we de differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie bestuderen.

Differentieerbaarheid en continuïteit van een functie

De continuïteit en differentieerbaarheid van een functie op een punt zijn als volgt gerelateerd:

Als een functie op een bepaald punt differentieerbaar is, is de functie op dat punt continu.
Als een functie op een bepaald punt niet continu is, is deze op dat punt ook niet differentieerbaar.

Het omgekeerde van deze stelling is echter onjuist: het feit dat een functie op een bepaald punt continu is, betekent niet dat deze op dat punt altijd differentieerbaar is.

Je kunt ook zien of een functie op een bepaald punt wel of niet differentieerbaar is vanuit de grafische weergave:

Als het een glad punt is, is de functie op dit punt differentieerbaar.
Als het een hoekpunt is, is de functie continu maar op dit punt niet differentieerbaar.

Afvlakkingspunt op x=0:
continue en differentieerbare functie in dit stadium.

Hoekpunt op x=2:
functie continu maar niet differentieerbaar in dit stadium.

Differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie

Zodra we de relatie tussen continuïteit en differentieerbaarheid van een functie kennen, zullen we zien hoe we de differentieerbaarheid van een stuksgewijs gedefinieerde functie kunnen bestuderen.

Je kunt zien of een stuksgewijze functie op een bepaald punt differentieerbaar is door de laterale afgeleiden op dat punt te berekenen:

Als de laterale afgeleiden op een punt niet gelijk zijn, is de functie op dat punt niet differentieerbaar:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Het is niet aftrekbaar binnen

$x_o$

Als de laterale afgeleiden op een punt samenvallen, is de functie op dat punt differentieerbaar:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Ja, het is differentieerbaar in

$x_o$

Opmerking: Om een functie op een bepaald punt differentieerbaar te maken, moet de functie op dat punt continu zijn. Voordat we de laterale afgeleiden berekenen, moeten we er daarom voor zorgen dat de functie op dat punt continu is. Als u niet weet hoe continuïteit op een bepaald punt wordt bestudeerd, kunt u zien hoe dit wordt gedaan in de volgende link:

➤ Zie: continuïteit van een functie in een punt

Laten we nu een voorbeeld bekijken van hoe je de afgeleide kunt berekenen van een functie die stuksgewijs op een punt is gedefinieerd:

Bestudeer de continuïteit en differentieerbaarheid van de volgende functie, stuksgewijs gedefinieerd op het punt x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

De functies van de twee delen zijn continu in hun respectieve intervallen, maar het is noodzakelijk om te zien of de functie continu is op het kritieke punt x = 2. Om dit te doen, lossen we de laterale grenzen van de functie op op het punt:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

De laterale grenzen op het kritieke punt gaven ons hetzelfde resultaat, dus de functie is continu op het punt x=2.

Zodra we weten dat de functie continu is op x=2, zullen we de differentieerbaarheid van de functie op dat punt bestuderen. Om dit te doen, berekenen we de laterale afgeleiden van de functie die in stukken is gedefinieerd:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

We evalueren nu elke laterale afgeleide op het kritieke punt:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

De twee laterale afgeleiden gaven ons hetzelfde resultaat, dus de functie is differentieerbaar op x=2 en de waarde van de afgeleide is 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Aan de andere kant, als de laterale afgeleiden ons een ander resultaat hadden opgeleverd, zou dit betekenen dat de functie niet differentieerbaar is op x=2. Met andere woorden: de afgeleide zou op dit moment niet bestaan.

Bedenk ten slotte dat deze procedure ook geldig is voor het bestuderen van de differentieerbaarheid van een absolute-waardefunctie, aangezien absolute-waardefuncties ook stuksgewijs kunnen worden gedefinieerd. Je kunt hier zien hoe je een absolute-waardefunctie naar chunks converteert:

➤ Zie: hoe u een functie met een absolute waarde stuksgewijs definieert

Opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een functie

Oefening 1

Bestudeer de continuïteit en differentieerbaarheid van de volgende stuksgewijze functie:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -x^2+3x & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Zie de oplossing

De functies van de twee delen zijn continu, maar we moeten kijken of de functie continu is op het kritieke punt x=1. Om dit te doen lossen we de laterale grenzen van de functie op op het punt:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \bigl(x^3-4x^2 + 5\bigr)=1^3-4\cdot 1^2 + 5=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( -x^2+3x \bigr)=-1^2+3\cdot 1=2$

De twee laterale grenzen op het kritieke punt geven hetzelfde resultaat, dus de functie is continu op x=1.

Zodra we weten dat de functie op het kritieke punt continu is, zullen we onderzoeken of deze op hetzelfde punt differentieerbaar is. We berekenen daarom de laterale afgeleiden:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-8x & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+3 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

En we evalueren de twee laterale afgeleiden op x=1;

$f'(1^-)=3\cdot1^2-8\cdot 1=3-8=-5$

$f'(1^+)=-2\cdot 1+3=-2+3 =1$

De laterale afgeleiden vallen niet samen op het punt x=1, dus de functie is op dit punt niet differentieerbaar.

$f'(1^-) \neq f'(1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(1)$

Oefening 2

Analyseer de differentiatie en continuïteit van de volgende functie, gedefinieerd in secties:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{4x} & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] 2+\ln x & \text{si} & x> 1 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”226″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Zie de oplossing

De functies van de twee secties zijn continu in hun intervallen, maar het is ook noodzakelijk om te weten of de functie continu is op het kritieke punt van verandering van definitie x = 1. We definiëren daarom de laterale grenzen van de functie op dit punt:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \sqrt{4x} = \sqrt{4\cdot 1} = \sqrt{4}=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( 2+\ln x \bigr) = 2 + \ln (1) = 2+0 =2$

De twee laterale grenzen op het kritieke punt geven hetzelfde resultaat, dus de functie is continu op x=1.

