In dit artikel leggen we uit wat de schuine asymptoten van een functie zijn. Je leert wanneer een functie een schuine asymptoot heeft en hoe deze wordt berekend. En bovendien kun je voorbeelden van schuine asymptoten zien en oefenen met oefeningen die stap voor stap worden opgelost.
Wat is een schuine asymptoot?
De schuine asymptoot van een functie is een hellende lijn die de grafiek voor onbepaalde tijd nadert zonder deze ooit te overschrijden. Bijgevolg zijn alle schuine asymptoten lijnen met de vergelijking y=mx+n .
De helling en oorsprong van een schuine asymptoot worden berekend met behulp van de volgende formules:

Hoe de schuine asymptoot van een functie te berekenen
Om de schuine asymptoot van een functie te berekenen, moeten de volgende stappen worden uitgevoerd:
- Bereken de limiet tot oneindig van de functie gedeeld door x.
- Als de bovenstaande limiet resulteert in een reëel getal dat niet nul is, betekent dit dat de functie een schuine asymptoot heeft. En bovendien zal de helling van de schuine asymptoot de waarde zijn die bij de limiet wordt verkregen.
- In dit geval hoeft u alleen nog maar het snijpunt van de schuine asymptoot te berekenen door de volgende limiet op te lossen:
Let op: de limieten moeten worden berekend op plus en min oneindig, maar normaal gesproken geven ze hetzelfde resultaat en daarom vereenvoudigen we door ±∞ te plaatsen. Maar als de grenzen bij plus en min oneindig verschillend waren, zouden de linker schuine asymptoot en de rechter schuine asymptoot afzonderlijk moeten worden berekend.
Schuin asymptootvoorbeeld
Vervolgens nemen we de schuine asymptoot van de volgende rationale functie, zodat u een voorbeeld kunt zien van hoe dit wordt gedaan:
De schuine asymptoten zijn van het type
We berekenen dus eerst de helling van de lijn
met de bijbehorende formule:
Om deze limiet op te lossen moeten we de eigenschappen van breuken toepassen:
En nu berekenen we de limiet:
In dit geval is het resultaat van de onbepaaldheid van oneindigheid tussen oneindigheid de verdeling van de coëfficiënten van x van de hoogste graad, aangezien de teller en de noemer van dezelfde orde zijn.
De bovenstaande limiet geeft een reëel getal dat niet nul is, dus de functie heeft een schuine asymptoot. We zullen nu het y-snijpunt berekenen
van de asymptoot met behulp van de overeenkomstige formule:
We proberen de limiet te berekenen:
Maar we krijgen onbepaaldheid oneindig min oneindig. Het is daarom noodzakelijk om de termen terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer. Om dit te doen, vermenigvuldigen en delen we de x door de noemer van de breuk:
Nu de twee termen dezelfde noemer hebben, kunnen we ze groeperen:
We werken met de teller:
En ten slotte lossen we de limiet op:
Dus n =0. Daarom is de schuine asymptoot een lineaire functie:
De bestudeerde functie wordt weergegeven in de onderstaande grafiek. Zoals je kunt zien, komt de functie heel dicht bij de lijn y=x, maar raakt deze nooit, omdat deze een schuine asymptoot is:

Opgeloste oefeningen op schuine asymptoten
Oefening 1
Zoek de schuine asymptoot van de volgende rationale functie:
Oefening 2
Vind alle schuine asymptoten van de volgende rationale functie: