In dit artikel leggen we uit hoe je de sinusafgeleide (formule) maakt. Je vindt voorbeelden van afgeleiden van sinusoïdale functies en opgeloste stapsgewijze oefeningen om te oefenen. Daarnaast laten we je de tweede afgeleide van sinus zien, de inverse afgeleide van sinus, en demonstreren we zelfs de formule voor de afgeleide van sinus.
Wat is de afgeleide van sinus?
De afgeleide van de sinusfunctie is de cosinusfunctie. Daarom is de afgeleide van de sinus van x gelijk aan de cosinus van x.
Als er een functie in het sinusargument aanwezig is, is de afgeleide van de sinus de cosinus van de genoemde functie vermenigvuldigd met de afgeleide van de functie.
Deze tweede formule voor de sinusafgeleide wordt verkregen door de kettingregel op de eerste formule toe te passen. Samenvattend is de formule voor de afgeleide van de sinusfunctie dus:
Voorbeelden van sinusafgeleide
Zodra we hebben gezien wat de formule voor de sinusafgeleide is, leggen we verschillende voorbeelden van dit soort trigonometrische afgeleiden uit, zodat je volledig begrijpt hoe je de sinusfunctie kunt afleiden.
Voorbeeld 1: Afgeleide van de sinus van 2x
In het sinusargument hebben we een functie die verschilt van x, dus moeten we de volgende formule gebruiken om de sinus af te leiden:
De afgeleide van 2x is 2, dus de sinusafgeleide van 2x is het product van de cosinus van 2x maal 2.
Voorbeeld 2: Afgeleide van de sinus van x kwadraat
De formule voor de afgeleide van de sinusfunctie is:
En aangezien de afgeleide van x 2 gelijk is aan 2x, is de afgeleide van de sinus van x verheven tot de macht 2:
Voorbeeld 3: Afgeleide van sinus in blokjes
In dit voorbeeld is de sinusfunctie samengesteld uit een andere functie, we moeten daarom de volgende regel gebruiken om de sinus te differentiëren:
De afgeleide van de functie is daarom:
➤ Om deze functie af te leiden, moet je ook de formule voor de afgeleide van een macht toepassen.
Tweede afgeleide van sinus
Vervolgens zullen we de tweede afgeleide van de sinusfunctie analyseren, omdat deze een trigonometrische functie is en bijzondere kenmerken vertoont.
Zoals we hierboven zagen, is de afgeleide van sinus cosinus. Welnu, de afgeleide van de cosinus is sinus, maar is van teken veranderd. Dat betekent dat de tweede afgeleide van de sinus de sinus zelf is, maar van teken is veranderd .
![\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a312c69d71be2df495ba30f6e3b85e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Als het sinusargument echter niet x is, verandert deze voorwaarde omdat we de kettingregelterm moeten slepen:
![\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6a3a1255d5494e320a50ef02bce9d19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Inverse sinusoïdale afgeleide
Zoals je wel weet, heeft elke goniometrische functie een inverse functie, dus de inverse sinus is ook differentieerbaar.
De afgeleide van de inverse sinus is gelijk aan het quotiënt van de afgeleide van de argumentfunctie gedeeld door de vierkantswortel van één minus het kwadraat van de argumentfunctie.
Bedenk dat de inverse sinus ook wel boogsinus wordt genoemd.
De inverse sinusafgeleide van 5x is bijvoorbeeld:
Opgeloste oefeningen op de sinusafgeleide
Bereken de afgeleiden van de volgende sinusoïdale functies:
Demonstratie van de sinusafgeleide
In deze sectie zullen we laten zien dat de afgeleide van de sinus van x de cosinus van x is, gebruikmakend van de definitie van de afgeleide, namelijk:
In dit geval is de af te leiden functie sin(x), dus:
De sinus van een som kan worden herschreven door de volgende trigonometrische identiteit toe te passen:
We transformeren de breuk in twee breuken met dezelfde noemer. We kunnen deze operatie uitvoeren dankzij de wet van de limiet van een bedrag.
![\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3368ab9ecc3a19ad382f85707d6e66cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
➤ Zie: wetten van grenzen
De termen sinus van x en cosinus van x zijn niet afhankelijk van de waarde van h, we kunnen ze daarom buiten de limiet halen:
Het enige wat we nu moeten doen is deze twee trigonometrische limieten toepassen:
➤ Opmerking: u kunt de demonstratie van de twee voorgaande trigonometrische limieten zoeken in de zoekmachine van onze website.
En we laten dus zien dat de afgeleide van de sinus van x de cosinus van x is.