En nu onderzoeken we of de functie op dit punt differentieerbaar is door de laterale afgeleiden te berekenen:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{4}{2\sqrt{4x}} & \text{si} & x<1 \\[4ex] \cfrac{1}{x} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

We evalueren de twee laterale afgeleiden op x=1:

$f'(1^-)=\cfrac{4}{2\sqrt{4\cdot1}}=\cfrac{4}{2\sqrt{4}}=\cfrac{4}{2\cdot 2}=\cfrac{4}{4}=1$

$f'(1^+)=\cfrac{1}{1}=1$

De laterale afgeleiden zijn gelijk, dus de functie is differentieerbaar op x=1 en de waarde van de afgeleide is 1.

$f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \ \longrightarrow \ \bm{f'(1) = 1}$

Oefening 3

Bepaal of de volgende stuksgewijs functie continu en differentieerbaar is over het gehele domein:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+1 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2x+2 & \text{ si} & -1<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria- expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>View solution</strong></div>< /div> The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Missing { inserted.
leading text: ...="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...ox-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...m-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__
Missing { inserted.
leading text: ...fm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__
You can't use `macro parameter character #' in math mode.
leading text: ...="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#
Missing { inserted.
leading text: ...e="text-align:center"><div class="otfm-sp__
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...g></div></div> The functions of the three parts
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...are continuous, but we still need to see

\lim\limieten_{x\tot -1^-} f(x) = \lim\limieten_{x\tot -1^-} \bigl(x^2+2x+1\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \lim\limieten_{x\tot -1^+} f(x) = \lim\limieten_{x\tot -1^+} \bigl(2x+2\bigr ) = 2(-1)+2=0

$Les deux limites latérales au point x=-1 donnent le même résultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant vérifier si la fonction est continue ou non au point x=2 :$

\lim\limieten_{x\tot 2^-} f(x) = \lim\limieten_{x\tot 2^-} \bigl(2x+2\bigr) = 2\cdot 2+2=4+2= 6 \lim\limits_{x\tot 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\tot 2^+} \bigl( -x^2+8x\bigr) = -2^2+8\ cdot 2 = -4+16=12

$En revanche, les limites latérales au point x=2 ne donnent pas le même résultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu à ce stade, il ne sera pas non plus dérivable à x=2. Une fois que l'on a étudié la continuité de la fonction, on passe à la différentiabilité. On calcule donc les dérivées latérales :$

\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2x+2 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2 & \text{si} & -1

We weten al dat de functie niet differentieerbaar is op x=2, dus we hoeven alleen maar te onderzoeken of de functie differentieerbaar is op x=-1. Om dit te doen, evalueren we de twee laterale afgeleiden op het punt:

$f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0$

$f'(-1^+)=2$

De laterale afgeleiden vallen niet samen op het punt x=-1, dus de functie is op dat punt niet differentieerbaar.

$f'(-1^-) \neq f'(-1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(-1)$

Oefening 4

Bereken de waarde van parameters a en b zodat de volgende stuksgewijze functie continu en differentieerbaar is in het hele domein:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a & \text{si} & x< 3 \\[2ex](x-b)^2 & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Zie de oplossing

Wat de waarden van de onbekenden ook mogen zijn, de functie is op alle punten continu en differentieerbaar, behalve op x=3, waar de continuïteit en differentiatie ervan moet worden gecontroleerd.

Om de functie op een punt continu te laten zijn, moeten de twee laterale grenzen op dat punt samenvallen. Daarom evalueren we de laterale grenzen op het kritieke punt:

$\lim\limits_{x\to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^-} \bigl(2e^{x-3}+a\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \cdot e^0+a =2\cdot 1 +a = 2+a$

$\lim\limits_{x\to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2$

De twee waarden verkregen uit de laterale grenzen moeten daarom gelijk zijn om de functie continu te laten zijn:

$2+a = (3-b)^2$

We zullen nu de differentieerbaarheid op het punt x=3 analyseren. We vinden de laterale afgeleiden:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} & \text{si} & x< 3 \\[2ex]2(x-b) & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

En we evalueren de twee laterale afgeleiden op het kritieke punt:

$f'(3^-)= 2e^{3-3} = 2e^0 = 2\cdot 1 = 2$

$f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b$

Om de functie differentieerbaar te maken op x=3, moeten de waarden verkregen uit de laterale afgeleiden daarom gelijk zijn:

$2=6-2b$

En door deze vergelijking op te lossen kunnen we de waarde van b vinden:

$2b=6-2$

$2b=4$

$b=\cfrac{4}{2} =\bm{2}$

Als we ten slotte de waarde van parameter b kennen, kunnen we de waarde van parameter a berekenen door de vergelijking op te lossen die we eerder in de laterale limieten hebben verkregen:

$2+a = (3-b)^2$

$2+a = (3-2)^2$

$2+a =1$

$a =1-2$

$\bm{a =-1}$

Differentieerbaarheid en continuïteit van een functie

Differentieerbaarheid van een stuksgewijze functie

Opgeloste oefeningen over de differentieerbaarheid van een functie

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Laat een reactie achter Reactie annuleren