▷ Afgeleide van een constante (opgeloste voorbeelden)

Hier leggen we uit hoeveel de afgeleide van een constante waard is (met voorbeelden). We leren je ook hoe je de afgeleide kunt berekenen van een constante vermenigvuldigd met een functie, een constante gedeeld door een functie en een constante verhoogd als functie. Tenslotte kun je oefenen met opgeloste oefeningen over afgeleiden van constanten.

Wat is de afgeleide van een constante

De afgeleide van een constante is altijd nul , ongeacht de waarde van de constante.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Om de afgeleide van een constante functie te vinden, is het daarom niet nodig om berekeningen uit te voeren; de afgeleide is eenvoudigweg nul.

De afgeleide van een constante is nul omdat de grafiek van een constante functie geen helling heeft.

Voorbeelden van afgeleiden van constanten

Gegeven de definitie van de afgeleide van een constante functie, zullen we verschillende opgeloste voorbeelden zien om het concept volledig te begrijpen:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Zoals je kunt zien geeft de afgeleide van een constante altijd 0. Het maakt niet uit of het teken van de constante positief of negatief is, en of de waarde van de constante heel groot of heel klein is, de afgeleide ervan zal nul zijn.

Bewijs van de afgeleide van een constante

Zodra we zien hoeveel de afgeleide van een constante is, zullen we aantonen waarom dit type afgeleide gelijk is aan nul.

Laat f een constante functie zijn van elke waarde:

$f(x)=k$

De formule voor het berekenen van de afgeleide van een functie in een punt is:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Zie: definitie van derivaat

Dus als we de limiet van de constante functie oplossen:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

De afgeleide van een constante functie is dus op elk punt 0. Daarom wordt de formule voor de afgeleide van een constante gedemonstreerd.

Afgeleide van een constante door een functie

We hebben zojuist de afgeleide van een enkele constante geanalyseerd, dat wil zeggen van een functie zonder variabelen. Maar zoals u weet, kunnen functies worden gecombineerd met behulp van bewerkingen. Daarom zullen we hieronder afgeleiden van constanten bestuderen in combinatie met andere soorten functies, bijvoorbeeld de afgeleide van een constante vermenigvuldigd met een ander type functie.

De afgeleide van een constante vermenigvuldigd met een functie is gelijk aan de constante vermenigvuldigd met de afgeleide van de functie.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

De afgeleide van de volgende kwadratische functie is bijvoorbeeld:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Daarom is de afgeleide van het vermenigvuldigen van deze functie met een constante gelijk aan het vermenigvuldigen van de afgeleide die in de vorige stap is berekend met de constante:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Afgeleide van een constante tussen een functie

De afgeleide van een constante tussen een functie is gelijk aan het product van de gewijzigde constante maal de afgeleide van de functie gedeeld door de kwadratische functie.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

De afgeleide van de volgende constante gedeeld door een lineaire functie is bijvoorbeeld:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Omdat de afgeleide van 8x 8 is.

Afgeleide van een constante in functie

De afgeleide van een constante verhoogd als functie is gelijk aan het product van de natuurlijke logaritme van de constante vermenigvuldigd met de constante verhoogd als functie maal de afgeleide van de functie.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Omdat de afgeleide van sinus bijvoorbeeld cosinus is, geeft het differentiëren van een grote constante in sinus:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Opgeloste oefeningen over afgeleiden van constanten

Los de volgende afgeleiden van constanten op:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Zie de oplossing

Tot oefening F) zijn alle functies eenvoudige constante waarden, dus al hun afgeleiden geven nul.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Zelfs als het een breuk of een wortel is, als de functie geen variabelen heeft, betekent dit dat het een constante functie is en dat de afgeleide ervan daarom nul is.

De volgende drie oefeningen zijn daarentegen functies die bewerkingen zijn van constanten met andere functies. Om hun afgeleiden te berekenen, moeten we daarom de overeenkomstige formules toepassen:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Afgeleid van een constante