▷ Wat zijn de eigenschappen (of wetten) van limieten?

Hier vind je alle eigenschappen (of wetten) van functiegrenzen. Deze eigenschappen dienen om limietberekeningen te vereenvoudigen, vooral als het gaat om limieten bij functiebewerkingen.

Wat zijn de eigenschappen (of wetten) van functiegrenzen?

Vervolgens zullen we alle eigenschappen van functiegrenzen uitleggen, of ook wel wetten van functiegrenzen genoemd. Bovendien kunt u opgeloste oefeningen voor elke eigenschap van limieten bekijken, zodat u het concept volledig kunt begrijpen.

Eigenschap van de limiet van een bedrag

De limiet van de som van twee functies op een punt is gelijk aan de som van de limieten van elke functie op datzelfde punt afzonderlijk.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Stel dat er bijvoorbeeld twee functies zijn:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

De limiet van elke functie bij x gelijk aan 1 is:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Daarom geeft de limiet van de twee op hetzelfde punt toegevoegde functies 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

De eigenschap kan worden bewezen door stap voor stap de limiet te berekenen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Eigenschap van de limiet van een aftrekking

De limiet van de aftrekking (of het verschil) van twee functies op een punt is gelijk aan de aftrekking van de limiet van elke functie op datzelfde punt afzonderlijk.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Met behulp van de functies uit het vorige voorbeeld:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

De limiet van elke functie op het punt x=3 is:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Vervolgens is de limiet van de twee functies afgetrokken bij x=3 het verschil tussen de waarden verkregen in de vorige stap:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

We kunnen deze eigenschap van limieten bewijzen door het aftrekken van functies te berekenen en vervolgens de limiet op te lossen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Beperk de eigenschap van een product

De limiet van het product van twee functies op een punt is het product van de limiet van elke functie op dat punt.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Als we bijvoorbeeld de volgende twee verschillende functies hebben:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

De limiet van elke functie bij x=2 is:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Om de limiet van het product van de twee functies te bepalen, is het dus niet nodig om ze met elkaar te vermenigvuldigen, maar het is voldoende om het resultaat dat uit elke limiet wordt verkregen te vermenigvuldigen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Dit bespaart ons tijd en berekeningen omdat het vermenigvuldigen van twee functies moeilijk kan zijn.

Eigenschap van de limiet van een quotiënt

De limiet van het quotiënt (of deling) van twee functies is gelijk aan het quotiënt van de limieten van de functies.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Aan deze voorwaarde is voldaan zolang de limiet van de noemerfunctie niet nul is.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

We zullen een voorbeeld van deze eigenschap (of wet) van limieten oplossen. Beschouw de functies f(x) en g(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

We berekenen eerst de limiet van elke functie op x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Zo kan de limiet van de deling van de twee functies bij x = 0 gemakkelijk worden gevonden:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

In dit geval kunnen we deze eigenschap toepassen om de limiet op te lossen, omdat de limiet van g(x) niet nul is.

Eigenschap van de limiet van een constante

De limiet van een constante functie resulteert altijd in de constante zelf, ongeacht het punt waarop de limiet wordt berekend.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Deze eigenschap is heel eenvoudig te controleren, bijvoorbeeld als we de volgende constante functie hebben:

$f(x)=5$

Logischerwijs is de limiet van de constante functie op elk punt 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Eigenschap van de limiet van een constant veelvoud

Uit de eigenschappen van de limiet van een product en de limiet van een constante kunnen we de volgende eigenschap afleiden:

De limiet van een functie vermenigvuldigd met een constante is gelijk aan het product van de genoemde constante en de limiet van de functie.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Merk op hoe we de berekening van de volgende limiet vereenvoudigen met behulp van deze eigenschap:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Eigenschap van de limiet van een macht

De limiet van elke functie die tot een exponent wordt verhoogd, is gelijk aan het berekenen van de limiet van de functie en vervolgens het resultaat van de limiet verhogen tot die exponent.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

De limiet van een lineaire functie is bijvoorbeeld:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Welnu, de limiet van de kwadratische functie kan worden berekend door de limiet van de lineaire functie te vinden en vervolgens het resultaat te kwadrateren:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Eigenschap van de limiet van een exponentiële functie

De limiet van een exponentiële functie is gelijk aan de constante van de functie verheven tot de limiet van de algebraïsche uitdrukking van de functie.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

We zullen vervolgens de limiet van een exponentiële functie op twee mogelijke manieren berekenen om deze eigenschap te verifiëren:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Eigenschap van de limiet van een macht van functies

De limiet van een functie verhoogd naar een andere functie is de limiet van de eerste functie verhoogd naar de limiet van de tweede functie.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

We zullen bijvoorbeeld de volgende limiet bepalen door deze wet toe te passen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Eigenschap van de limiet van een irrationele functie

De limiet van een wortel (of radicaal) is gelijk aan de wortel van de limiet.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Om deze eigenschap te gebruiken, moet u er rekening mee houden dat als de hoofdindex even is, de limiet van de functie groter dan of gelijk aan 0 moet zijn:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Merk op hoe de volgende limiet werd berekend door deze formule toe te passen:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Eigenschap van de limiet van een logaritmische functie

De limiet van een logaritme is gelijk aan dezelfde basislogaritme van de limiet.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Kijk naar de resolutie van de volgende limiet waarin we deze eigenschap toepassen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Eigenschappen (of wetten) van limieten