▷ Afgeleide van een som (formule en opgeloste oefeningen)

Hier leggen we uit hoe je een som van functies (formule) kunt afleiden. Daarnaast krijg je voorbeelden te zien van afgeleiden van sommen en kun je zelfs oefenen met opgeloste oefeningen over de afgeleide van een som. En tot slot vind je de demonstratie van de formule voor de afgeleide van een som.

Formule voor de afgeleide van een som

De afgeleide van een som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van elke functie afzonderlijk.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Met andere woorden: het afzonderlijk afleiden van twee functies en deze vervolgens optellen, komt overeen met het eerst optellen van de functies en vervolgens het nemen van de afgeleide.

Merk op dat de afgeleide regel van optellen ook van toepassing is op aftrekken, dus als een functie een negatief teken ervoor heeft in plaats van een positief teken, moeten we ook dezelfde formule gebruiken om deze te differentiëren.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Bovendien is optellen een bewerking die de associatieve eigenschap heeft, wat betekent dat het aantal optellingen dat bij de optelling betrokken is, onverschillig is, aangezien de afgeleide van de gehele functie de optelling van de afgeleide van elke functie zal blijven.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Voorbeelden van afgeleide van een som

Zodra we hebben gezien wat de formule voor de afgeleide van een som is, zullen we verschillende voorbeelden van afgeleiden van dit soort bewerkingen zien om volledig te begrijpen hoe de sommen van functies worden afgeleid.

Voorbeeld 1: Afgeleide van een som van potentiële functies

$f(x)=3x^2+5x$

De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de afgeleide van elke functie afzonderlijk. Daarom berekenen we eerst de afgeleide van elke functie afzonderlijk:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

De afgeleide van de gehele functie zal dus de som zijn van de twee berekende afgeleiden:

$f'(x)=6x+5$

Voorbeeld 2: Afgeleide van een som van verschillende functies

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Om de som van de functies te differentiëren, moet u de twee functies afzonderlijk differentiëren en ze vervolgens toevoegen. We leiden daarom de functies af:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

En dan voegen we de twee gevonden afgeleiden toe:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Voorbeeld 3: Afgeleide van een gekwadrateerde som

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

In dit geval hebben we een samengestelde functie, omdat we een som hebben van functies verheven tot een macht. Daarom moeten we de kettingregel toepassen om de volledige functie af te leiden:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ Zie: een macht afleiden

Opgeloste oefeningen over afgeleiden van sommen van functies

Leid de volgende sommen van functies af

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Zie de oplossing

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Demonstratie van de formule voor de afgeleide van een som

In deze laatste sectie zullen we de formule demonstreren voor de afgeleide van een som van functies. En om dit te doen, nemen we onze toevlucht tot de wiskundige definitie van de afgeleide, die als volgt is:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Laat z dan de som zijn van twee verschillende functies:

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

We vervangen nu z door de som van de functies in de limietuitdrukking:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

We transformeren de breuk zodat deze een som van twee breuken heeft, die elk overeenkomen met elke optelfunctie:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

Dankzij de eigenschappen van limieten kunnen we de vorige uitdrukking in twee limieten verdelen, aangezien de limiet van een som gelijk is aan de som van de limieten:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

En zoals we hierboven zagen bij de definitie van de afgeleide, komt elke limiet overeen met de afgeleide van een functie. De volgende gelijkheid wordt dus bereikt:

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Afgeleid van een bedrag